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【南京一轮复习】课时1 不等关系与一元二次不等式

发布时间:2013-11-09 12:37:14  

知识模块五 不等式

在你找到第一个蘑菇时,继续观察,你就能发现一堆蘑菇。

——G·玻利亚

数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题,而美的解答是指一个复杂问题的简单解答。

——狄得罗

【考点能级化】

※考纲链接

(1)了解现实世界和日常生活中的一些不等关系;

(2)能从实际情境中抽象出不等关系,建立不等式(组)的模型; (3)了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系; (4)掌握一元二次不等式的解法.

第1课 不等关系与一元二次不等式

【课前自主探究】

1

※ 教材回归

◎基础重现:

1.不等式的意义

用不等号??,?,?或??把两个代数式连接起来的式子叫不等式,其意义是:

a?b?a?b?0;a?b?a?b?.

2.一元二次不等式

只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的不等式叫做 不等式.

3.一元二次不等式的解法

不等式ax?bx?c?0(a≠0)的解集情况如下:

2⑴若判别式??b2?4ac?0,设方程ax?bx?c?0的两根为x1,x2(x1<x2),则:a>02

时,解集为 ,a<0时,解集为 ;

⑵若?=0,则:a>0时,解集为 ,a<0时,解集为 ; ⑶若?<0,则:a>0时,解集为 ;a<0时,解集为 . (可类似讨论ax?bx?c?0( a≠0)的解集).

4.一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象的关系 一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)的解集与一元二次方程ax?bx?c?0的解集以及二次函数y?ax2?bx?c的图像之间的关系可用表格表示为:

22对于二次项系数是负数的一元二次不等式,一般是先把二次项系数化为正数,再利用上表中的关系来求解.

基础重现答案:

1.a?b?0,a?b?0.2.一元二次.

2

3.(1) {x|x<x1或x>x2};(2) {x| x1<x<x2}; (2) {x|x≠?

b

,x∈R},Ф; 2a

(3) R;Ф. 4.可用表格表示如下:

1.b克糖水中有a克糖?b?a?0?,若再添上m克糖?m?0?,则糖水变甜了. (1)请你从中提炼出一个不等关系; (2)你能运用数学知识解释这一现象吗? 2.不等式有哪些基本性质?

3.设x1?x2???xn,你能求出不等式?x?x1??x?x2???x?xn??0??0?的解集吗? 思维升华答案:

1. (1)原来的糖水浓度为

ba?m,加入m克糖水后,糖水浓度变为,由于糖水变ab?m

a?ma

?. 甜了,故可得到不等关系

b?mb

a?mab?a?m??a?b?m?m?b?a?(2)由,又b?a?0,m?0,得 ???b?mbbb?mbb?mm?b?a?a?maa?ma

??0.根据不等式的意义,可得 ?. ?0,即b?mbb?mbbb?m2. ⑴对称性:a>b?b<a;

3

⑵传递性:若a>b,b>c,则a>c;

⑶可加性a>b?a+c>b+c;

⑷可乘性:a>b, 当c>0时,ac>bc;当c<0时,ac<bc;

⑸同向可加:若a>b,c>d,则a+c>b+d;

⑹正数同向相乘:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;

⑺乘方法则:若a>b>0,n∈N*,则an>bn;

⑻开方法则:若a>b>0,n∈N*,则?;

⑼倒数法则:若ab>0,a>b,则;11?. ab

3. 定义在实数集R上的函数y??x?x1??x?x2???x?xn?,当其图像经过它与x轴的交点?x1,0?,?x2,0?,┅┅,?xn,0?时,函数y的值改变符号.不妨设x1?x2???xn,只需确定出当自变量x?xn时y值的符号,就可以画出

y??x?x1??x?x2???x?xn?的简图,

进而得出y??x?x1??x?x2???x?xn??0??0?这样的高次不等式的解集.

※ 基础自测

21.(09年苏锡常镇四市高三教学情况调查一)已知集合A?x|x?2x?3,B??x|x?2?,??

则A?B= .

答案:(?1,2].

2. 已知甲离学校10km,乙离学校a km,其中乙离甲不到3 km,则实数a 的取值范围是 .

答案:7<a<13 (km).

3.(福州市09年高三质量检测改编)已知f(x)(x?0,x?R)是奇函数,当x?0时,f'(x)?0,且f(?2?0,则不等式f(x)?0的解集是

答案:(?2,0)?(2,??).

4.(若0?a?1,则不等式?a?x??x??

?1???0的解集是____________. a?

4

答案: ?x|a?x??

?1??. a?

?

?1?a?1,不等式的解集为a解析:原不等式化为?x?a??x???0,由0?a?1知a?

1???x|a?x??. a??

5.若不等式mx?2x?1?m?0对满足?2?m?2的所有m的值都成立,求实数x的取值范围是______________.

答案

2 ?x?22解析:已知不等式可化为x?1m??1?2x??0.设f?m??x?1m??1?2x?,????

这是一个关于m的一次函数(或常函数),从图像上看,要使f?m??0在?2?m?2时恒成立,其等价条件是:

2?f?2??2?x2?1???1?2x??0?3?0??2x?2x?,即,解之,

?x???221?0??2x?2x???f??2???2?x?1???1?2x??0

∴实数x

的取值范围是?11? ?x?22

【课堂师生共探】

※ 经典例题

○题型一 不等式(组)模型的建立

例1配制A、B两种药剂需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药需甲料3mg,乙料5mg;配一剂B种药需甲料5mg,乙料4mg,今有甲料20mg,乙料25mg,若A、B两种药至少各配一剂,问共有多少种配制方法?设A、B两种药分别配x,y剂(x,y∈N)试列出关于x,y的不等式(组) .

分析:通过列表可列出每种药剂所用原料的重量,找到其不等关系.

解:根据题意,可列出下表:

5

?3x?5y?20??5x?4y?25x,y必须满足条件:? *x?N?*??y?N

点评:不等关系在日常生活和生产实际中有着十分广泛的应用,解决这类实际应用问题的关键是理清题中所给数量关系,抓住题目中的核心信息,找出不等关系,再将其用不等式(组)表示出来. 变式训练:若用100元钱买软盘与光碟,已知软盘每张4元,光碟每张7元,在软盘和光碟每种至少1张,至多10张的情况下,如何设计方案使剩下的钱最少?设软盘x张,光碟y张,则x,y满足的限制条件可表示为 .

?1?x?10,?解析:x,y满足的限制条件可用不等式组表示为?1?y?10,.

?4x?7y?100.?

○题型二 一元二次不等式的解法

例2若不等式ax?bx?c?0的解集为?x|??x????0?????,求不等式2

cx2?bx?a?0的解集.

分析:由一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的图像之间的关系知:要求出不等式cx?bx?a?0的解集,关键是求出一元二次方程cx?bx?a?0的两个实根,联想韦达定理,应该运用已知条件,使“解集”通过“根”实现其与“系数”之间的联系. 解:∵不等式ax?bx?c?0的解集为?x|??x????0?????,∴a?0. 222

?b?b?????????????0???a?a根据一元二次方程的根与系数的关系,得?,即? . cc???????????0???a?a

∵a?0,∴b?0,c?0.由bab?11?b??,得????? ① accc????

又由ca11????,得?? ② ac??

22将不等式cx?bx?a?0化为x?bax??0. cc

6

由①、②得:ba1111,是方程x2?x??0的两个根,且??0. cc????

2∴不等式x??ba11?x??0,即不等式cx2?bx?a?0的解集为?x|x?或x?? . cc????

点评:如果注意到cx2?bx?a?0是ax2?bx?c?0的倒数方程,且方程ax2?bx?c?0的两个根是?,?,可得方程cx2?bx?a?0的两个根是??1111,,又c?0且??0,我们可??以更方便地得出不等式cx2?bx?a?0的解集为?x|x??

?11?或x?? .学习的过程中,要善???

于从不同的角度出发,思考问题的不同解法,在一题多解的过程中提高自己的思维能力.

变式训练1:不等式

集为 .

解析:根据题意a= – 2 ∴解不等式x2 + x – 2>0.解集为{x|x>1或x< – 2}.

变式训练2:若不等式x2 –2ax +a<0的解集为Ф,则关于t的不等式a 2 t+1 <at的解集为 .

解析:∵x2 –2ax +a<0的解集为Ф, ∴?=4a2 – 4a<0,∴ 0<a<1.∴函数y=a x 为减函数,从而不等式a 2 t+1 <at22x?a?0的解集为{x|?2?x?2},则不等式x2?x?a?0的解2?x?2t?3<1?2t?3<1可化为2 t+1 > t2+2 t – 3>0.

??2?t?2,得:不等式的解集为(1,2). t??3,t?1?∴t2<4 且t2 +2t – 3 >0,即?

○题型三 一元二次不等式与一元二次方程及二次函数之间的关系

例3 已知f?x???a?b?x??c?a?x?b?c,且a?b?c. 2

(1)求证:方程f?x??0总有两正根;

(2)求不等式f?x??0的解集;

(3)求使不等式f?x???a?b??x?1?对3b?2a?c总成立的x的取值范围;

(4)从上述问题的求解过程中,你能发现些什么?

分析:根据三个二次之间的联系,可借助二次函数的图象,运用数形结合的方法求解.

2解:(1)∵???c?a??4?a?b??b?c???a?c??4b?a?c??4b??a?c?2b??0, 222

7

又二次项系数a?b?0,对称轴x??c?a?0,f?0?b?c?0?.∴根据二次函2a?b数的图像可知,方程f?x??0总有两正根.

b?c?(2)∵f?1???a?b???b?c??c?a?0,a?b?0,∴f?x??0??x?1??. x????0a?b??

为??x|b?c2b??a?c?b?c?1,不等式f?x??0的解集,∴若2a?b?c,则?1?a?ba?ba?b?b?cb?c??1,不等式f?x??0的解集为?x|x?1?;?x?1?;若2a?b?c,则a?ba?b?

b?cb?c?. ?1,不等式f?x??0的解集为??x|1?x??a?ba?b??

b?c????a?b??x?1? a?b?若2a?b?c,则(3)f?x???a?b??x?1???a?b??x?1???x??

a?c??b?c?b?c????x?1x?????x?1??x??x?1?x?1x??1?0?????0. ???a?ba?ba?b??????

∵a?b?c,∴a?c?1,从而不等式fa?b?x???a???bx?1?的解集为

a?c??x|x?1或x???,因为当3b?2a?c时,不等式f?x???a?b??x?1?恒成立,而a?b??

a?ca?c??3,故所求x的取值范围是???,1???3,???.

a?ba?3

(4)从上述问题的求解过程中,我们可以发现,一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者之间存在着紧密的联系,可以相互转化,相互为用.

点评:一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间有着密切的联系解任何一方面的问题,都可以借助其它方面加深对问题的理解,使问题获得简捷而明快的解决.

22变式训练:已知集合A?x|x?5x?4?0,B?x|x?2ax?a?2?0,若????

B?A,求实数a的取值范围.

22解析:A?x|x?5x?4?0??x|1?x?4?.对集合B,设y?x?2ax?a?2,它??

的图像是一条开口向上的抛物线.(1)若B??,此时????2a??4?a?2??4a?a?2?0,解22??之,得:?1?a?2;(2)若B??,设二次函数的图像与x轴交点的横坐标为x1,x2,欲 8

使B?A,应有:?x|x1?x?x2???x|1?x?4?.由二次函数的图像知:

??f?1??1?2a?a?2?018 ?,解之,得:1?a?. ?a8?a??20?f?4??167??1???2a?4?2

综上可知:实数a的取值范围是?1?a?18. 7

○题型四 一元二次不等式的应用

例4某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元∕辆,出厂价为1.2万元∕辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品的档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x?0?x?1?,则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价一投入成本)?年销售量.

⑴写出本年度预计的年利润y与与投入成本增加的比例x的关系式;

⑵为使本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应在什么范围内方能达到目标?

分析: 这是一个不等式的实际应用题,求解这类问题,应首先根据题意建立起不等式的数学模型,然后再通过求解不等式使问题获得解决.

解:(1)根据年利润=(出厂价-投入成本)?年销售量可得:

y???1.2??1?0.75x??1??1?x????1000?1?0.6x??0?x?1?.

(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,必须满足:

???60x2?20x?01?y??1.2?1??1000?00?x?,即.解这个不等式组,得. ??3??0?x?1?0?x?1

故为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例0?x?1. 3

点评: 求解实际应用题,需要根据题意建立起问题的数学模型,将其转化为数学问题求解,其一般步骤是:

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;

(2)建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立起相应的数学模型;

(3)解模:求解数学模型;

(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论,使实际问题得以解决. 变式训练:行驶中汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停止, 9

这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号的汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速

nxx2*

?(n为常数,且n?N). x(千米∕小时)满足下列关系式:y?

100400

在两次刹车试验中,所取得的有关数据如图所示,其中:

?5?y1?7 ?.

13?y?15?2

(1)求n;

(2)要使刹车距离不超过18.4米,则行驶的最大 速度应为多少?

解析:(1)由图像知y1?

40n1600270n4900492

??4?n,y2????n. 100400510040045

,解之,得

2?5?4?n7??5?y1?7??5由于 ?,∴?

492?13?y2?15?13??n15??45?

555*

?n?.又n?N,∴n?3. 214

nxx2

??18.4,∴x2?12x?7360?0,由于x?0,故(2)根据题意,得y?

1004000?x?80,即行驶的最大速度为80千米∕小时.

※高考新题零距离

x2x3

1.(2010·江苏卷12)设实数x,y满足3≤xy≤8,4≤≤9,则4的最大值是 .

yy

2

111x22x3x221x3

答案:27解析: ()?[16,81],2?[,],4?()?2?[2,27],4的

xy83yyyyxy

最大值是27.

x2?x?6

>0的解集为 .2. (2010·全国卷2)不等式

x?1

答案:{x/-2<x<1或x>3}解析:

所以,-2<x<1或x>3.

※典型错误警示

1.借助数轴处理不等式的有关问题时,对于端点处的情况考虑不周导致错误,例如:

10

22“已知集合A?x|x?3x?2?0,B?x|x?(a?1)x?a?0,若A?B,求a的取?

值范围.” 常见错误是由题意得到 A?{x|1?x?2},B?{x|(x?1)(x?a)?0},在数轴上画出集合A的范围,由A?B不能正确地判断端点值是否可取而错误地得出a的范围?

是a?2,多出了a?2这个解.

2.在不等式的变形过程中不注意变形的等价性而导致错误,例如:“求不等式????x?3?02?x

?x?3??x?3??x?2??0?0,即?的解集.”正确的解法应该是:将原不等式变形为 x?2??x?2?0

?x?3?0?x?3?0或?,解得x?2或x?3.而不少同学会将不等式变形为:???x?2?0?x?2?0

?x?3??2?x??,从而错误地得出2?x?3的结论. 0

3.解一元二次不等式,当二次项系数含有字母时,忽略对二次项系数的分类讨论而导致错误.例如:“若不等式mx2?2mx?4?2x2?4x对任意实数x均成立,求实数m的

2取值范围”.原不等式可化为?m?2?x?2?m?2?x?4?0,①当m?2时,要使①式为

??m?2?0绝对不等式,必须且只须?,解之,得?2?m?2;当m?22????4?m?2??16?m?2??0

时,①式即为?4?0,恒成立,知m?2也符合题意,故m???2,?2?.最容易出现的错误就是不考虑当m?2的情况,而得出m???2,2?使解题出错.

◎典型错题反思

反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程,是一种自我挑战、自我完善和自我超越,是优化解法、深化思维的有效手段,是高效的学习方法、最佳的纠错手段,是走出“题海”的最有效途径.

请整理出本课时的典型错误,找出错因,并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思! 我的错题:

错因:

反思:

※学以致用

第1课时 不等关系与一元二次不等式

【基础级】

11

1.(2010·全国卷2文数改编)不等式

答案:x?2?x?3 x?3<0的解集为 . x?2??

?x2?2x?1,2.(2010·启东中学上学期期末考试)设f(x)????2x?6,

则实数t的取值范围是 . x?0,若f(t)?2,x?0

?(3,??). 答案:(??,0)

3.(2010·苏州六校摸底考试)设p:|4x?3|?1;q:(x?a)(x?a?1)?0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是__________.

答案:[0,].

4.已知a?o,?1?b?0,那么在a,ab,ab这三个数中,最小的数是数是 .

答案:a,ab.

解析:∵a?ab?a?1?b??0?a?ab,a?ab

222122?a?1?b2??0?a?ab2,∴a最小. 又ab?ab?ab?1?b??0??ab?ab??ab最大.

5.(2010·南京2模改编)不等式?1?x?2x?1?2的解集为 . 答案:2?x|?3?x??2或0?x?1?

2??x?2x?1??1解析:这是一个双向不等式,可转化为不等式组?2解之,得原不等式的??x?2x?1?2

解集为?x|?3?x??2或0?x?1?.

6.不等式x?3x?4?

2?1?0的解集是______________. ?

答案:?x|0?x?1?.

?x2?3x?4?0解析:原不等式化为?,解得0?x?1,故得解集为?x|0?x?1?. x?0?

227.(2010·无锡市辅仁高中模拟题)已知函数y?k?4k?5x?4?1?k?x?3的图??

像都在x轴的上方,则实数k的取值范围是______________.

答案:1?k?19.

解析:对实数k作如下分类讨论:

12

2 ①当k?4k?5?0,即k??5或1时, 若k??5,则y?3,其图像不可能都在x轴

的上方; 若k?1,则y?24x?3,其图像都在x轴的上方.

②当k?4k?5?0,则由二次函数的图像知,实数k必须满足:

2????k?5??k?1??0?k?4k?5?0,即?.解之,得1?k?19. ?22????k?1??k?19??0?4?1?k????4??k?4k?5??3?0????

综上所述,1?k?19. 2

【升华级】

8.已知A??x|x2?2x?3?0?,B?x|ax?x?b?0,若A?B??,A?B?R,2??

则a?b? .

答案:?1.

2解析:A?x|x?2x?3?0??x|?1?x?3?.∵A?B??,A?B?R. ??

∴B?CRA??x??1或x?3?.∴?1,3是方程ax?x?b?0的两根,由韦达定理,2

1?1?a???1??3? ,故??2,所以a?b??1. 得??a???b??3???1??3?b

???2a?

9.已知x???11,?时,f?x??x2?ax?a?0恒成立,求实数a的取值范围. 2

?a??2a?解答 当??1即a??2时,f??1?最小,此时不等式组?无解; a2f?1?1?a??0????2

a当?1??1即?2?a?2时,f2??2?a?2?a?0?a?2;解不等式组?,得: 2??最小,?2a?a2???0??4

?a?2a当?1即a?2时,f?1?最小,此时不等式组?无解. ?a2?f?1??1?a??0?2

综上,得实数a的取值范围是0?a?2.

10.某工厂生产某种新产品x(百台),总成本为f?x?(万元).其中固定成本为2万

121?4x?x?,0?x?4?元,每生产1百台成本增加1万元.设销售收入的函数g?x???.假22??7.5,x?4

定该产品的产销平衡,要使该厂不亏本,产品x应控制在什么范围内?

解答:依题意,成本函数f?x??x?2?x?0?,从而利润函数h?x??g?x??f?x? 13

125?3x?x?,0?x?4???.令h?x??0,分段解不等式,得1?x?5.5. 22??5.5?x,x?4

∴产品x应控制在100台到550台之间,可以使该厂不亏本.

☆11.已知两个二次函数:f?

x??x?2ax?1ag?x??x?2x?3a. 2?

22求证:不论a取怎样的实数,这两个函数的图像至少有一个位于x轴的上方.

解答:用反证法.假设存在实数a,使这两个函数的图像都不位于x轴的上方,则必有:

?a??1或a?3????

2a?2?4??1a??0?1?,即?. ??2?a????

?2?4?12a?0?此不等式组的解集为?,即不存在实数a,使?1?0和?1?0同时成立.因此对任何实数a,?1和?1中至少有一个小于0,即两个函数的图像至少有一个位于x轴的上方. ?

◎典型错误反思

我的错题:

错因:

反思:

14

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