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八年级上册一至四章教学设计

发布时间:2013-11-16 09:04:38  

第一章 勾股定理

1. 探索勾股定理(第1课时)

一、学生起点分析

八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力.在小学,他们已学习了一些几何图形面积的计算方法(包括割补法),但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够.部分学生听说过“勾三股四弦五”,但并没有真正认识什么是“勾股定理”.此外,学生普遍学习积极性较高,探究意识较强,课堂活动参与较主动,但合作交流能力和探究能力有待加强.

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系,将形与数密切联系起来,在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续,同时也是学生认识无理数的基础,充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外,历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧,其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.

为此本节课的教学目标是:

1.用数格子(或割、补、拼等)的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系,会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.

2.让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想,并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.

3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力;进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

4.在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐;通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化历史,激励学生发奋学习.

第1页

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节:第一环节:创设情境,引入新课;第二环节:探索发现勾股定理;第三环节:勾股定理的简单应用;第四环节:课堂小结;第五环节:布置作业.

第一环节:创设情境,引入新课

内容:2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标: 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议

用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同

探索勾股定理.(板书课题)

意图:紧扣课题,自然引入,同时渗透爱国主义教育.

效果:激发起学生的求知欲和爱国热情.

第二环节:探索发现勾股定理

1.探究活动一

内容:投影显示如下地板砖示意图,引导学生从面积角度观察图形:

问:你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?

学生通过观察,归纳发现:

结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积.

意图:从观察实际生活中常见的地板砖入手,让学生感受到数学就在我们身边.通过对特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫.

效果:1.探究活动一让学生独立观察,自主探究,培养独立思考的习惯和能力;2.通过探索发现,让学生得到成功体验,激发进一步探究的热情和愿望.

2.探究活动二

内容:由结论1我们自然产生联想:一般的直角三角形是否也具有该性质呢?

(1)观察下面两幅图:

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(2)填表:

(3)你是怎样得到正方形C的面积的?与同伴交流.(学生可能会做出多种方法,教师应给予充分肯定.)

图1 图2 图3

学生的方法可能有:

方法一:

如图1,将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形, SC?4?1?2?3?1?13. 2

方法二:

如图2,在正方形C外补四个全等的直角三角形,形成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,SC?52?4??2?3?13.

方法三:

如图3,正方形C中除去中间5个小正方形外,将周围部分适当拼接可成为正方形,如图3中两块红色(或两块绿色)部分可拼成一个小正方形,按此拼法,SC?2?4?5?13.

第3页 12

(4)分析填表的数据,你发现了什么?

学生通过分析数据,归纳出:

结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积.

意图:探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质.由于正方形C的面积计算是一个难点,为此设计了一个交流环节.

效果:学生通过充分讨论探究,在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.

3.议一议

内容:(1)你能用直角三角形的边长a,b,c来表示上图中正方形的面积吗?

(2)你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?

(3)分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?

勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2?b2?c2.

数学小史:勾股定理是我国最早发现的,中国古代把直角三角形

中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,“勾股定

理”因此而得名.(在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理)

意图:议一议意在让学生在结论2的基础上,进一步发现直角三

角形三边关系,得到勾股定理.

效果:1.让学生归纳表述结论,可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力;2.通过作图培养学生的动手实践能力.

弦股

第三环节:勾股定理的简单应用

内容:

例题 如图所示,一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m

处折断倒下,树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少?

(教师板演解题过程)

练习:

1.基础巩固练习:

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求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答):

2.生活中的应用:

小明妈妈买了一部29 in(74 cm)的电视机. 小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽,他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

意图:练习第1题是勾股定理的直接运用,意在巩固基础知识.

效果:例题和练习第2题是实际应用问题,体现了数学来源于生活,又服务于生活,意在培养学生“用数学”的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.

225100x15?

第四环节:课堂小结

内容:

教师提问:

1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?

2.对这些内容你有什么体会?与同伴进行交流.

在学生自由发言的基础上,师生共同总结:

1.知识:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c

222分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a?b?c.

2.方法:(1) 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用;

(2)“割、补、拼、接”法.

3.思想:(1) 特殊—一般—特殊;

(2) 数形结合思想.

意图:鼓励学生积极大胆发言,可增进师生、生生之间的交流、互动.

效果:通过畅谈收获和体会,意在培养学生口头表达和交流的能力,增强不断反思总结的意识.

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第五环节:布置作业

内容:布置作业:1.教科书习题1.1.

2.观察下图,探究图中三角形的三边长是否满足a2?b2?c2?

意图:课后作业设计包括了三个层面:作业1是为了巩固基础知识而设计;作业2是为了扩展学生的知识面;作业3是为了拓广知识,进行课后探究而设计,通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件.

效果:学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.

五、教学设计反思

(一)设计理念

依据“学生是学习的主体”这一理念,在探索勾股定理的整个过程中,本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时,进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.

(二)突出重点、突破难点的策略

为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理,本节课首先情景创设激发兴趣,再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手,自然过渡到探究一般直角三角形,学生通过观察图形,计算面积,分析数据,发现直角三角形三边的关系,进而得到勾股定理.

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第一章 勾股定理

1. 探索勾股定理(第2课时)

一、学生起点分析

学生的知识技能基础:学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质,并能进行简单的恒等变形;上节课又已经通过测量和数格子的方法,对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理,但没有对一般的直角三角形进行验证.

学生活动经验基础:学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程,具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验,具备了一定的探究能力和合作与交流的能力;学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.

二、教学任务分析

本节课是八(上)勾股定理第1节第2课时,是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容,具体学习任务:通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想;应用勾股定理解决一些实际问题,体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力 ,为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是:

1.掌握勾股定理及其验证,并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上,经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的验证活动中,培养探究能力和合作精神;通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,增强爱国情感,并通过应用勾股定理解决实际问题,培养应用数学的意识.

用面积法验证勾股定理,应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点.

三、教学过程

本节课设计了七个教学环节:(一)复习设疑,激趣引入;(二)小组活动,拼图验证;

(三)延伸拓展,能力提升 (四) 例题讲解,初步应用;(五) 追溯历史,激发情感;;

(六) 回顾反思,提炼升华;(七) 布置作业,课堂延伸.

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第一环节: 复习设疑,激趣引入

内容:教师提出问题:

(1)勾股定理的内容是什么?(请一名学生回答)

(2)上节课我们仅仅是通过测量和数格子,对具体的直角三角形探索发现了勾股定理,对一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢?这需要进一步验证,如何验证勾股定理呢?事实上,现在已经有几百种勾股定理的验证方法,这节课我们也将去验证勾股定理. 意图:(1)复习勾股定理内容;(2)回顾上节课探索过程,强调仍需对一般的直角三角形进行验证,培养学生严谨的科学态度;(3)介绍世界上有数百种验证方法,激发学生兴趣.

效果:通过这一环节,学生明确了:仅仅探索得到勾股定理还不够,还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时,马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望. 第二环节:小组活动,拼图验证.

内容: 活动1: 教师导入,小组拼图.

教师:今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.(请每位同学用2分钟时间独立拼图,然后再4人小组讨论.)

活动2:层层设问,完成验证一.

学生通过自主探究,小组讨论得到两个图形:

图1 图2

在此基础上教师提问: (1)如图1你能表示大正方形的面积吗?能用两种方法吗?(学生先独立思考,再4人小组交流);

(2)你能由此得到勾股定理吗?为什么?(在学生回答的基础上板书(a+b)2=431ab+c2.并得到a2?b2?c2) 2

从而利用图1验证了勾股定理.

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活动3 : 自主探究,完成验证二.

教师小结:我们利用拼图的方法,将形的问题与数的问题结合起来,联系整式运算的有关知识,从理论上验证了勾股定理,你还能利用图2验证勾股定理吗?

(学生先独立探究,再小组交流,最后请一个小组同学上台讲解验证方法二)

意图:设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股定理的验证作铺垫,同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中,学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证,完成本节课的一个重点内容.设计活动3,让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.

效果:学生通过先拼图从形上感知,再分析面积验证,比较容易地掌握了本节课的重点内容之一,并突破了本节课的难点.

第三环节 延伸拓展,能力提升

1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2 2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4,求两直角边的长。

意图:在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系,那么锐角三角形或钝角三角形的三边 是否也满足这一关系呢?学生通过数格子的方法可以得出:如果一个三角形不是直角三角形,那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2。通过这个结论,学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识,并为后续直角三角形的判别打下基础。

第四环节: 例题讲解 初步应用

内容:例题:飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩子头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?

意图:(1)初步运用勾股定理解决实际问题,培养学生应用数学的意识和能力;(2)体会勾股定理的应用价值.

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效果:学生对这样的实际问题很感兴趣,基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.

第五环节: 追溯历史 激发情感

活动内容:由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.

国内调查组报告:用图2验证勾股定理的方法,据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 .2002年的数学家大会(ICM-2002)在北京召开,这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图,这既标志着中国古代的数学成就 ,又像一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们!

国际调查组报告:勾股定理与第一次数学危机.

约公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理),若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数,它不能表示成两个整数之比,这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭,而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁,第一次数学危机由此爆发.据说,毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒,为了保守秘密,最后将希帕索斯投入大海.

不能表示成两个整数之比的数,15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .

趣闻调查组报告:勾股定理的总统证法.

在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景??他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,

小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探

好奇心驱使他循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在

么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三

第10页 有两个a b 讨.由于干什角

形??

于是这位中年人不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下

的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给

出了简洁的证明方法.

1876年4月1日,他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法. 1881年,这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.

说明:这个环节完全由学生来组织开展,教师可在两天前布置任务,让部分同学收集勾股定理的资料,并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示,内容可灵活安排.

意图:(1)介绍与勾股定理有关的历史,激发学生的爱国热情;(2)学生加强了对数学史的了解,培养学习数学的兴趣;(3)通过让部分学生搜集材料,展示材料,既让学生得到充分的锻炼,同时也活跃了课堂气氛.

效果:学生热情高涨,对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣,同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出:当代中国数学成就不够强,还应发奋努力.有同学能意识这一点,这让我喜出望外.

第六环节: 回顾反思 提炼升华

内容:教师提问:通过这节课的学习,你有什么样的收获?师生共同畅谈收获.

目的:(1)归纳出本节课的知识要点,数形结合的思想方法;(2)教师了解学生对本节课的感受并进行总结;(3)培养学生的归纳概括能力.

效果:由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性,所以学生谈的收获很多,包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想,学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.

第七环节: 布置作业,课堂延伸

内容:教师布置作业

1.习题1.2 1,2,3

2.上网或查阅有关书籍,搜集至少1种勾股定理的其它证法,至少1个勾股定理的应用问题,一周后进行展评.

意图:(1)巩固本节课的内容.(2)充分发挥勾股定理的育人价值.

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六、教学设计反思

1.设计说明

勾股定理作为“千古第一定理”其魅力在于其历史价值和应用价值,因此我注意充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了他们收集、整理资料的能力.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,我设计了拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究得到方法1,最后由学生独立探究得到方法2.这样学生较容易地突破了本节课的难点.

2.教学建议

如果学生的程度较好可以按照本教学设计进行教学,并且可以把分层练习中“知识拓展”作为课堂教学内容.

如果学生程度稍差,可以舍弃第三环节以及第五环节中的(2)(3)两个问题.而把分层练习中“基础训练”作为课堂过关使用.

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第一章 勾股定理

2. 一定是直角三角形吗

一、学生知识状况分析

学生已经了勾股定理,并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验,如:已知两直线平行,有什么样的结论?反之,满足什么条件的两直线是平行?因而,本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题,学生应该已经具备这样的意识,但具体研究中,可能要用到反证等思路,对现阶段学生而言可能还具有一定困难,需要教师适时的引导。

二、学习任务分析

本节课是北师大版数学八年级(上)第一章《勾股定理》第2节。教学任务有:探索勾股定理的逆定理,并利用该定理根据边长判断一个三角形是否是直角三角形,利用该定理解决一些简单的实际问题;通过具体的数,增加对勾股数的直观体验。本节课的教学目标是:

1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念;

2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形;

3.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力、归纳能力;

4.体验生活中的数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣;

教学重点

理解勾股定理逆定理的具体内容。

三、教法学法

1.教学方法:实验—猜想—归纳—论证

本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对通过实验获得数学结论已有一定的体验,但数学思维严谨的同学总是心存疑虑,利用逻辑推理的方式,让同 第13页

学心服口服显得非常迫切,为了实现本节课的教学目标,我力求从以下三个方面对学生进行引导:

(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程;

(2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程;

(3)利用探索,研究手段,通过思维深入,领悟教学过程。

2.课前准备

教具:教材、电脑、多媒体课件。

学具:教材、笔记本、课堂练习本、文具。

四、教学过程设计

本节课设计了七个环节。第一环节:情境引入;第二环节:合作探究;第三环节:小试牛刀;第四环节:登高望远;第五环节:巩固提高;第六环节:交流小结;第七环节:布置作业。

第一环节:情境引入

内容:

情境:1.直角三角形中,三边长度之间满足什么样的关系?

2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是否

就是直角三角形呢?

意图:通过情境的创设引入新课,激发学生探究热情。

效果:从勾股定理逆向思维这一情景引入,提出问题,激发了学生的求知欲,为下一环节奠定了良好的基础。

第二环节:合作探究

内容1:探究

下面有三组数,分别是一个三角形的三边长a,b,c,①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17;并回答这样两个问题:

1.这三组数都满足a2?b2?c2吗?

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2.分别以每组数为三边作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?学生分为4人活动小组,每个小组可以任选其中的一组数。

意图:通过学生的合作探究,得出“若一个三角形的三边长a,b,c,满足a2?b2?c2,则这个三角形是直角三角形”这一结论;在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程,同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。

效果:经过学生充分讨论后,汇总各小组实验结果发现:①5,12,13满足a2?b2?c2,可以构成直角三角形;②7,24,25满足a2?b2?c2,可以构成直角三角形;③8,15,17满足a2?b2?c2,可以构成直角三角形。

从上面的分组实验很容易得出如下结论:

如果一个三角形的三边长a,b,c,满足a2?b2?c2,那么这个三角形是直角三角形 内容2:说理

提问:有同学认为测量结果可能有误差,不同意这个发现。你认为这个发现正确吗?你能给出一个更有说服力的理由吗?

意图:让学生明确,仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠,需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性,同时明晰结论:

如果一个三角形的三边长a,b,c,满足a2?b2?c2,那么这个三角形是直角三角形 满足a2?b2?c2的三个正整数,称为勾股数。

注意事项:为了让学生确认该结论,需要进行说理,有条件的班级,还可利用几何画板动画演示,让同学有一个直观的认识。

活动3:反思总结

提问:

1.同学们还能找出哪些勾股数呢?

2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢?

3.到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?

4.通过今天同学们合作探究,你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢? 意图:进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系

第三环节:小试牛刀

第15页

内容:

1.下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长?请说明理由。

①9,12,15; ②15,36,39; ③12,35,36; ④12,18,22 解答:①②

2.一个三角形的三边长分别是15cm,20cm,25cm,则这个三角形的面积是( )

A 250 cm2 B 150cm2 C 200 cm2 D 不能确定 解答:B

3.如图,在?ABC中,AD?BC于D,BD?9,AD?12,AC?20,则?ABC是( )

A 等腰三角形 B 锐角三角形

C 直角三角形 D 钝角三角形 解答:C

) 4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是(

A 直角三角形 B 锐角三角形

C 钝角三角形 D 不能确定 解答:A

意图:通过练习,加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用

效果:每题都要求学生独立完成(5分钟),并指出各题分别用了哪些知识。

第四环节:登高望远

内容:

1.一个零件的形状如图2所示,按规定这个零件中?A,?DBC都应是直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示,这个零件符合要求吗?

DD

4

AB3513C

第16页

解答:符合要求 ?32?42?52,??DAB?90? 又?52?122?132,??DBC?90?

2.一艘在海上朝正北方向航行的轮船,航行240海里时方位仪坏了,凭经验,船长指挥船左传90°,继续航行70海里,则距出发地250海里,你能判断船转弯后,是否沿正西方向航行?

C 解答:由题意画出相应的图形

AB=240海里,BC=70海里,,AC=250海里;在△ABC中

AC2?AB2?2502?2402 =(250+240)(250-240)

=4900=702=BC2即AB2?BC2?AC2∴△ABC是Rt△

答:船转弯后,是沿正西方向航行的。

意图:利用勾股定理逆定理解决实际问题,进一步巩固该定理。

效果: 学生能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可;利用三角形三边数量关系

当遇见数据较大时,要懂得将a2?b2?c2作适当a2?b2?c2判断一个三角形是直角三角形时,

变形(c2?b2?a2),以便于计算。

第五环节:巩固提高

内容:

1.如图4,在正方形ABCD中,AB=4,AE=2,DF=1, 图中有几个直角三角形,你是如何判断的?与你的同伴交流。

解答:4个直角三角形,它们分别是△ABE、△DEF、△BCF、△BEF

2.如图5,哪些是直角三角形,哪些不是,说说你的理由?

E ①

F ②③

④第

图4 图5

解答:④⑤是直角三角形,①②③⑥不是直角三角形

意图:

第一题考查学生充分利用所学知识解决问题时,考虑问题要全面,不要漏解;第二题在于考查学生如何利用网格进行计算,从而解决问题。

效果:

学生在对所学知识有一定的熟悉度后,能够快速做答并能简要说明理由即可。注意防漏解及网格的应用。

第六环节:交流小结

内容:

师生相互交流总结出:

1.今天所学内容①会利用三角形三边数量关系a2?b2?c2判断一个三角形是直角三角形;②满足a2?b2?c2的三个正整数,称为勾股数;

2.从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法:①数学是源于生活又服务于生活的;②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程,同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律;③利用三角形三边数量关系a2?b2?c2判断一个三角形是直角三角形时,当遇见数据较大时,要懂得将a2?b2?c2作适当变形,c2?b2?a2便于计算。

意图:

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史;敢于面对数学学习中的困难,并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验,进一步体会数学的应用价值,发展运用数学的信心和能力,初步形成积极参与数学活动的意识。

效果:

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结出利用三角形三边数量关系a2?b2?c2 第18页

判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用。

第七环节:布置作业

课本习题1.3第1,2,4题。

五、教学反思:

1.充分尊重教材,以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形的三边长a,b,c,满足a2?b2?c2,是否能得到这个三角形是直角三角形”的问题;充分引用教材中出现的例题和练习。

2.注重引导学生积极参与实验活动,从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程,同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。

3.在利用今天所学知识解决实际问题时,引导学生善于对公式变形,便于简便计算。

4.注重对学习新知理解应用偏困难的学生的进一步关注。

5.对于勾股定理的逆定理的论证可根据学生的实际情况做适当调整,不做要求。 由于本班学生整体水平较高,因而本设计教学容量相对较大,教学中,应注意根据自己班级学生的状况进行适当的删减或调整。

附:板书设计

第19页

第一章 勾股定理

3. 勾股定理的应用

一、学生知识状况分析

本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动.学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识,并从事过相应的实践活动,因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.

二、教学任务分析

本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第3节.具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.当然,在这些具体问题的解决过程中,需要经历几何图形的抽象过程,需要借助观察、操作等实践活动,这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识;一些探究活动具体一定的难度,需要学生相互间的合作交流,有助于发展学生合作交流的能力.

本节课的教学目标是:

1.通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的空间观念.

2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.

利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题是本节课的重点也是难点.

四、教法学法

1.教学方法

引导—探究—归纳

本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识教强,思维活跃,为了实现本节课的 第20页

教学目标,我力求以下三个方面对学生进行引导:

(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程;

(2)从学生活动出发,顺势教学过程;

(3)利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程.

2.课前准备

教具:教材、电脑、多媒体课件.

学具:用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具.

五、教学过程分析

本节课设计了七个环节.第一环节:情境引入;第二环节:合作探究;第三环节:做一做;第四环节:小试牛刀;第五环节:举一反三;第六环节:交流小结;第七环节:布置作业.

第一环节:情境引入

内容:

情景1:多媒体展示:

提出问题:从二教楼到综合楼怎样走最近?

情景2:

如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食

B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处

B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近?

意图:

通过情景1复习公理:两点之间线段最短;情景2的创设引入新课,激发学生探究热情.

效果:

从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠定了良好基础.

物在爬向

第21页

第二环节:合作探究

内容:

学生分为4人活动小组,合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总各小组的方案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,总结出最短路线.让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的方法.

意图:

通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸,培养学生与人合作交流的能力,增强学生探究能力,操作能力,分析能力,发展空间观念.

效果:

学生汇总了四种方案:

A’ A’ A’

(1) (2) (3) (4)

学生很容易算出:情形(1)中A→B的路线长为:AA'?d,

情形(2)中A→B的路线长为:AA'?

所以情形(1)的路线比情形(2)要短.

学生在情形(3)和(4)的比较中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形,情形(3)A→B是折线,而情形(4)是线段,故根据两点之间线段最短可判断(4)较短,最后通过计算比较(1)和(4)即可.

如图:

(1)中A→B的路线长为:AA'?d.

(2)中A→B的路线长为:AA'?A'B>AB.

(3)中A→B的路线长为:AO+OB>AB.

(4)中A→B的路线长为:AB.

得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解

题.在这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体,具

第22页

?d2 决体问观

察.接下来后提问:怎样计算AB?

在Rt△AA′B中,利用勾股定理可得AB2?AA?2?A'B2,若已知圆柱体高为12cm,底面半径为3cm,π取3,则AB2?122?(3?3)2,?AB?15.

注意事项:本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面,目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条.因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后,把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上.

方法提炼:解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型,解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下:

1.审题——分析实际问题;

2.建模——建立相应的数学模型;

3.求解——运用勾股定理计算;

4.检验——是否符合实际问题的真实性.

第三环节:做一做

内容:

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂

边AB,但他随身只带了卷尺,

(1)你能替他想办法完成任务吗?

(2)李叔叔量得AD长是30厘米,AB长是40厘米,BD长

米,AD边垂直于AB边吗?为什么?

(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?

解答:(2)?AD2?AB2?302?402?2500

BD2?2500

?AD2?AB2?BD2 直于底是50厘

∴AD和AB垂直.

意图:

运用勾股定理逆定理来解决实际问题,让学生学会分析问题,利用允许的工具灵活处理问题.

第23页

效果:

先鼓励学生自己寻找办法,再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺较短时,学生可能会在上面解决问题的基础上,想出多种办法,如利用分段相加的方法量出AB,AD和BD的长度,或在AB,AD边上各量一段较小长度,再去量以它们为边的三角形的第三边,从而得到结论.

第四环节:小试牛刀

内容:

1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨8:00甲先出发,他以6 km/h的速度向正东行走,1时后乙出发,他以5 km/h的速度向正北行走.上午10:00,甲、乙两人相距多远?

解答:如图:已知A是甲、乙的出发点,10:00甲到达B点,乙到达C点.则:

AB=236=12(km)

AC=135=5(km)

在Rt△ABC中:

BC2?AC2?AB2?52?122?169?132.

∴BC=13(km). A即甲乙两人相距13 km.

2.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?并求出最近距离. 解答:?AB2?152?202?625?252.

3220B

3.有一个高为1.5 m,半径是1mA

入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m,问这根铁棒有多长?

解答:设伸入油桶中的长度为x m.

则最长时: x2?1.52?22.

x?2.5.

∴最长是2.5+0.5=3(m).

最短时: x?1.5.

第24页

∴最短是1.5+0.5=2(m).

答:这根铁棒的长应在2~3m之间.

意图:

对本节知识进行巩固练习,训练学生根据实际情形画出示意图并计算.

效果:

学生能独立地画出示意图,将现实情形转化为数学模型,并求解.

第五环节:举一反三

内容:

1.如图,在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁,现要向顶点B处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B?

解:如图,在Rt△ABC中: AB2?AC2?BC2?102

?202=500.

∵500>202 .

∴不能在20 s内从A爬到B.

2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?

解答:设水池的水深AC为x尺,则这根芦苇长为

AD=AB=(x+1)尺,

在直角三角形ABC中,BC=5尺.

由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.

即 52+ x2=(x+1)2.

25+x2= x2+2x+1.

第25页

2x=24.

∴ x=12,x+1=13.

答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺.

意图:

第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展,从圆柱侧面到棱柱侧面,都是将空间问题平面化;第2题,学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用,了解我国古代人民的聪明才智;运用方程的思想并利用勾股定理建立方程.

效果:

学生能画出棱柱的侧面展开图,确定出AB位置,并正确计算.如有可能,还可把正方体换成长方体进行讨论.

学生能画出示意图,找等量关系,设适当的未知数建立方程.

注意事项:对于普通班级而言,学生完成“小试牛刀”,已经基本完成课堂教学任务.因此本环节可以作为教学中的一个备选环节,共老师们根据学生状况选用.

第六环节:交流小结

内容:

师生相互交流总结:

1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解.

2.在寻求最短路径时,往往把空间问题平面化,利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.

意图:

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史.

效果:

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结出在寻求曲面最短路径时,往往考虑其展开图,利用两点之间,线段最短进行求解.并赞叹我国古代数学的成就.

第七环节:布置作业

1.课本习题1.4第1,2,3题.

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2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?

注意事项:作业2作为学有余力的学生的思考题.

六、教学设计反思

本节从生动有趣的问题情景出发,通过学生自主探究,运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,既巩固了基本知识点,又在将实际问题抽象成几何图形过程中,学会观察,提高分析能力,渗透数学建摸思想.在设计中,我注重以下两点:

1.要充分利用好教材提供的素材

“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题,让学生充满了探究的欲望,这个问题体现了二、三维图形的转化,对发展学生的空间观念很有好处.

2.合理使用教材提供的练习

本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组,使练习有梯度,既巩固了基本知识点,又训练了学生的应用能力.第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆定理.

3.突破重点、突破难点的策略

在教学过程中教师应通过情景创设,激发兴趣,鼓励引导学生经历探索过程,得出结论,从而发展学生的数学应用能力,提高学生解决实际问题的能力.

4.分层教学

根据本班学生实际情况可在教学过程中选择:基础训练——“小试牛刀”;提高训练——“举一反三”;拓展训练——作业第2题.

5.评价方式

根据新课标的评价理念,在教学过程中应关注学生的参与程度,关注活动中所反映出的思维水平,关注对实际问题的理解水平,关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力.在教学过程中尊重学生的个体差异,对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励,并帮助学生树立学习数学的自信,充分发挥教育的价值.

第27页

附:板书设计

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第一章 勾股定理

回顾与思考

一、学生起点分析

通过前面三节的学习,学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识,并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.

八年级学生已初步具有几何图形的观察,几何证明的理论思维能力.他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境,给他们发表自己见解和表现自己才华的机会,希望老师满足他们的创造愿望,让他们实际操作,使他们获得施展自己创造才能的机会.但对于勾股定理的综合应用,还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识,但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟,可能部分同学会有一些困难.

二、教学任务分析

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将形与数密切联系起来,理论上占有重要的地位,它有着悠久的历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用,勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础,具有学科的基础性与广泛的应用.

本课时教学是复习课,强调让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生自主探索与合作交流,以学生自主探索为主,并强调同桌之间的合作与交流,强化应用意识,培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索,感受数学的美,以提高学习兴趣.

为此,本节课的教学目标是:

①让学生回顾本章的知识,同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.

②在回顾与思考的过程中,提高解决问题,反思问题的能力.

第29页

③在反思和交流的过程中,体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认识,培养爱国主义精神,体验科学给人来带来的力量.

三、教学过程设计

本节课设计了六个环节.第一环节:情境引入;第二环节:知识结构梳理;第三环节:合作探究;第四环节:拓展提升;第五环节:交流小结;第六环节:布置作业. 第一环节 情境引入

勾股定理,我们把它称为世界第一定理.它的重要性,通过这一章的学习已深有体验,首先,勾股定理是数形结合的最典型的代表;其次,了解勾股定理历史的同学知道,正是由于勾股定理得发现,导致无理数的发现,引发了数学的第一次危机,这一点,我们将在《实数》一章里讲到,第三,勾股定理中的公式是第一个不定方程,有许许多多的数满足这个方程,也是有完整的解答的最早的不定方程,最为著名的就是费马大定理,直到1995年,数学家怀尔斯才将它证明.

勾股定理是我们数学史的奇迹,我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富,这节课,我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史,勾股定理的应用.

目的:

通过对勾股定理历史及地位的解读,让学生了解知识脉络及前后联系,激发学习探究热情.

效果:

从历史的深度提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠定了良好基础.

第二环节:知识结构梳理

本章知识要点及结构:

(第1—6题由学生独立思考完成,小组代表展示)

1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,如果用a,b和c分别表示直角三角形的直角边和斜边,那么__________?c.

2.勾股定理各种表达式:

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边也分别为a,b,c,则c=_________,2b=_________,c=_________.

第30页

3.勾股定理的逆定理:

在△ABC中,若a,b,c三边满足___________,则△ABC为___________.

4.勾股数:

满足___________的三个___________,称为勾股数.

5.几何体上的最短路程是将立体图形的________展开,转化为_________上的路程问题,再利用___________两点之间,___________解决最短线路问题.

6.直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?

(教师引导,小组讨论、总结)

从边的关系来说,当然就是勾股定理;从角度的关系来说,由于直角三角形中有一个特殊的角即直角,所以直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形作为一个特殊的三角形.如果又有一个锐角是30?,那么30?的角所对的直角边时斜边的一半.

7.举例说明,如何判断一个三角形是直角三角形.

判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断.

(1)从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形.

例如:①在△ABC中,?B?75?,?C?15?,根据三角形的内角和定理,可得?A?90?,根据定义可判断△ABC是直角三角形.

11②在△ABC中,?A??B??C,由三角形的内角和定理可知,?A?30?,23

?B?2?A?60?,?C?3?A?90?,△ABC是直角三角形.

(2)从边出发来判断一个三角形是直角三角形.其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理).

例如:①△ABC的三条边分别为a?7,b?25,c?24,而22222a?c?7?24?625?25?b,根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形,但这里要注意的是b所对的角?B?90?.

②在△ABC三条边的比为a:b:c?5:12:13,△ABC是直角三角形.

8.通过回顾与思考中的问题的交流,由同学们自己建立本章的知识结构图.

(小组内展示自己总结的知识框图,相互交流完善知识框图;每个小组选取一名代表,展示本组的知识框图.)

第31页 ?三边的关系--勾股定理→历史、应用

直角三角形

直角三角形的判别→应用

目的:

复习与直角三有形有关的知识,加强知识的前后联系,把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中,把以前的零散的知识形成知识体系.通过学生相互交流,整理知识框图复习本章知识点,自觉内化到自身的知识体系中.

效果:

学生有独立思考的空间,与有合作交流的舞台,动静结合,相得益彰.

第三环节:合作探究

内容:

探究一:利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长的平方.

解:(1)当两直角边为3和4时,第三边长的平方为25;

(2)当斜边为4,一直角边为3时,第三边长的平方为7.

注意事项:

因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法,即意味着两直角边为3和4时,斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明,因而所求的第三边可能为斜边,但也可能为直角边.

探究二:利用勾股定理求图形面积:

1.求出下列各图中阴影部分的面积.

(1)(2)2 _ 3 ()

图(1)阴影部分的面积为____;(答案:1)

图(2)阴影部分的面积为____;(答案:81)

图(3)阴影部分的面积为____;(答案:5)

第32页

2. 已知Rt△ABC中,?C?90?,若a?b?14cm,c?10cm,求Rt△ABC的面积. 解:S?ABC?

?11ab??2ab241?(a?b)2?(a2?b2)???4

1??(a?b)2?c2???4

1??(142?102)4

?24.

探究三:利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度

(a?b)?c1. 在△ABC中,?A,?B,?C的对边分别为a,b,c,且(a?b)2,则( ).

(A)?A为直角 (B)?C为直角 (C)?B为直角 (D)不是直角三角形

解:?a2?b2?c2,∴a2?b2?c2.故选(A).

注意事项:

因为常见的直角三角形表示时,一般将直角标注为?C,因而有同学就习惯性的认为?C就一定表示直角,加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错误.该题中的条件应转化为a2?b2?c2,即a2?b2?c2,因根据这一公式进行判断.

2.已知△ABC的三边为a,b,c,有下列各组条件,判定△ABC的形状.

(1)a?41,b?40,c?9;

2222(2)a?m?n,b?m?n,c?2mn(m?n?0).

解:(1)(2)均为直角三角形.

探究四:勾股定理及逆定理的综合应用:

B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60?方向以每小时8 n mile的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34 n mile,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

解:甲船航行的距离为BM=8?2?16(n mile),

乙船航行的距离为BP=15?2?30(n mile).

∵162?302?1156,342?1156,∴BM2?BP2?MP2,

∴△MBP为直角三角形,∴?MBP?90?,∴乙船是沿着南偏东30?方向航行的. 注意事项:

勾股定理的使用前提是直角三角形,而本题需对三角形做出判断,判断的依据是勾定 第33页

理的逆定理,其形式为“若a2?b2?c2,则?C?90?.学生容易不先对三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算.

目的:

通过对四大问题的探究,培养同学们归纳知识的能力,并将各种数学基本思想方法渗透其中,如对数形结合思想的渗透,鼓励学生由代数表示联想到几何图形,由几何图形联想到有关代数表示,从而认识数学的内在联系.如对分类讨论的渗透,培养学生严谨的数学态度.

效果:

探究四综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题,这种贴近生活的实例,训练学生解决实际问题的能力,通过学生的解答和讨论,让学生自我解决疑难,既是对所学知识的巩固应用,又让学生体验成功的喜悦.

第四环节:拓展提升

内容:

目的:

第34页

学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用,了解我国古代人民的聪明才智,在我们的数学史上,好多结论的发现都是这样一个过程,都是从几个或大量的特例中发现规律,大胆猜想出结论,然后以前面的理论作为基础,证明猜想,一个伟大的成果就诞生了,掌握这种研究数学的方法,大胆创新,刻苦钻研,说不一定你就是未来的商高,第二个赵爽.

效果:

运用勾股定理和方程思想解决实际问题,让学生体会生活中处处皆数学,并且使新知得到了巩固,能力得到了训练,认识得到了升华.

第五环节:交流小结

内容:

师生相互交流总结:

1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法?

2.你在学习过程中是否积极参与?是否与同伴进行了有效的合作交流?

目的:

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史.

效果:

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结解决问题的思路与方法,并赞叹我国古代数学的成就.

第六环节:布置作业

1.课本《复习题》.

2.思考题:一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2 m,坡角?A?30?,?B?90?,BC?6m.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= m时,有DC2?AE2?BC2.(答案为:14.) 3

第35页

四、教学设计反思

本节课是复习课,利用勾股定理和勾股逆定理来解决实际问题.勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的,它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系,而勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.针对我班学生的知识结构和心理特征,本节课的设计思路是引导学生“‘做’数学”,先由浅入深,在学生的自主探究与合作交流中解决问题,这样既遵循了学生的认知规律,又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.本节课围绕激趣引入,归纳知识--综合练习,应用知识—课堂小结三部分,发展学生应用数学的意识与能力,增强了学生学好数学的愿望和信心.让学生自己绘制知识网络图,进一步体会本章所学知识之间的前后联系,并培养了学生这方面的能力.设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况,又注重了综合课的特点,注重对所学知识的综合利用.设计的问题尽量与实际问题有联系,体现了数学来源于实际,又应用于生活实际,这一点符合新课标的要求。

附:板书设计

第36页

第二章 实数

1. 认识无理数(第1课时)

一、学生起点分析

通过前一章《勾股定理》的学习,学生已经明白什么是勾股数,但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数,甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是,例如:①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数,②两条直角边分别为1,2的直角三角形的斜边长不是有理数,这为引入“新数”奠定了必要性.

二、教学任务分析

《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第二章《实数》的第一节. 本节内容安排了2个课时完成,第1课时让学生感受无理数的存在,初步建立无理数的印象,结合勾股定理知识,会根据要求画线段;第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数,会判断一个数是无理数.本课是第1课时,学生将在具体的实例中,通过操作、估算、分析等活动,感受无理数的客观存在性和引入的必要性,并能判断一个数是不是有理数.

本节课的教学目标是:

①通过拼图活动,让学生感受客观世界中无理数的存在;

②能判断三角形的某边长是否为无理数;

③学生亲自动手做拼图活动,培养学生的动手能力和探索精神;

④能正确地进行判断某些数是否为有理数,加深对有理数和无理数的理解;

三、教学过程设计

本节课设计了6个教学环节:

第一环节:置疑;第二环节:课题引入;第三环节:获取新知;第四环节:应用与巩固;第五环节:课堂小结;第六环节:作业布置.

第一环节:质疑

内容:【想一想】

第37页

⑴一个整数的平方一定是整数吗?

⑵一个分数的平方一定是分数吗?

目的:作必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理.

效果:为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用

第二环节:课题引入

内容:1.【算一算】

已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方 ,并提出问题:x是整数(或分数)吗?

2.【剪剪拼拼】

把边长为1的两个小正方形通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?

目的:选取客观存在的“无理数“实例,让学生深刻感受“数不够用了”.

效果:巧设问题背景,顺利引入本节课题.

第三环节:获取新知

内容:【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】

【议一议】: 已知a2?2,请问:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?

【释一释】:释1.满足a2?2的a为什么不是整数?

释2.满足a2?2的a为什么不是分数?

【忆一忆】:让学生回顾“有理数”概念,既然a不是整数也不是分数,那么a一定

不是有理数,这表明:有理数不够用了,为“新数”(无理数)的学习

奠定了基础

【找一找】:在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是

有理数的线段

目的:创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”

(无理数)的存在,从 第38页

而激发学习新知的兴趣

效果:学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,产生了学习新数的必要性.

第四环节:应用与巩固

内容:【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】

【画一画1】:在右1的正方形网格中,画出两条线段:

1.长度是有理数的线段 2.长度不是有理数的线段

【画一画2】:在右2的正方形网格中画出四个三角形 (右1)

2.三边长都是有理数 2.只有两边长是有理数

3.只有一边长是有理数 4.三边长都不是有理数

【仿一仿】:例:在数轴上表示满足x2?2?x?0?的x

解: (右2)

仿:在数轴上表示满足x2?5?x?0?的x

【赛一赛】:右3是由五个单位正方形组成的纸片,请你把

它剪成三块,然后拼成一个正方形,你会吗?试试看! (右3)

目的:进一步感受“新数”的存在,而且能把“新数”表示在数轴上

效果:加深了对“新知”的理解,巩固了本课所学知识.

第五环节:课堂小结

内容: 1.通过本课学习,感受有理数又不够用了, 请问你有什么收获与体会?

2.客观世界中,的确存在不是有理数的数,你能列举几个吗?

3.除了本课所认识的非有理数的数以外,你还能找到吗?

目的:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,使知识系统化. 效果:学生总结、相互补充,学会进行概括总结.

第六环节:布置作业

习题

2.1

第39页

六、教学设计反思

(一)生活是数学的源泉,兴趣是学习的动力

大量事实都证明一点,与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣,才能激发学习者的学习积极性,学习才可能是主动的.本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆置疑,生活中的数并不都是有理数,那它们究竟是什么数呢?从而引发了学生的好奇心,为获取新知,创设了积极的氛围.在教学中,不要盲目的抢时间,让学生能够充分的思考与操作.

(二)化抽象为具体

常言道:“数学是锻炼思维的体操”,数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维,因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识,还应要求学生充分理解,并能用恰当数学语言进行解释.正是基于这个原因,在教学过程中,刻意安排了一些环节,加深对新数的理解,充分感受新数的客观存在,让学生觉得新数并不抽象.

(三)强化知识间联系,注意纠错

既然称之为“新数”,那它当然不是有理数,亦即不是整数,也不是分数,所以“新数”不可以用分数来表示,这为进一步学习“新数”,即第二课时教学埋下了伏笔,在教学中,要着重强调这一点:“新数”不能表示成分数,为无理数的教学奠好基.

第40页

第 实数

1. 认识无理数(第2课时)

一 、学生起点分析

学生在小学阶段已经学习了非负数,七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习,学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数,让学生认识到所学的数又不够用了,从而激发他们学习的好奇心,能积极主动地参与到学习中,充分认识到学习无理数引入的必要性,发展学生的合情推理能力.

二 、教学任务分析

《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第二章《实数》的第一节,第一课时让学生感受数的发展,感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时,内容是建立无理数的基本概念,借助计算器,感受无理数是无限不循环小数,会判断一个数是无理数,并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力,在学习中领悟数学知识来源于生活,体会数学知识与现实世界的联系,而且对今后学习数学也有着重要意义.为此,本节课的教学目标是:

1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,借助计算器进行估算,培养学生的估算能力,发展学生的抽象概括能力,并从中体会无限逼近的思想.

2.探索无理数的定义,比较无理数与有理数的区别,并能辨别出一个数是无理数还是有理数,训练学生的思维判断能力.

3.能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类,并说明理由,进一步体会分类思想,培养学生解决问题的能力.

4.充分调动学生参与数学问题的积极性,培养学生的合作精神,提高他们的辨识能力.

三 、教学过程设计

本节课设计六个教学环节:

第41页

第一环节:新课引入;第二环节:活动与探究;第三环节:知识分类整理;第四环节:知识运用与巩固;第五环节:课堂小结;第六环节:作业布置.

第一环节:新课引入

内容:想一想:

1. 有理数是如何分类的?

?1,0,2,3,?)

有理数192 (如,?,,0.5,? ) 3511

2. 除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率?,0.020020002?上节课又了解到一些数,如a2?2,b2?5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.

意图:通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它的真面目.

效果:激发学生的好奇心和求知欲,引出本节课题“数不够用了(2)”.

第二个环节:活动与探究

1. 探索无理数的小数表示

内容:借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.

请看图,判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系?边长a的取值范围大致是多少?如何估算的?是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.

第42页

归纳总结:a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它们是无限不循环小数.

请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.

目的:让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐地缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356

?,b=2.2360679

?,是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.

效果:学生感受到无理数确实是无限不循环的,为后续定义无理数打下基础.

2. 探索有理数的小数表示,明确无理数的概念

内容:请同学们以学习小组的形式活动:一同学举出任意一分数,另一同学将此分数表示成小数,并总结此小数的形式.

议一议:分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?

探究结论:分数只能化成有限小数或无限循环小数.

即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

强调:像0.585885888588885?,1.41421356?,-2.2360679?等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率?=3.14159265?也是一个无限不循环小数,故?是无理数).

目的:通过学生的活动与探究,得出无理数的概念.

效果:通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.

第三个环节:知识分类整理

内容:到目前为止我们所学过的数可以分为几类?(按小数的形式来分).

整数

有理数:有限小数或无限循环小数

无理数:无限不循环小数

第43页

分数

强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?

目的:培养学生总结归纳的能力,把新学知识纳入已有的知识体系,进一步发展学生的思维判断能力,加强学生对分类思想的理解.

效果:通过师生的共同探究,形成对中学现阶段数的系统认识,提高了总结归纳能力. 第四个环节:知识运用与巩固

内容:认识一个数是无理数还是有理数.

例1填空:

0.351,?4.96,?

继的正整数组成).

无理数集合 ??2?, 3.14159, 6, -5.2323332?,,1234567891011?(由相33

例2 判断下列说法是否正确

(1)有限小数是有理数; ( )

(2)无限小数都是无理数; ( )

(3)无理数都是无限小数; ( )

(4)有理数是有限数. ( )

例3以下各正方形的边长是无理数的是( )

(A)面积为25的正方形;

(C) 面积为8的正方形; (B) 面积为4的正方形; 25(D) 面积为1.44的正方形.

是有理

例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边a数吗?

解:由勾股定理得: a2?32?52,即a2=34.因为34不是完全平

以a不是有理数.

强调:

第44页 方数,所

1. 无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.

2. 任何一个有理数都可以化成分数

不能.

练一练:

1.课本P23 随堂练习.

??322.已知:在数?,5,?1.42,?,3.1416,,0,42,(?1)2n , 34p形式(q ≠0, p,q 为整数且互质),而无理数则q

-1.424224222?中,

(1)写出所有有理数;

(2)写出所有无理数;

(3)把这些数按由小到大的顺序排列起来,并用符号“<”连接.

目的:通过例题的讲解、练习,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.

效果:通过学生练习,更加明确了有理数、无理数的概念,及它们之间的区别与联系,激发学生学习兴趣,巩固了对概念的理解.

第五个环节:课堂小结

内容:本节课你有哪些收获?

1.无理数的定义.

2.你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的?

3.请把已学过的数怎样分类?

目的:让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结,并整理成经验,形成知识体系,培养学生良好的学习习惯,提高其归纳总结能力.

效果:师生共同总结补充,形成完整的知识体系.

第六个环节:布置作业

习题2.2 1.2.3.

四、 教学反思

本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估计、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的 第45页

概念;可能在教学实施过程中,对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行,但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化,复杂知识体系化.同时引导学生回顾旧知、探索新知,形成一定的数学探究能力,进一步培养学生的分类和归纳的思想,为今后的数学学习打下坚实基础. 但对概念的理解掌握一些同学还不很到位,只能在以后的教学过程中不断的加深.另外,由于学生对有理数和无理数的概念具体感知还不够,所以在第三环节:知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例1后再进行知识分类整理可能会更好.

附:板书设计

第46页

第二章 实数

2. 平方根(第1课时)

一、学生起点分析

学生的知识技能基础:学生刚学完《勾股定理》,通过本章第一节的学习,已具备了对无理数的认识,知道只有有理数是不够的.学生还具备了乘方运算的基础,并且有计算正方形等几何图形面积的技能.

学生活动经验基础:在前面的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具备了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》.本节内容计2个课时,本节课是第1课时,主要是算术平方根的概念和性质的教学.课程标准要求,对于数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,力求从学生实际出发,以他们熟悉的问题情景引入学习主题,在关注现实生活的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,因此确定本节的教学目标如下:

①了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根;了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根;了解算术平方根的性质.

②在概念形成过程中,让学生体会知识的来源与发展,提高学生的思维能力;在合作交流等活动中,培养他们的合作精神和创新意识.

③让学生积极参与教学活动,培养他们对数学的好奇心和求知欲.

三、教学过程设计

本课时设计六个环节:第一环节:问题情境;第二环节:初步探究;第三环节:深入探究;第四环节:反馈练习;第五环节:学习小结;第六环节:作业布置.

本节课教学流程为:

第47页

第一环节:问题情境

方法一:问题导入

内容:上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.比如上一节课我们做过的:由两

个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一

个边长为a的大的正方形,那么有a2?2,a=,

2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2?a,

则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们

一起来学习.

方法二:问题导入

内容:前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结

形完成填空:

x2?y2?z2?w2? 合图

目的:方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学习算术平方根的必要性.

效果:能表示x2?2,y2?3,z2?4,w2?5;能求得z?2,但不能求得x,y,w的值.

说明:方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前启后的作用,方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明学习这节课的必要性.相对而言,建议选用方法二.

第48页

第二环节:初步探究

内容1:情境引出新概念

x2?2,y2?3,z2?4,w2?5,已知幂和指数,求底数x,你能求出来吗? 目的:让学生体验概念形成过程,感受到概念引入的必要性.

效果:学生可以估算出x,y是1到2之间的数,w是2到3之间的数但无法表示x,y,w,从而激发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算——开方.

说明:无论是用方法一引入,还是方法二引入,都是激发学生继续往下学习的兴趣,都可以提出同样的问题“已知幂和指数,求底数x,你能求出来吗?”

内容2:在上面思考的基础上,明晰概念:

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2?a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记为“a”,读作“根号a”.特别地,我们规定0的算术平方根是0,即0?0.

目的:对算术平方根概念的认识.

效果:了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的. 内容3:简单运用 巩固概念

例1 求下列各数的算术平方根:

(1) 900; (2) 1; (3) 49; (4) 14. 64

目的:体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是.

效果:会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,负数没有算术平方根.

答案:解:(1)因为302?900,所以900的算术平方根是30,即900?30;

(2)因为12?1,所以1的算术平方根是1,即?1;

494977749?; (3)因为()2?,所以 的算术平方根是, 即648864864

第49页

(4)14的算术平方根是.

内容4:回解课堂引入问题

x2?2,y2?3,w2?5,那么x?2,y?,w?5.

第三环节:深入探究

内容1:例2 自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)

关系为h?4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,

达地面需要多长时间?

目的:用算术平方根的知识解决实际问题.

效果:学生多能利用等式的性质将h?4.9t2进行变形,再

求算术平方根的方法求得题目的解.

解:将h?19.6代入公式h?4.9t2,得t2?4,所以正数

t?4?2(秒). 的到用

即铁球到达地面需要2秒.

说明:强调实际问题t是正数,用的是算术平方根,此题是为得出下面的结论作铺垫的.

内容2:观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.

目的:让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:中的a是一个非负数,a的算术平方根a也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.

效果:再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.

第四环节:反馈练习

一、填空题:

1.若一个数的算术平方根是7,那么这个数是;

第50页

2.的算术平方根是

23.()2的算术平方根是; 3

4.若m?2?2,则(m?2)2?

二、求下列各数的算术平方根:

36,1215,15,0.64,10?4,225,()0. 1446

支三、如图,从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉根绳子AC固定帐篷.若绳子的长度为5.5米,地面定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米,则帐篷

撑竿的高是多少米?

答案:一、1.7;2.3;3.2;4.16;二、36;11;;0.8;10?2;;1. 12

三、解:由题意得 AC=5.5米,BC=4.5米,∠ABC=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB?AC2?BC2?5.52?4.52?(米).所以帐篷支撑竿的高是米.

目的:旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况,以便根据学生情况调整教学进程.

效果:练习注意了问题的梯度性,由浅入深,一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答,教师要给予评价和点评.

第五环节:学习小结

内容:这节课学习的算术平方根是本章的基本概念,是为以后的学习做铺垫的.通过这节课的学习,我们要掌握以下的内容:

(1)算术平方根的概念,式子a中的双重非负性:一是a≥0,二是a≥0.

(2)算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.

(3)

求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系 第51页

求非负数的算术平方根.

目的:依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点,强化算术平方根的概念和性质.

第六环节:作业布置

习题2.3

四、教学设计反思

1.细讲概念、强化训练

要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化的过程.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化.

“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征.算术平方根的本质特征就是定义中指出的:“如果一个正数x的平方等于a,即x2?a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,”的“正数x”,即被开方数是正的,由平方的意义,a也是正数,因此算术平方根也必须是正的.当然零的算术平方根是零.

“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练,如在求正数的算术平方根时,不是直接写出算术平方根,而是通过平方运算来求算术平方根,非平方数的算术平方根只能用根号来表示.

“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组,在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.

2.发展思维、适度拓展 在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展.

第52页

第二章 实数

2. 平方根(第2课时)

一、学生起点分析

学生在七年级上册学习 “棋盘上的故事”就认识了一种运算 “乘方”,并能熟练计算

任何一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根.那么这一课时进一步学习平方根.本节也为后面学习 “立方根”做基础.

二、教学任务分析

《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.在具体的例子中抽象出概念,发展学生的抽象概括能力.本节课是第二课时,继续学习平方根的概念及其运用.并对“平方根”和“算术平方根”,“平方”和“开平方”的概念做辨析,使学生在“引导-探索-类比-发现”中发展学习数学的能力.为此,本节课的教学目标是

①了解平方根、 开平方的概念,明确算术平方根与平方根的区别和联系.

②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.

③经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识

的应用能力.

教学重点是

①了解平方根、开平方的概念.

②了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术

平方根和平方根.

③了解平方根与算术平方根的区别与联系.

教学难点是

①平方根与算术平方根的区别和联系.

第53页

②负数没有平方根,即负数不能进行开平方的运算.

三、教学过程设计:

本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法,设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知;第二环节 形成概念,辨析概念;第三环节 例题和巩固练习;第四环节 课堂小结;第五环节 思维拓展;第六环节 布置作业.

第一环节 复习旧知 引入新知

内容:方法一 复习引入

1.什么叫算术平方根?

3的平方等于9,那么9的算术平方根就是 2 2的平方等于 4 ,那么4 的算术平方根就是5.

52525

展厅的地面为正方形,其面积49平方米,则边长_ 7_米.

2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何?

乘方有没有逆运算?

平方与算术平方根之间的关系?

已知折叠着的正方形ABCD面积为1,则边长为__1___.将它扩展,若面积变为原来的2倍,那么它的边长为___2;若面积变为原来的3倍,则边长为____3;若面积变为原来的n倍,则边长为____n.

方法二 复习引入

问题 平方等于9,4,49的数还有吗? 25

目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系,让学生在几何图形中认识.熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题制作成Flash情景引入,增加动画效果.

效果 借助多媒体吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣.

说明 数学知识源于生活,并服务于我们的生活.这两种方法通过生活中的具体问题 第54页

激发学生的学习兴趣,并让他们产生解决问题的强烈愿望.

第二环节 : 新课学习

内容 (一)探究新知

填空

3

2 (-3) ( )=9 0=0

()

(?22222=(4)2?2?4 (不存在)=-4 22)=((二)形成概念(1)

一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.而把正的平方根叫做a的算术平方根.

2表达式为:若x=a,那么x叫做a的平方根. 记作 ?a.

2例如:(±4) =16,则+4和-4都是16的平方根;即16的平方根是±4;4是16的算

术平方根.

(三)探索平方与开平方的关系:

给出几组具体的数据,由平方探知开平方与平方的互逆关系.

(四)概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别

联系 1.包含关系 平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.

2.只有非负数才有平方根和算术平方根.

3. 0的平方根是0,算术平方根也是0.

区别 1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根.

2.表示法不同:平方根表示为 ?a ,而算术平方根表示为a.

目的 形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并,明白它们之间的互逆关系,辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系,使之与上一节课紧 第55页

密联系.

效果 由于遵循了从具体到抽象的过程,注重学生原有认知基础的回顾,并和原有的概 念进行了比较与辨析,因此,学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠.

说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点,也是学生经常容易出错的地方.

对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握.

第三环节 例题和新知巩固

(一)例题示范

求下列各数的平方根:

(1)64;(2)492;(3) 0.0004;(4)??25?;(5) 11 121

解 (1)???8?2?64,?64的平方根是

?8,即??8;

(2)???11??121,?121的平方根为

?11,即?2??11;

(3)???0.02?2?0.0004,?0.0004的平方根是

?0.02,即??0.02;

(4)???25?2???25?2,???25?2的平方根是?25,

即???25;

5)?11的平方根是目的 这是书上的例题,要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达.能熟

练地求出一个数的平方根,然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数.

效果 通过对例题的详解,学生能准确地书写表达,规范平方根的书写格式,掌握正

确的符号化语言.

(二)思考提升

1.??5?2的平方根是

_____,

24的平方根是_____;

92.?

?

,?

=_______;

3

当a?0? .

第56页 2

(三)巩固练习

1 .下列说法正确的是

①?3②25的平方根是5;③-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的平方根是8.

2.下列说法不正确的是( ) .

(A)0的平方根是0 (B)?22的平方根是?2

(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是( ).

(A) a+1

(B) (C) a2+1

4.x

为何值,

答 因为?有意义? x?0,所以x?0 2

目的 围绕本节课的重点知识 (平方根)作适当的练习,在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解.

效果 学生基本能顺利解决这些问题,并利用探索的规律进行规范的表达.

第四环节 课堂小结

内容 引导学生总结本课时的知识、方法.

目的 让学生对所学的知识进行梳理,使之思路清晰,既巩固了有关知识,又培养了学生良好的学习习惯.

效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法,如

平方根的概念 若x2?a,则x叫a

的平方根,x?平方根的个数 正数有2个平方根,0的平方根是0,负数没有平方根.

平方与开方之间的关系;

求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数.

第57页

第五环节 提高训练

内容

1.5?a

,5b,求a?b的值.

2.已知实数a,b

满足b2?9?6b

①若a,b为?ABC的两边,求第三边c的取值范围;

②若a,b为?ABC的两边,第三边c等于5,求?ABC的面积.

目的 安排了两道题,其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题,这一环节主要针对层次较好的学生提供的题.可供老师根据教学的实际情况灵活处理.

第六环节 作业布置

习题2.4

四、教学设计反思

本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时.主要知识是平方根的学习和运用.教材是教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.

(一)注重概念的形成过程,让学生在概念的形成的过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很必要的.所以在学习平方根的概念时,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的经验不符.对此,在平方根的引入时,可多提一些具体的问题.如“9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?”等等,旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.再让学生去讨论 一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,然后通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.

(二)鼓励学生进行探究和交流 本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题,让学生进行充分的探索和交流.如 把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍,来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受学习平方根的必要性.

(三)设计之中多处运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.类比概念 第58页

“平方根”和“算术平方根”的区别和联系,“平方”和“开平方”运算.

(四)根据学生实际,灵活使用教材

教材上只安排了一道例题和几个想一想,为了让学生对新知巩固,我增加了部分练习题,围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习.当然,选题要有层次,有梯度.老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍.

(五)建议

根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律,建议教材在内容安排上平方根置于算术平方根之前.

第59页

第二章 实数

3.立方根

一 、 学生起点分析

学生已经学习了平方根的概念,掌握了求一个非负数的平方根和算术平方根的方法,明确了平方运算与开平方的互逆关系.学生在平方根学习活动中体会了类比的思想方法,为立方根的学习提供了一定的经验基础和学习方法.立方根的计算有着非常广泛的应用,有关空间形体的计算经常涉及开立方,因此本节知识是后续学习内容的基础.

二 、 教学任务分析

《立方根》是义务教育教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》第三节.本节内容1个学时完成.主要是通过对立方根与平方根的类比,探索立方根的概念、计算和简单性质.因此,除了具体的知识技能以外,关注学生的学习方法培养,渗透数学思想方法也是教师教学过程中的关注点.为此本节课的三维教学目标是:

①了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根;会用立方运算求一个数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算,了解立方根的性质;区分立方根与平方根的不同;

②经历对立方根的探究过程,在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略,培养逆向思维能力和分类讨论的意识.学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过程中,领会类比思想;

③立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中,培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神;

三、教学过程设计

本节课设计了七个教学环节:第一环节:创设问题情境;第二环节:复习引入、类比学习;第三环节:初步探究;第四环节:尝试反馈,巩固练习;第五环节:深入探究;第六环节:课时小结;探究与思考;第七环节:作业布置及课外探究.

第60页

第一环节:创设问题情境

内容:

某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体,

现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积

是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐的多少倍?如果储气

罐的体积是原来的4倍呢? 4(球的体积公式为v=?R3,R为球的半径) 3

提问:怎样求出半径R ?学完本节知识后,相信你会有一个满意的答案.有关体积的运算和面积的运算有类似之处,让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 .

目的:通过实际情境引入,让学生感受新知学习的必要性,激发学生的求知欲望.

效果:在思考问题的同时,学生既感受了数学的应用价值,激发了学生的学习热情,

又很快将问题归结为如何确定一个数,它的立方等于4,从而顺利引入新课.

第二环节:复习引入、类比学习

内容:

提问:(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a≥0)的平方根?

(2)正数的平方根有几个?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平

方根是什么?

(3)平方和开平方运算有何关系?

(4)算术平方根和平方根有何区别与联系?

强调:一个正数的平方根有两个,且互为相反数;一个负数没有平方根;0的平方根是0.

(5)为了解决前面情景中的问题,需要引入一个新的运算,你将如何定义这个

新运算?

1.一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的

平方根(也叫做二次方根).

2.一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的

第61页

立方根(cube root, 也叫做三次方根).如:2是8的立方根,-3是-27的立方根,0是0的立方根.

目的:学生通过回顾上节课的学习内容,为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫,

同时突出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别和联系.

效果:复习引入既复习了平方根的知识,又利于学生用类比学习法学习立方根知识.

第三环节:初步探究

内容:

1做一做:怎样求下列括号内的数?各题中已知什么数?求什么数?

33(1)( )=0.001 ; (2)( )=-273 ; (3)( )=0. 64

目的:通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方,与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为正数、负数、0,这样设计,在此过程中渗透分类讨论的思想方法.

2议一议:

(1)正数有几个立方根?

(2)0有几个立方根

(3)负数呢?

意图:提问,是为了指出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别和联系.

3在上面的基础上明晰下列内容,对知识进行梳理

(1)每个数a都只有一个立方根,记为“a”,读作“三次根号a”.例如x3=7时,x是7的立方根,即=x;与数的平方根的表示比较,数的立方根中根号前没有“±”符号,但根指数3不能省略.

(2)正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数.

(3)求一个数a的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其中a叫做被开方数.开立方与立方互为逆运算.

效果:学生通过类比学习,初步掌握立方根的概念,能用符号语言表示一个数的立方根.

第四环节:尝试反馈,巩固练习

内容:

第62页

例1求下列各数的立方根:

(1)-27; (2)

83 ; (3)3 ; (4)0.216 ; (5)-5. 12583解:(1)因为(-3)=-27,所以-27的立方根是-3,即27=-3;

382882?2?; (2)因为???,所以的立方根是,即312551251255?5?

332733333(3)因为==3,所以3的立方根是,即3; 8228882

3 (4)因为(0.6)=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即0.216=0.6;

(5)-5的立方根是5.

例2 求下列各式的值:

(1)?8; (2)0.064; (3)?38; (4)125?9?. 33解:(1)?8=?2??2; (2).064=0.4?0.4;

28?2? (3)?=?????; (4)5125?5?3?9?=9. 3

反馈练习

1.求下列各数的立方根:

0.125;?64; 6453; ?. 3

2.通过上面的计算结果,你发现了什么规律?

目的:例1着眼于弄清立方根的概念,因此这里不仅用立方的方法求立方根,而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟练以后可以简化写法.例2则巩固立方根的计算,引导学生思考立方根的性质.

效果:学生通过练习掌握立方根的概念和计算,通过对计算结果的分析得出立方根的性质,若学生不能发现规律,教师可以再给出几个例子,如:3?823=-2; 3327=3 =(2)=8.引导学生观察被开方数、根指数及运算结?3

果之间的关系,从而得出立方根的性质;也可以安排学生分小组讨论,通过交流,展示学生发现的规律;若学生的讨论不够深入,可由教师补充得出结论.

第63页

第五环节:深入探究

想一想:

(1)a表示a的立方根,那么

(2)a与a有何关系? 目的:明晰a?等于什么?3a3呢? a? =a,3a3=a

说明:若学生通过上面的计算得出了立方根的性质,可以直接展示学生的成果;若没有得出结果,可以引导学生分析,如果x3=a,那么x就是a的立方根,即x=a,所以x3=

a?=a, 同样,根据定义,a33是的a三次方,所以a3的立方根就是a, 即a3?a,a=-a.

第六环节 课时小结

内容1:提问通过本节课的学习你学到了哪些知识?归纳、总结学生的回答,得出下列

内容:

1.了解立方根的概念,会用三次根号表示一个数的立方根,能用立方运算求一个数的

立方根.

2.在学习中应注意以下5点:

(1)符号3a中根指数“3”不能省略;

(2)对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有一个立方根;

(3)平方根和立方根的区别:正数有两个平方根,但只有一个立方根;

负数没有平方根,但却有一个立方根;

(4)灵活运用公式:(a)3=a, a3?a,a=-a;

(5)立方与开立方也互为逆运算.我们可以用立方运算求一个数的立方根,或检验

一个数是不是另一个数的立方根.

目的:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,使知识系统化.

效果:通过小结,学生进一步加深了对类比学习方法的感受,对所学的知识进行了梳理,学习更有条理性.

第64页

内容2:回顾引例

某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体,现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?如果储气罐的体积是原来的4倍呢?

如有时间,学生学力许可,还可以安排学生探究下列问题:

1.回顾上节课的内容:已知2x2?18=0,求x的值.

2.求下列各式中的x.

(1)8x3+27=0; (2) (3)81?x?1?x?1??0.343?0;??16;(4)32x5?1?0.目的:34

回顾引例,使得教学环节更完整,同时体现了数学的实用价值.安排有层次的探究问题,可更好地调动不同学生的学习热情,让学生通过练习解决有关问题,培养学生综合解决问题的能力.

效果:学生通过引例的解决,体会到了立方根及开立方运算的实用性,并类比应用方法解决(3)(4),培养并形成能力.

第七环节 作业布置

1、 习题2.5 2、再次体会总结立方根与平方根的区别与联系

四、教学设计说明

(一)关注类比思想的渗透,关注学习方法的指导

类比是在两类不同的事物之间进行的对比,在找出若干相同或相似点之后,推测在这两类事物的其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式.当然,类比的结果是猜测的,不一定可靠,但它作为一种思考问题的方法,可以发现数学结论,可以沟通数学知识,可以解决生活中的一些实际问题,具有发现的功能,有助于发展学生的创新精神.因此,学习中要注意渗透这样的思维方式,实际上,类比学习法让学生省时省力,在学习新知的同时巩固已学的知识,通过新旧对比更好地掌握知识.为此,本节课让学生应用类比法顺理成章的学习立方根的概念、性质、运算.同样在学生以后的数学学习中,可以通过三角形类比四面体、通过圆类比球??

第65页

(二)关注学生个体差异,关注学生探究过程

根据新课标的评价理念,教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平,关注的是学生对“议一议”、“想一想”、“比一比”的探究情况和学生反馈练习的完成情况,教师要关注学生是否理解立方和开立方是互为逆运算的,是否会用根号正确的表示一个数的立方根。教学过程中,教师应给足学生思考和计算的时间使学生用原有知识进行新知识建构,这是一个学生自主学习、探究学习的过程,充分开展这样的活动,可以使学生的个性得到张扬,探究能力得到培养。课堂上,教师要充分发挥评价的教育功能,对于学生的回答应给予恰当的评价和鼓励,帮助学生认识自我,建立自信.

(三)需要说明的几个问题:

在第四教学环节中的例题1中补充了带分数的立方根求法,在教学中只要讲明将带分数转化为假分数,再求立方根的方法,学生就容易掌握;例题2则为第五环节补充立方根性质的3个公式( (a)3=a, a3?aa=-a)打下了基础,若学生基础较差,教师也可删去这3个公式;第六环节中的探究与思考,将平方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习,教师在教学过程中可根据学生的学习情况确定是否补充这部分内容,也可留给学生课后思考,分层要求,调动不同学生的学习热情.

第66页

第二章 实数

4. 估算

一、学生起点分析

八年级学生初步认识了无理数,对平方根和立方根也有了一定的了解,这样学习“公园有多宽”这节内容就有了一定的基础,但由于学生对估算还比较陌生,在实际教学中需要通过大量贴近学生生活的实例让他们体会估算的方法,初步形成估算的意识,发展学生的数感.

二、教学任务分析

《公园有多宽》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第二章《公园有多宽》的第四节的内容. 在学习了平方根与立方根之后安排本节内容,目的很明确,就是要让学生体会如何运用这些知识去解决实际问题,体会到数学的实用价值,并逐步在今后的学习中有意识地运用估算的方法解决生活中的问题,发展学生的估算意识和数感.为此本节课的教学目标是:

①会估算一个无理数的大致范围,比较两个无理数的大小,会利用估算解决一些简单的实际问题.

②经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程,发展估算意识和数感. ③体会数学知识的实用价值,激发学生的学习热情.

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节:

第一环节——情境引入;第二环节——活动探究;第三环节——深入探究;第四环节——反馈练习;第五环节——反思归纳;第六环节——作业布置.

第一环节:情境引入

第67页

内容:

由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容――公园有多宽.

某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园.已知这块地的长是宽的两倍,它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?

给出这个问题情境,先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少.

给出引导问题:公园的宽有1000米吗?(没有)那么怎么计算出公园的长和宽.

解:设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得:

x·2x =400000,

2x2=400000,

x

=?

目的:

从现实情境引入,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性.

效果:

学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.

第二环节:活动探究

内容:

1.探究一个无理数估算结果的合理性.

2.学会估算一个无理数的大致范围.

例1 下列结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴交流.

; ②

; ④

解答:这些结果都不正确.

怎样估算一个无理数的范围?

例2 你能估算它们的大小吗?说出你的方法.

第68页

( ①②误差小于0.1;③误差小于10;④误差小于1.)

解答:

≈0.9;

说明:误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10,

的估算值在误差小于10的前提下可以是310,也可以是320,还可以是310到320之间的任何数.教材使用误差小于10,而不用精确到哪一位,目的在于降低要求。

目的:

同伴间进行交流,教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.

效果:

通过简单无理数大致范围的估计,初步积累一些解决问题的经验,为接下来的实际应用做好准备.

第三环节:深入探究

内容:

用估算来解决数学的实际问题.

例1

你能比较11与的大小吗?你是怎样想的?

22

11与2

2

11>. 222

>1,

解:∵5>4

2>22,

2,

>1,

第69页

11>. 22

例2 解决引入时“公园有多宽?”的问题情境中提出的问题.

=?

(1)如果要求误差小于10米,它的宽大约是? (大约440米或450米)

说明:只要是440与450之间的数都可以.

(2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800平方米,你能估计它的半径吗(误差小

于1米)?

(15米或16米)

说明:只要是15与16之间的数都可以.

例3 给出新的问题情境——画能挂上去吗?

生活表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一,则梯子比较

稳定.现有一长度为6米的梯子,当梯子稳定摆放时,

(1)他的顶端最多能到达多高(保留到0.1)?

(2)现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画,他能办到吗?

6

x

136 3

解:设梯子稳定摆放时的高度为x米,此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的

定理 :

1,根据勾股3

第70页

x21+(×6)2=62, 3

x2+4=36,

2x=32 ,

x

因为5.62?31.36?32

因为5.72?32.49?32

所以画不能挂上去

目的:

学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题,让学生初步体会数学知识的实际应用价值.

效果:

在解决实际问题中再次体会估算的方法,从而体验到学习数学的乐趣.

第四环节:反馈练习

内容:

反馈练习1 估算下列数的大小.

(1

0.1) ; (2

1).

解答:

(1) ∵3.6

3.7,

或3.7(只要是3.6与3.7之间的数都可以).

(2) ∵9

10,

或10(只要是9与10之间的数都可以).

反馈练习2 通过估算,比较下面各数的大小.

(1

1与 ; (2

3.85. 2

第71页

解答: (1

2,

<1,

即11<. 22

(2)∵3.852=14.8225,

3.85.

反馈练习3 给出与生活密切联系的实际问题情境

一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米 ,如果用一圆柱形的容器(底面直径等于高)来装这些液体,这个容器大约有多高(误差小于1米)?

目的:

教学引导学生解决问题,学生通过独立思考和与同伴合作交流的方式解决提出的问题,让学生再次体会估算的方法和估算的实际应用,调动探究的积极性.

效果:

进一步激发学生对利用估算的方法解决问题的兴趣,调动学生学习数学的热情.

第五环节:反思归纳

内容:

1.用自己的语言表达学习这节内容的感想

(1)通过这节课的学习,你掌握了哪些知识?

(2)通过学习这些知识,对你有怎样的启发?

(3)对于这节课的学习,你还有哪些疑问?

2.浏览给出的知识点归纳.

目的:

引导学生归纳本节的基本内容,让学生及时小结,教师展示知识脉络图并反思本节课教学设计的不足,及时做出后面教学的调整.

效果:

部分学生能大胆地提出疑问.

第72页

第六环节:作业巩固

内容:

习题2.6 1,2,3,6

目的:

给出作业内容,学生浏览给出的作业.

效果:

让学生在练习中及时巩固所学知识.

四、教学设计反思

(一)突出重点、突破难点的策略

“公园有多宽”这节内容是让学生掌握估算的方法,训练他们的估算能力,而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少,所以比较陌生,进而学习起来难度就比较大。教学中一定要选取学生熟悉的问题情境引入,才能激发学生的学习兴趣,为此,本节课的教学中选取了“修建环保公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来.当然还可以结合地区特点创设其余的问题情境引入,例如“污水池有多宽”,“实验田有多宽”,“体育馆有多宽”等问题情境.在探究估算方法的时候,教师要注重适时的引导,以免让学生无从下手.在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解到“数学既来源与生活,又回归到生活为生活服务”.

(二)课堂评价的一些思考

在教学中要多鼓励学生用自己的语言表达他们的想法,在估算的过程中多给予适当的引导和评价,让学生逐步把握估算的方法,找到解决问题的信心.比如对“画能挂上去吗”这个问题情境,学生可能提出不同的看法,有些学生可能认为可以挂上去,因为人还有身高,完全可以弥补梯子稳定摆放的高度和挂画位置的高度之间的差距,有些学生可能认为,人不可能爬到梯子的顶部,加上人如果本来比较矮,画就不能挂上去等等想法,教师都应该给予肯定,这样才能激发学生思考问题的热情,调动学生探究问题的积极性.作为教师,一定要尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.

附:板书设计

第73页

公园有多宽

引入 x·2x=400000

活动探究练习

例1

例2 =? 梯子问题情境

反馈练习

练习1

练习2

小结

保留性板书

暂时性板书 第74页

第二章 实数

5. 用计算器开方

一、学生起点分析

(本课适合有条件使用计算器的学校)

学生知识技能基础:学生在七年级上学期已经学习了《计算器的使用》,学会了使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算,掌握了计算器的基本使用方法.

学生活动经验基础:学生在七年级上学期已经学过了使用计算器进行简单的有理数的计算并利用计算器进行了一定的探索活动,积累了一些活动经验.

二、教学任务分析

本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第5节,具体内容为:用计算器求平方根和立方根以及有关混合运算.经历运用计算器探求数学规律的活动,发展合情推理的能力.

为此,本课的教学目标是:

1.会用计算器求平方根和立方根.

2.鼓励学生自己探索计算器的用法,经历运用计算器探求数学规律的活动,发展学生的探究能力和合情推理的能力.

3.在用计算器探索有关规律的过程中,体验数学的规律性,体验数学活动的创造性和趣味性,激发学习兴趣.

三、教学过程设计

本课设计了六个环节:第一环节:情境引入;第二环节:学习使用计算器求平方根和立方根;第三环节:做一做;第四环节:议一议;第五环节:课堂小结;第六环节:作业布置

教学准备:每位学生一个计算器,并按计算器的类型分小组

目的:便于使用相同计算器的学生进行讨论,共同学习

第一环节 情境引入 提出问题:你能计算.89吗?

第75页

进而明晰:对于小数、分数或一些较大的整数的开方运算,我们可以用计算器来计算.

目的:导入新课.

第二环节 学习使用计算器求平方根和立方根

内容:要求学生仔细阅读计算器使用说明书,找到关于开方运算的说明,并按说明书上的范例操作,然后与组内成员进行讨论,回答下列问题:

1.开方运算要用到键

2.对于开平方运算,按键顺序为:

3.对于开立方运算,按键顺序为:

4.用计算器计算:

(1).89 (2)2 (3)?1285 (4)5?1 (5)?7?? 7

目的:明确使用计算器进行开方运算的按键顺序,并进行实际操作.

说明:学生在阅读了各自的计算器使用说明书后,在计算器上尝试操作,再在小组中交流成功或失败的经验,便于学生更快更好地掌握使用计算器进行开方运算的方法.

学生在小组内自我纠错,自我更正,教师需要在教室里巡视关注学生学习活动的开展情况,提供相应的帮助.

由于我校计算器是同一型号,授课时可以请学生示范开方运算的按键顺序,学生能很快掌握.

第三环节 做一做

内容:利用计算器,求下列各式的值(结果保留4个有效数字):

(1) (2)22 (3)0.58 (4)?0.432 5

此环节可以开展比一比看谁算得快的活动.

例1 利用计算器比较3和2的大小.

目的:熟悉用计算器进行开方运算.

效果:有了上个环节的铺垫,此环节操作很顺利.

第四环节 议一议

内容:(1)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果 第76页

再进行开平方运算??随着开方次数的增加,你发现了什么?

(2)改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似规律.

学生操作后,在小组内讨论形成结果,再进行全班交流.

(3)任意找一个非零数,利用计算器对它不断进行开立方运算,你发现了什么? 学生操作后,在小组内讨论形成结果,再进行全班交流.

目的:熟悉使用计算器求平方根和立方根的技能,并在探求数学规律的活动,发展合情推理的能力.

效果:枯燥的运算,竟然蕴含这规律,较好地激发了学生的兴趣,增强了学生的求知欲. 第五环节:课堂小结

内容:今天我们学习了如何使用计算器进行开方运算,你能叙述如何使用计算器进行开方运算吗?

目的:回顾使用计算器进行开方运算的步骤.

效果:学生所学知识得以巩固.

第六环节:布置作业

内容:习题 2.7

四、教学设计反思

根据新课标的评价理念,教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,这一节的内容,学生可以通过自己阅读计算器的使用说明书学会操作步骤,所以采用了学生自学、小组内交流的学习方式.学习效果较好.

附:板书设计

第77页

第二章 实数

6.实数

一、学生起点分析

实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张,在教学中注意运用类比方法,使学生明确新旧知识之间的联系,如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立,并通过例题和习题来巩固,适当加深对它们的认识。

二、教学任务分析

本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节。这节内容教材安排了3个课时,本节课为第一课时。主要是建立实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类,同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义,让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的。

在本节之前学生已学习了平方根、立方根,认识了无理数,了解了无理数是客观存在的,从而将有理数扩充到实数范围,使学生对数认识进一步深入。中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的,同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。本节课的教学目标是:

1.了解实数的意义,能对实数按要求进行分类;了解实数和数轴上的点一一对应,能根据实数在数轴上的位置比较大小.

2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.

3.在利用数轴上的点来表示实数的过程中,让学生进一步体会数形结合的思想。

4.在认识“实数”这一新知识时,学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律,从而获取解决实数相关问题的基本方法。

5.了解数系扩展对人类认识发展的必要性;

教学重点

1.了解实数意义,能对实数进行分类;

第78页

2.在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律;

3.明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

教学难点

利用数轴上的点表示无理数

三、教学过程设计

本节课设计了七个教学环节:第一环节:复习引入;第二环节:实数概念和分类;第三环节:实数相关概念;第四环节:实数的运算;第五环节:探究——实数与数轴上点之间的对应关系;第六环节:课堂练习;第七环节:归纳小结;

第一环节:复习引入新课

内容:问题:(1)什么是有理数?有理数怎样分类?

(2)什么是无理数?带根号的数都是无理数吗?

意图:回顾以前学习过的内容,为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。 效果:学生主动思考并积极回答,通过相互补充完善了旧知识的复习掌握,通过对有理数分类的复习,使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。通过举例明确了无理数的表现形式,野味后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备。

第二环节:实数概念和分类

内容1:把下列各数分别填入相应的集合内:

20415?,4,7,?,2,2,3,?5,?8,9,0,0.3737737773??(相邻两个3之间7的个数逐次增加1)

有理数集合

第79页 无理数集合

知识整理:有理数和无理数统称为实数。

意图:通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念。

效果:学生动手填写,并进行小组交流讨论,对带根号的数是否是无理数有了进一步认识。

内容2:1.你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗?

2.0属于正数吗?0属于负数吗?

知识整理:无理数和有理数一样,也有正负之分。

1.从符号考虑,实数可以分为正实数、0、负实数,即:

?正实数?实数?0

?负实数?正数集合

负数集合

2.另外从实数的概念也可以进行如下分类:

?有理数实数??无理数

意图:在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。上面的数中有0,0不能放入上面的任何一个集合中,学生容易遗漏,强调0也是实数,但它既不是正数也不是负数,应单独作一类。提醒学生分类可以有不同的方法,但要按同一标准不重不漏。

第80页

效果:让学生讨论回答,形成共识:实数也可以分为正实数、0、负实数,并体会到了分类中不能出现遗漏和重复的要求。

第三环节:实数的相关概念

内容1:1.在有理数中,数a的相反数是什么?绝对值是什么?当a不为0时,它的倒数是什么?

22的相反数是什么?的倒数是什么?,0,—π的绝对值分别是什么?

意图:从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念,它们的意义和有理数范围内的意义是一致的。

效果:学生类比有理数中相关概念,体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。

内容2:想一想:

1.3—π的绝对值是 。

2.想一想:a是一个实数,它的相反数是 ,它的绝对值是 ,当a≠0时,它的倒数是 。

知识整理

(1)相反数:a与—a互为相反数;0的相反数仍是0;

1

(2)倒数:当a≠0时,a与a互为倒数(0没有倒数);

(3)绝对值:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;

?a?|a|??0

??a?即:(a?0)(a?0)(a?0)

意图:加深学生对相关概念的理解。

效果:学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识。 第81页

第四环节:实数运算

内容:1.在有理数范围内,能进行哪些运算?(加、减、乘、除、乘方),用哪些运算律?

2.判断下列各式成立吗?

1?1?????5????3?? 2??5?2 3?5?

42?72??4?7?2?2

意图:从复习入手,类比有理数中的相关运算及运算律,得到有理数的运算及运算律对实数仍然适用。

效果:学生类比有理数中相关运算,体会到了实数范围内的运算及运算律。 第五环节:探究——实数与数轴上点之间的对应关系

内容1:如图所示,认真观察,探讨下列问题:

议一议:

(1)如图,OA=OB,数轴上A点对应的数表示什么?它介于哪两个整数之间? -2

-1 0 1 B 2 第82页

(2)如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?

知识整理

(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的;

(2)在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

意图:探讨用数轴上的点来表示实数,将数和图形联系在一起,让学生进一步领会数形结合的思想,利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小。

效果:经过学生的探讨,认识到了数轴上点A表示的数是2,它是一个无理数,这表明有理数不能将整个数轴填满。进而观察到点A在表示数1和2的点之间,因此“数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”在实数范围内仍然适用。

第六环节:课堂练习

内容:1.判断下列说法是否正确:

(1)无限小数都是无理数;

(2)无理数都是无限小数;

(3)带根号的数都是无理数。

2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值:

(1)7; (2)?8; (3)49.

3.在数轴上作出5对应的点。

意图:通过以上练习,检测学生对实数相关知识的掌握情况。

效果:第1,2题学生能较好地完成,在解决第第3题时遇到了一定的困难,通过回顾2的作法,学生相互讨论、交流,确定了作长、宽分别为2和1的长方形,其对角线为即为5,从而能在数轴上作出相应的点。

第83页

第七环节:归纳小结

内容:议一议,本节课我们学习了哪些知识?

意图:鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。

效果:学生交流,互相补充,完成本节知识的梳理。

六、反思

实数作为有理数的扩张,其具体研究内容和有理数完全类似,因此学习中,本课时设计中,十分关注前后知识之间的内在联系,关注运用类比的思想学习新的知识,这是本课设计中一个十分显著的特点。实际上,类似的问题在其他知识学习中同样存在,注意体会。 此外,根据学生的认知状况,借助类比学习实数有关知识,还可以有一些不同的尝试,如果学生整体认知水平较高,可以要求学生首先回忆有关有理数学习内容和顺序,并根据这个知识框架思考是否可以构建实数的有关顺序,思考在各个具体内容如何研究等问题,然后再打开书本比照学习。当然也可以首先提出一些思考的问题,让学生自学,整理有关框架,并和旧的框架建立联系等。教无定法,关键在于适应你的学生状况。

附:板书设计

第二章 实数

7.二次根式(第1课时)

一、学生起点分析

七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算,本学期又学习了有理数的平方根、立方根,认识了实数.这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础.当然,毕竟是一个新的运算,学生有一个熟悉的过程,运算的熟练程度尚有一定的差距,在本节课及后两节课的学习中,应针对学生的基础情况,控制上课速度和题目的难度.

二、教材任务分析

本节分为三个课时。第一课时,认识二次根式和最简二次根式的概念,探索二次根式的性质,并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式;第二课时,基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则,进而利用它们进行二次根式的运算;第三课时,进一步进行二次根式的运算,发展学生的运算技能,并关注解决问题方式的多样化,提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力.

为此,确定本节课教学目标是:

1.认识二次根式和最简二次根式的概念.

2.探索二次根式的性质.

3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节:第一环节:明晰概念;第二环节:探究性质; 第三环节:知识巩固;第四环节:知识拓展;第五环节:课时小结;

第一环节:明晰概念

问题1 :5,,7.2,49,c?b)(c?b)(其中b=24,c=25),上述式子有什121

么共同特征?

答:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地,式子a(a?0)叫做二次根式。a叫做被开方数.强调条件:a?0.

问题2:二次根式怎样进行运算呢?

答:这是我们本节课要解决的新问题.

意图:通过问题,回顾旧知,为导出新知打好基础.

第二环节:探究性质

第85页

(一)内容:通过探究得出a?b?a?,

具体过程如下:

(1)4?9= ,4?9= ; a?a. b

?25=,?25=;

4

9= ,4= ; 925= ,16= . 25

(2)用计算器计算:

6?7=6?7=6

7= ,6= . 7

问题1:观察上面的结果你可得出什么结论?

问题2:从你上面得出的结论,发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗? 问题3:其中的字母a,b有限制条件吗?

意图:最终归纳出a?b?a?(a≥0,b≥0),a

b?a(a≥0, b>0). b

说明:公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分,不应忽略.

第三环节:知识巩固

例1 化简(1)81?64;(2)25?6;(3)5。 9

观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?

意图:由于现在还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此,这里以例题的形式呈现了有关结论.

被开方数中都不含分母,也不含能开得尽的因数。一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式。

化简时,要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式。

例2.化简:(1)45;(2)27;(3)1

3;(4)8;(5). 916

答案:(1)45??5??5?3?5?3;

(2)27?9?3?9??3?3?3;

第86页

(3)1=1???; 3

4?22?222??; 333

25?5?55??. 444(4)8??994?2?3(5)

??1625?5?4

问题:

(1)你怎么发现45含有开得尽方的因数的?你怎么判断是最简二次根式的? 7

(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会,与同伴交流。

说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略去乘号.

反思:以上化简过程有何规律呢?希望学生得出:根号里面的数有一部分移到了根号外面,具体来说是能开得尽方的因数,开方后写到了根号外面.从而明确:被开方数若有开得尽的因数,一般需要进行化简.

第四环节:知识拓展

说明:这部分根据学生的实际情况进行取舍,程度好的班级可选用,基础不好的班级舍去.

练习:

1.下列平方根中, 已经简化的是( ) A. 1 B. 20 C. 22 D. 3

2.判断下列各式是否成立。你认为成立的请在()内打对号 ,不成立的打错号 。

?( ) ;

???( );

你判断完以后,发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来,并说明n的取值范围?

第87页

第五环节:课堂小结

本节课主要内容:

(1)掌握并会运用公式:a?b?a?b(a≥0,b≥0),a

?a(a≥0,b>0). b

(2)理解本节课中用过的数学方法:类比,找规律,归纳总结.

五、教学反思

(一)关注类比,提出重点

本节经历从具体实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法则,使学生清楚新旧知识的区别和联系.

(二)对运算技能要求恰当定位

根据新课标精神,对学生的评价不能过分要求技巧,应关注学生对运算法则的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否依据算理正确地进行计算,能否确认结果的合理性等等,对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进行运算.因此,注意对运算技能要求作恰当的定位,特别是在开始运算的第一课时,不要提高要求。

(三)分层教学

本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加了知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.

第88页

第二章 实数

7.二次根式(第2课时)

一、学生起点分析

在前面,学生已经掌握了实数的概念,实数的运算法则;学会了利用公式:a??a?b(a≥0,b≥0),a

b?a(a≥0,b>0)进行简单的实数四则运算.本课b

时更多的是反用上面的公式,因此,上一课时知识成为本课时很好的知识基础。

二、教材任务分析

二次根式(第2课时)是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容.本节内容分为3个课时,本课时是第2课时,基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则,进而利用它们进行二次根式的运算,经历本节课的学习,学生将对实数的运算,有较全面的了解,同时进一步熟练实数的运算,为今后的学习打下坚实的基础.本节课的教学目标是:

1.通过对公式的反向运用,达到化简的目的.学会一种特殊的思考方法.

3.在探究、合作活动中,发展学生探究能力和合作意识.

4.通过对公式的逆运用,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

三.教学过程设计

本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习引入;第二环节:知识探究; 第三环节:知识巩固;第四环节:知识拓展;第五环节:课时小结;

第一环节:复习引入

内容:复习算术平方根的概念,并提出问题:下面正方形的边长分别是多少? 8 面积2

意图

第89页

第二环节:知识探究

1.在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则:a??a?b(a≥0,b≥0),a

b?a(a≥0,b>0). b

2.提出问题:能否根据该公式将化成22?

例3 计算:

(1)?26?2;(2);(3)。 352

解:

(1)略

(2)?3

2

2===6?32=6?3=9=3 2(3)2?52== 5?555

说明:常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数,使得分母成为一个平方数.

第三环节:巩固练习

例4 计算:

(1)32?2(2)??5;(3)(?1)2;(4)(?3)(?3);

(5)(?18?)?3;(6)。 32

解:(1)32?2=3?2?2?3=66;

(2)??5=?3?5=?5=6-5=1;

(3)(?1)2=(5)2?2?1=5+25+1=6+25;

(4)(?3)(?3)=(13)2?32=4;

(5)(?11)?3??3?????6?1?5; 33

第90页

(6)8????4??2?3?5。 222

意图:从本例开始,正式进行二次根式的加减乘除运算,但设计时注意了题目的梯度。本例还侧重于乘除法运算,只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了(如交换律、结合律、分配率、乘法公式等);教学中,注意体会这些题目之间的层次性,教学中务必循序渐地开展相关技能训练,让更多的学生感受到成功的喜悦,循序渐进地发展学生的学力。

例5 计算:

(1

;(2)?1 ;(3

)5解:(1

(2)?1554=?=?=?=5; 5255525

(3

???? 课堂练习1:

1.化简:(1);(2)451?3)?6 ;(3)33?75;(4)?.(5)(322

第四环节:知识拓展

﹡课堂练习2:

化简:(1); (2)9000; (3)2?48;

(4)2132?50?; (5)320?45??; (6). 9523

解:(1)?64?2?64?2?8?2?82;

(2)9000??10?900??30??30;

(3)2?48 =24?3??3?2?4?3???2?2??4?

?4?4?83;

第91页

(4)

2

2?50? 9?25?2??2?224?25?2??2??52?42?2; 333=

(5)320?45?1 5

55514?3?4?????6?3??5; 255525

6

4??65??6. 236=34?5??5?32??23(6)66??49

第五环节:课堂小结

在进行根式乘除运算时,你有哪些体会与收获?

五、教学反思

本节课提出了最简二次根式,给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法.同学们需通过练习认真体会各类方法,做到能灵活运用.为今后的学习打下基础.

本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同,对知识的要求也不同,因此增加了知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.

第92页

第二章 实数

7.二次根式(第3课时)

一、学生情况分析

前面学习了实数,实数的运算法则,最简二次根式及二次根式的化简,已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高,同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏..为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍.

二、教学任务分析

二次根式(第3课时)是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容.本节内容分为3个课时,本课时是第3课时.继续巩固二次根式的概念,熟练二次根式的化简,进而完善实数的运算.

二次根式化简掌握以后,初中阶段实数的运算基本完成,本节课就是进一步完善二次根式的运算。若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下,那么在今后的学习中,实数的计算问题基本解决了.经历本节课的学习,学生对实数的运算,就有了较全面的了解。因此本节课的目标定为:

1.进一步理解二次根式的概念,进一步熟练二次根式的化简。

2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简

3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题. 通过独立思考,能选择合理的方法解决问题.

4.在运算过程中巩固知识,通过与人交流总结方法.

根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点.

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习引入;第二环节:知识巩固; 第三环节:问题解决 ;第四环节:知识提升;第五环节:课时小结;

第六环节:作业布置.

第一环节:复习引入

内容:

第93页

(1)最简二次根式的概念;

(2)二次根式化简过程中,你有哪些体会?

(3)上节课课后作业:若2?1.414,3?1.732,6?2.449,求

解决的?

意图:借助复习,在巩固旧知的同时,导入新课. 3.你是怎样2

第二环节:知识巩固

1.巩固提升

例4 计算:

(1)1321;(2)?8?;(3)(24?)?3. ?2386

323?22?311111==??6?6=(?)6=6; 232?23?323623

1215=32?2?22?2?=32?22?2=2; 81644解:(1)(2)??

(3)(24?111 )?3=24??? =24?3??3 666

12111 =4?2? =22?2 =2 . 6?36?666=?说明:可以放手让学生独立完成,然后通过交流,发现问题,给出一个统一的意见.

2.交流

收集第(3)小题有多少种解决方法.让学生说说想法.

3.反思

以上过程每位同学都是怎样化简的,方法好不好,能做到快而准确吗?

4.练习

化简:

(1)1211;(2)?3?;(3)(??)?. 51032

第94页

解:(1)212?51?10111==???=; 5105?510?1051010

11?314=4?3?3?=2?3?=; 33?333(2)?3?

(3)(?111)?=???=??? 222

1?8=?4=12?2=10. 2=?8?

第三环节:问题解决

如图所示,图中小正方形的边长为1,试求图中梯形

的面积,你有哪些方法,与同伴交流.

1.交流

让学生充分发表意见.

2.答案

(1)直接求法.

过点D作AB边上的高DE,可发现边AB,DC及DE

都是某一个小直角三角形的斜边.根据勾股定理可求得

AB=52, CD=2,DE=32,面积梯形ABCD的面积是

1(52?2)?32=18. 2

(2)间接求法.

将梯形ABCD补成一个5×7长方形,用长方形的面积减去3个小三角形的面积,得梯形

111ABCD的面积是5?7??5?5??4?2??1?1=18. 222

第四环节:知识提升

1.知识探索

问题:a2(a?0)等于多少? 根据算术平方根的定义,可知a2?a(a?0).

2.知识运用

第95页

例5 化简:

(1)25a3b3(a?0,b?0);(2)(x?y)3(x?y?0);(3)解:(1)25a3b3=52a2b2?ab=52a2b2?ab=5abab;

(2)(x?y)3=(x?y)2?(x?y)=(x?y)x?y;

(3)abb(a?0,b?0). aabab=baaba11==?abab. baba2

3.课堂练习

1.当a?0,b?0时化简:

(1)ab(1ab(2)4a2b3;(3)(?);?)?ab; baa

ba. ?15ab(4)10a2ab?5

解:(1)ab(ababab=ab??ab? ?)=ab??ab?bababa

=a2?b2=a?b;

(2)4a2b3=22a2b2?b=22a2b2?=2abb;

(3)(111?b)?ab=?ab??ab=?ab?b?ab=?b2?a aaa

=b?ba;

(4)10a2102b3baba2=(10a?5?15)ab??=a? ab?5?153aabab

102b2?ab102b2?ba102b2?ba102ba?a?=a?===a??ab 23333aa2a2a

=10abab. 3

1?b)?ab的值,其中a?3,b?2. a2. 求代数式(

解:由题知a?0,b?0.

第96页

(111?b)?ab=?ab?b?ab=?ab??ab=b?ab2 aaa

=b?ba.

当a?3,b?2时,?ba=2?2.

第五环节:课堂小结

(1)二次根式的化简:

二次根式的化简一定要化成最简二次根式.

(2)利用式子a2?a(a?0)可将根号内含字母的二次根式化简,结果也要化成最简二次根式.

第六环节:课后作业

习题 2.11 1, 3

补充作业:

化简:(1)(23?2)(36?2); (2)32(2?4

y?xx)?xy(x?0,y?0); y1?348); 8(3)(xy?2

(4)(a3b?ab3?ab)?ab(a?0,b?0);

(5)2a3ab2?b327a3?2aba(a?0). 64

答案:(1)162?4;(2)486?6;(3)xy?2y?x;(4)a2b?ab2?abab;(5)5ab3a. 2

五、教学反思

本节课继续熟练二次根式的化简,要求化成最简二次根式.同学们需通过练习认真体会各类方法,做到熟练并能灵活运用.

本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简,仍然要求化成最简二次根式.这部分内容对学生的基础要求较高,基础不好的班级可降低难度.

第97页

第六章 实数

回顾与思考

一、学生起点分析

本章学习至此,学生已经认识了无理数,学习了实数概念及相关运算,从而将原有有理数扩充到了实数范围,使得对数的认识更进一步深入,让学生感受到了数系扩充的必要性与作用.在前面的探究活动中,学生已经掌握了相关数学知识,并具备了一定的数学能力,掌握了类比、数形结合等数学思想方法,也具备了一定的合作学习经验,为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础.

二、教学任务分析

本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上,进行的数系第二次扩张,使学生对数的认识进一步深入.本课是对整章内容的复习与归纳,在教学过程中不必多过地追求概念,只要学生能够结合具体情境,从意义上理解主要概念即可.

作为复习归纳课,学生虽对相关知识基本掌握,但是知识间的联系还不够清楚,对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺,因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合,并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点,从题中悟数学思想与方法.

因此,本节课的教学目标是:

①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念,会用根号表示,并会求数的平方根、立方根并进行相关运算;

②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中,让学生体会类比的思想;

③通过复习提高学生归纳整理的能力,并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流;

本章概念较多,学生容易混淆,因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念.

本章的难点体现在以下几处:①算术平方根的双重非负性有着重要的作用,常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用;②实数的混合运算也一向是学生计算的难点,学生往往在运算顺序、运算法则上出错;③本章对学生数形结合的能力有较高要求,如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点.

第98页

本章的知识结构框图

???整数有理数?????分数?实数分类???无理数?正无理数?????负无理数????定义:如果一个数x的平方等于a,即x2?a,那么这个数x叫做a的平方根???2平方根??表示:若x?a,则x???算术平方根:若x2?a,则a的算术平方根为x????3?定义:如果一个数x的立方等于a,即x?a,那么这个数x叫做a的立方根?立方根???3表示:若x?a,则x?????实数???a?0)叫做二次根式二次根式

????最简二次根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式??2??a(a?0)???a??3?a???重要性质?a? ??a?0,b?0)???a?0,b?0)????实数的性质应用

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节:第一环节:知识回顾;第二环节:典例精析;第三环节:运用巩固;第四环节:课堂小结;第五环节:布置作业.

第一环节 知识回顾

知识点填空:

(1) 无限不循环小数 叫做无理数.

(2) 有理数和无理数 统称为实数.

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???整数有理数???分数?? 实数分类???正无理数?无理数????负无理数?

(3) 实数 和数轴上的点是一一对应的.

(4)a2?a;(a)2?a(a?0);(a)3?a;a3?a;

a?b?ab(a?0,b?0);a

?a(a?0,b?0) b

(5)把 分母 中的根号化去,叫做分母有理化.

(6)最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式

(7)同类二次根式:几个二次根式化成 最简二次根式 后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式;化简时,有同类二次根式要合并,可以约分的分式要约分.

设计说明:以上7个填空题老师可带着学生共同完成,通过填空让学生清晰本章的几个重要概念,特别是(4)中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清楚.这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫.

第二环节 典例精析

(一)实数的相关概念

例1 下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数?

23

3.14159265

?

?

1,(2,3.1010010001?(相邻两个1之间0的各数逐次加1)

设计说明:此题考查概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无理数是无限不循环的小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:①开方开不尽的方根;②含π的数;③是无限小数且不循环.在判断时还应注意,一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式,

(2虽然都含有根号,但它们都是有理数.所以此题中的有理数有:3.14159265

(2;无理数有:23

?

?,1,3.1010010001?(相邻两个1之间0的各数逐次加1)

第100页

(二)实数的相关性质及运算

例2 实数a、b

在数轴上的位置如图所示,化简a?b?

设计说明:此题考查算术平方根的意义,也培养学生的读图能力,体现数学中的数形结合思想方法.由数轴上a、b的位置可知a?b?0,b?a?0,从而根据算术平方根与绝

对值的意义有:

a???(a?b)?b?a??a?b?b?a2 ??a

例3 计算:

11 (2) 5?9?48 32

设计说明:意在复习实数的运算法则及二次根式的化简.

?????

1010??9???2013例4 (1)已知a、b

b?3?0,求(a?b)的值

(2

)已知y?3,求xy的值.

设计说明:运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.

解:(1

)?0,b?3?0

b?3?0

?0,b?3?0

?a?2,b??3

?(a?b)2013?(2?3)2013?(?1)2013??1

(2)?2x?4?0,4?2x?0

?2x?4?4?2x?0

?x?2

?y?0?0?3?3

第101页

?xy?23?8

(三)实数中的数形结合

例5、已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为多少?

设计说明:此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其易错点是△ABC的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力.

分析:(1)当△ABC为锐角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15+6=21.

B

(2)当△ABC为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15-6=9. 第三环节 运用巩固

1.下列说法错误的是( )

A.4的算术平方根是2 B

是2的平方根

C.-1的立方根是-1 D.-3

2.当2?x

?32x?6的值.

3

x的取值范围. 4.一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6

长与面积.

设计说明:通过这几道题意在巩固第二环节的学习效果,让学生自己动笔练习,并在独立完成后通过小组合作来进行交流订正.

答案:1.D 2.2 3.x?2 4

.C?ABC?S?ABC?51

第四环节 课堂小结

第102页

请同学们认真思考下列问题:

1、通过本堂课的学习我收获了什么?

2、我还有哪些没有解决的困惑?

设计说明:用2分钟左后时间让学生思考这两个问题,并请学生回答,及时肯定学生的收获并加以归纳,同时发现学生的困惑及时答疑.

第五环节 布置作业

完成课本P47?49复习题知识技能1题、4题、10题;数学理解14题;问题解决21题.

设计说明:1题是关于有理数与无理数概念的题;4题为实数的运算题;10题考查的是“实数与数轴上的点一一对应”这一知识点,巩固数形结合的思想方法;14题看似简单,其实考查了本章的众多概念,特别适合用于检验学生对基础知识的掌握情况;21题为实数的应用,在考查计算的同时也锻炼了学生作图、读图、数形结合的综合能力.

四、教学设计反思

1.选择性的使用例题

在此教学设计中,例题数量并不少,针对不同的学生群体,老师可适当删减,做到有的放矢,但是建议概念例题保留.

2.给予学生充分的表达和交流的机会

老师可以在前四个环节中根据具体情况采用不同的教学方法,可以师生互动也可以生生互动,通过交流讨论让学生学会表达、学会倾听、学会归纳.其实教学活动最主要的意图就是让学生主动起来,应多给予学生交流的时间与机会.

3.注意收集学生生成性的学习资源

在师生的问答活动中、在学生的独立思考中、在生生之间的互动交流中都会迸发出许多我们难以预料的惊喜或困惑,也许是一些精彩的发言、也许是一个精妙的方法、也许是一个典型的错误、也许一个重要的经历、也许是一串宝贵的收获?这些在课堂中新生成的资源是学生学习过程中的宝贵财富,因此我们应鼓励学生多收集这些闪光点用以形成自己可以学习借鉴的学习资源.

第103页

2.位置与坐标

生活中我们常常需要确定物体的位置.如,确定学校、家庭的位置,确定地图上城市的位置,在棋盘上确定棋子的位置,在海战中确定舰艇的位置?? 本章你将在小学的基础上,研究用建立平面直角坐标系的方法来确定位置,并体会图形坐标的变化与轴对称图形变化之间的关系.

第104页

第三章 位置与坐标

1. 确定位置

一、学生起点分析

《确定位置》是八年级上册第三章《位置的确定》第一节内容。本章是“图形与坐标”的主体内容,不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容,而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵,同时又是一次函数的重要基础。《确定位置》将现实生活中常用的定位方法呈现给学生,将进一步丰富学生的数学活动经验,促进学生观察、分析、归纳、概括的能力。对八年级学生而言,他们对新鲜事物特别有兴趣。因此,教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境,会引起学生的极大关注,会有利于学生对内容的较深层次的理解;另一方面,学生已经具备了一定的学习能力,可多为学生创造自主学习、合作交流的机会,促使他们主动参与、积极探究。

二、教学任务分析

教学目标设计:

(1)理解用一对数表示物体在平面内所在的位置,灵活运用不同的方式确定物体的位置;

(2)经历在现实生活中确定物体位置的过程,感受确定物体位置的多种方法;

(3)体验生活中处处有确定位置,感受现实生活中确定位置的必要性.

重点:理解在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据;

难点:灵活地运用不同的方式确定物体的位置。

三、教学过程设计

教学过程的设计、教法、学法的确定,应根据学生的实际情况进行合理设计。本课力求从学生实际出发,用他们熟悉或感兴趣的问题情境引出学习主题。

第一环节 感受生活中的情境,导入新课

通过若干图片,引导学生感受生活中常常需要确定位置.导入新课:怎样确定位置呢?——§

3.1确定位置。

第二环节 分类讨论,探索新知

1.温故启新

(1)温故:在数轴上,确定一个点的位置需要几个数据呢?

答:一个,例如,若A点表示-2,B点表示3,则由-2和3就可以在数轴上找到A点和B点的位置。

总结得出结论:在直线上, 确定一个点的位置一般需要一个数据.

(2)启新:在平面内,又如何确定一个点的位置呢?请同学们根据生活中确定位置的实例,请谈谈自己的看法.

2.举例探究

Ⅰ. 探究1

第105页

(1)在电影院内如何找到电影票上指定的位置?

(2)在电影票上“6排3号”与“3排6号”中的“6”的含义有什么不同?

(3)如果将“6排3号”简记作(6,3),那么“3排6号”如何表示?(5,6)表示什么

含义?

(4) 在只有一层的电影院内,确定一个座位一般需要几个数据?

结论:生活中常常用“排数”和“号数”来确定位置.

Ⅱ. 学有所用

(1) 你能用两个数据表示你现在所坐的位置吗?

(2) 破译密码游戏

.

结论:生活中常常用“行数”和“列数”来确定位置.

Ⅲ. 探究2.

据新华社报道,1976年7月28日 凌晨3时40分,我国河北省唐山市发生里氏7.8级的大地震,震中位于唐山市吉祥路一带,即北纬39°38′,东经118°11′.这次地震中,有24万人丧生,是有史以来地震给人类造成的特大灾难之一.你能在地图上找出震中的大致位置吗?

结论:生活中常常用“经度”和“纬度”来确定位置.

Ⅳ. 探究3

下图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图(图中1厘米表示20海里).对我方舰艇来

说:

(1)北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据?

(2)距我方潜艇20海里处的敌舰有哪几艘?

(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?

(4) 如何表示敌舰A,B,C的位置?

结论:生活中常常用“方位角”和“距离”来确定位置.

Ⅴ. 延伸阅读

船只定位

人们有时用两个角度确定海上航行船只的位置,如图,对于在大海中航行的船只A,海

岸线上的B,C两个观测点上只要同时观测到船只相对于每个观测点的方位角,即可准确确定这艘船只的位置.这是因为,对于固定的点B,C,船只A既在射线BA上,又在射线CA上,两条射线的交点就是这艘船的位置.

结论:生活中常常用两个“方位角”来确定位置.

第106页

Ⅵ.探究4

如图是西安市地图的一部分,如何向同伴介绍“省政府”所在的区域?“省图书馆”? 结论:生活中常常用“区域定位”来确定位置.

学有所用:在生活中,还有哪些用类似方法确定物体的位置的实例?

3.学有所思 ,学有所获.

在平面内,确定一个物体的位置一般需要几个数据?

答:在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据.

若设这两个数据分别为a和b,则:

a表示:排数、行数、经度、角度、角度??

b表示:号数、列数、纬度、距离、角度??.

4.议一议.

在空间内,确定一个物体的位置一般需要几个数据?请举例说明.

答:在空间内,确定一个物体的位置一般需要3个数据.如,在多层的电影院中确定位置就需要知道几层几排几号共3个数据.

第三环节 学有所用.

1.在平面内,下列数据不能确定物体位置的是( )

A.3楼5号 B.北偏西40°

C.解放路30号 D.东经120°,北纬30°

2.海事救灾船前去救援某海域失火轮船,需要确定 ( )

A.方位角 B.距离

C.失火轮船的国籍 D.方位角和距离

3.你能向同学们介绍一下你家的位置吗?

4.观察如图所示象棋盘,回答问题:

(1)请你说出“将”与“帅”的位置;

(2)说出“马 3 进 4”(即第 3 列的马前进到第 4 列)后的位置.

5.举出在空间确定物体位置 的一种方法,在你的方法中用到了几个数据?

第四环节 感悟与收获

1.知识能力:

(1)在现实情境中感受了确定物体位置的多种方式,并能灵活运用不同方式确定物体的位置.

(2)在直线上,确定一个点的位置一般需要一个数据;

在平面内,确定一个点的位置一般需要两个数据;

在空间内,确定一个点的位置一般需要三个数据.

2.思想方法:

(1)数形结合;

(2)分类讨论;

(3)感受生活—认知规律—运用规律.

第五环节 分层作业

C 类:教材习题3.1第1,2,3题;

B 类:用适当的方法向你的同学介绍你所熟悉的一处西安旅游景点的位置;

A 类:写一篇关于生活中如何确定位置的小文章.

板书设计:

第107页

第108页

第三章 位置与坐标

2 平面直角坐标系(第1课时)

一、学生起点分析

《平面直角坐标系》是八年级上册第五章《位置与坐标》第二节内容。本章是“图形与坐标”的主体内容,不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容,而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵,同时又是一次函数的重要基础。《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。因此,教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境,会引起学生的极大关注,会有利于学生对内容的较深层次的理解;另一方面,学生已经具备了一定的学习能力,可多为学生创造自主学习、合作交流的机会,促使他们主动参与、积极探究。

二、教学任务分析

教学目标设计:

知识目标:

1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念;

2.认识并能画出平面直角坐标系;

3.能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标。

能力目标:

1.通过画坐标系、由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识;

2.通过对一些点的坐标进行观察,探索坐标轴上点的坐标有什么特点,纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系,培养学生的探索意识和能力。

情感目标:

由平面直角坐标系的有关内容,以及由点找坐标,反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。

教学重点:

1.理解平面直角坐标系的有关知识;

2.在给定的平面直角坐标系中,会根据点的位置写出它的坐标;

3.由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系,说明坐标轴上点的坐标有什么特点。

教学难点:

1.横(或纵)坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究;

2.坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。

三、教学过程设计

第一环节 感受生活中的情境,导入新课

第109页

同学们,你们喜欢旅游吗? 假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?下面给出一张某市旅游景点的示意图,根据示意图(图5-6),回答以下问题:

(1) 你是怎样确定各个景点位置的?

(2) “大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格?“碑林”在“中心广场”北、东各多少个格?

(3) 如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴,分别取向右、向上的方向为数轴的正方向,一个方格的边长看做一个单位长度,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢?

在上一节课,我们已经学习了许多确定位置的方法,这个问题中,大家看用哪种方法比较合适?

第二环节 分类讨论,探索新知

1.平面直角坐标系、横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点的定义和象限的划分。

学生自学课本,理解上述概念。

2.例题讲解

(出示投影)例1

例1 写出图中的多边形ABCDEF各顶点的坐标。

3.想一想

在例1中,

(1)点B与点C的纵坐标相同,线段BC的位置有什么特点?

(2)线段CE位置有什么特点?

(3)坐标轴上点的坐标有什么特点?

由B(0,-3),C(3,-3)可以看出它们的纵坐标相同,即B,C两点到X轴的距离相等,所以线段BC平行于横轴(x轴),垂直于纵轴(y轴)。

第三环节 学有所用.

补充:1.在下图中,确定A,B,C,D,E,F,G的坐标。

第110页

yCFA

DBx

(第1题) (第2题)

2.如右图,求出A,B,C,D,E,F的坐标。

第四环节 感悟与收获

1.认识并能画出平面直角坐标系。

2.在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标。

3.能适当建立直角坐标系,写出直角坐标系中有关点的坐标。

4.横(纵)坐标相同的点的直线平行于y轴,垂直于x轴;连接纵坐标相同的点的直线平行于x轴,垂直于y轴。

5.坐标轴上点的纵坐标为0;纵坐标轴上点的坐标为0。

6.各个象限内的点的坐标特征是:第一象限(+,+)第二象限(-,+),

第三象限(-,-)第四象限(+,-)。

第五环节 布置作业(略)。

第111页

第三章 位置与坐标

2.平面直角坐标系(第2课时)

一、学生起点分析

《平面直角坐标系》是八年级上册第三章《位置与坐标》第二节内容。本章是“图形与坐标”的主体内容,不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容,而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵,同时又是一次函数的重要基础。《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。因此,教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境,会引起学生的极大关注,会有利于学生对内容的较深层次的理解;另一方面,学生已经具备了一定的学习能力,可多为学生创造自主学习、合作交流的机会,促使他们主动参与、积极探究。

二、教学任务分析

知识目标:

1.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.

2.知道不同象限点的坐标的特征。

3.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识。

能力目标:

1.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,发展学生的数形结合思想,培养学生的合作交流能力;

2.通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程,进一步培养学生的转化意识。

情感目标:

通过生动有趣的教学活动,发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度,提高学生学习数学的兴趣。 教学重点、难点:

体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识。

三、教学过程设计

第一环节 感受生活中的情境,导入新课.

在上节课中我们学习了平面直角坐标系的定义,以及横轴、纵轴、点的坐标的定义,练习了在平面直角坐标系中由点找坐标,还探讨了横坐标或纵坐标相同的点的连线与坐标轴的关系,坐标轴上点的坐标有什么特点。

1、探究坐标轴上点或与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.

练习.在直角坐标系中描出下列各点,并将各组内这些点依次用线段连接起来.

(1)D(-3,5),E(-7,3),F(-6,3),B(0,3),C(1,3),D(-3,5);

第112页

(2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3); 观察所描出的图形,它像什么? 解答下列问题

(1)点G与点A的坐标有什么共同特点?在坐标系中它们又有什么共同特点?

(2)线段EC与x轴有什么特殊的位置关系?点

E、点C有什么特点?线段EC上其它点的坐标呢?

(3)点F、点G的坐标有什么共同特点,线段FG与Y轴有怎样的位置关系?

解答:(1)线段 AG 上的点都在 x 轴上,它们的纵坐标等于 0; 线段 AB 上的点都在 y 轴上,它们的横坐标等于 0. (2)线段 EC 平行于 x 轴,点 E 和点 C 的纵坐标相同. 线段 EC 上其他点的纵坐标相同,都是 3.

(3)点 F 和点G 的横坐标相同,线段 FG 与 y 轴平行. 由点找坐标是已知点在直角坐标系中的位置,根据这点在方格纸上对应的x轴、y轴上的数字写

出它的坐标,反过来,已知坐标,让你在直角坐标系中找点,你能找到吗?这就是本节课的内容。

的坐标的位置

第二环节 分类讨论,探索新知.

1.请同学们拿出准备好的方格纸,自己建立平面直角坐标系,然后按照我给出的坐标,在直角坐标系中描点,并依次用线段连接起来。

(-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3) (学生操作完毕后) 2.(出示投影)还是在这个平面直角坐标系中,描

出下列各组内的点用线段依次连接起来。

(1)(-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3),(-6,5);

(2)(3.5,9),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(3.5,9); (3)(3,7),(1,5),(2,5),(5,5),(6,5),(4,7);

(4)(2,5),(0,3),(3,3),(3,0),(4,0),(4,3),(7,3),(5,5)。 观察所得的图形,你觉得它像什么?

分成4人小组,大家合作在刚才建立的平面直角坐标系中(选出小组中最好的)添画。各人分工,每人画一小题。看哪个小组做得最快? (出示学生的作品)画出是这样的吗?这幅图画很美,你们觉得它像什么?

这个图形像一栋“房子”旁边还有一棵“大树”。

3.做一做

(出示投影)

在书上已建立的直角坐标系画,要求每位同学独立

完成。

(学生描点、画图)

(拿出一位做对的学生的作品投影)

你们观察所得的图形和它是否一样?若一样,你能判断出它像什么呢?

(像猫脸)

第三环节 学有所用.

(补充)1.在直角坐标系中描出下列各点,并将各组内的点用线段顺次连接起来。

(1)(0,3),(-4,0),(0,-3),(4,0),(0,3);

(2)(0,0),(4,-3),(8,0),(4,3),(0,0);

(3)(2,0)

观察所得的图形,你觉得它像什么?(像移动的菱形)

2.在直角坐标系中,设法找到若干个点使得连接各点所得的封

如下图所示的“十”字。

先独立完成,然后小组讨论是否正确。

3. 如图所示的笑脸中,

(1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的

说这些点的坐标有什么特点。

(2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个象限内的点

有什么特点。

2.不具体标出这些点,分别判断(1,2),(-1,-3),(2.,-1),

这些点所在的象限,说说你是怎么判断的。

闭图形是坐标,说的坐标(-3,4)

第四环节 感悟与收获

归纳 概括

1.位于x轴上的点的坐标的特征是: ;

位于y轴上的点的坐标的特征是: 。

2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征是: ;

与y轴平行的直线上点的坐标的特征是: 。

本节课在复习上节课的基础上,通过找点、连线、观察,确定图形的大致形状,进一步掌握平面直角坐标系的基本内容。

在例题和练习中,我们画出了不少美丽的图形,自己设计一些图形,并把图形放在直角坐标系下,写出点的坐标。

第五环节 分层作业(略)。

第114页

第三章 位置与坐标

2.平面直角坐标系(第三课时)

一、 学生起点分析

学生的基础知识:学生在前两节的学习中已对平面直角坐标系的定义、特点有了清楚的认识,尤其是能准确地在平面直角坐标系中描点、连线、画图,体会到了数形结合的美妙,所以具备了建立和应用直角坐标系的基本能力。学生的活动经验:在前面的学习中,学生能在给定的坐标系中描点、连线,积累了一定的画图能力。

二、 学生任务分析

教科书基于学生对平面直角坐标系的定义,以及在平面直角坐标系中描点、画图的基础上,提出本节的具体学习任务:建立适当的直角坐标系表示点的坐标,为此本节课的教学目标是:

【知识目标】

1、能结合所给图形的特点,建立适当的坐标系,写出点的坐标;

2、能根据一些特殊点的坐标复原坐标系;

3、经历建立坐标系描述图形的过程,进一步发展数形结合意识。

【能力目标】

通过多角度的探索,灵活选取简便易懂的方法解决问题,拓宽学生的思维,提高学生解决问题的能力。

【情感目标】

1.通过学习建立直角坐标系的多种方法,让学生体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习兴趣,感受数学在生活中的应用,增强学生的数学应用意识。

2.通过确定旅游景点的位置,让学生认识数学与人类生活的密切联系,提高他们学习数学的兴趣。 教学重点:根据实际问题建立适当的坐标系,并能写出各点的坐标。

教学难点:根据一些特殊点的坐标复原坐标系;

教学方法:探究式学习

教具准备:方格纸若干张。

三、 教学过程设计

第一环节:探究

建立平面直角坐标系,描述图形

1.如图,矩形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标。

『师』:在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标,所以应先建立直角坐标系,那么应如何选取直角坐标系呢?请大家思考。

『生1』:如下图所示,以点C为坐标原点,分别以CD,CB所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标 第115页

系。

由CD的长为6,CB长为4,可得A,B,C,D的坐标分别为A(6,4),B(0,4),C(0,0),D(6,0)。

『生2』 :如下图所示,以点D为坐标原点,分别以CD,AD所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系。

『师』:这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点,矩形的相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴,建立直角坐标系的。这样建立直角坐标系的方式还有两种,即以A,B为原点,矩形两邻边分别为x轴、y轴建立直角坐标系。除此之外,还有其他方式吗?

『生3』:有,如下图所示,以矩形的中心(即对角线的交点)为坐标原点,平行于矩形相邻两边的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A,B,C,D的坐标分别为A(3,2),B(-3,2),C(-3,-2),D(3,-2)。

第116页

『生4』:把上图中的横坐标逐渐向上、下移动,纵坐标左、右移动,则可得到不同的坐标系,从而得到A,B,C,D四点的不同坐标。

『师』:从刚才我们讨论的情况看,大家能发现什么?

『生』:建立直角坐标系有多种方法。

第二环节:应用

对于边长为4的整三角形ABC,建立适当的直角坐标系,写出各个顶点的坐标。

解:略(见书)。

『师』:正三角形的边长已经确定是4

所处位置的不同而发生变化?

『生』:不会,只是位置变化,而长度不会变。

『师』:除了上面的直角坐标系的选取外,是否还有其他的选取

方法?

『生』:有,??

3.议一议

你认为怎样建立适合的直角坐标系?

上面三个活动的目的:

(1)体会不同的坐标系同一图形的位置不同,那么,关键点的坐标也不同。

(2)确定坐标系时,一方面是看点的位置,同时也与此点到坐标轴有关,而距离往往需要进行计算。

(3)培养学生综合应用知识解决问题的能力。

第三环节:巩固

运用。巩固

如图,建立两个不同的直角坐标系,在各个直角坐标系中,分别写出八角星8个角的顶点的坐标,并比较同一顶点在两个坐标系中的坐标.

25)4,-2)标为 。

内容:在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了坐标为(3,2)和(3,-2)的两个标志点,并 第117页 为(2,-位置的坐

且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此外不知道其他信息。如何确定直角坐标系找到宝藏?

目的:这个情境具有一定趣味性和探究性,这样可以大大激发学生的思维,增强学生的学习兴趣,使学生进入快乐的学习中来,提高学生学习的积极性和主动性,同时引导学生进入新课的学习。

教学处理:这里仅仅提出问题,激发兴趣,并不要求现在解决,而希望在本节课后面再回解该问题。

4.回解情境问题(寻宝问题)

教学处理:(1)让学生分组讨论如何找到宝藏。(2)让每组选一名代表发言,阐述本组讨论的结果。

(3)师生共同完成探宝。

活动目的:(1)通过小组讨论活动,让学生理解坐标系的特点,并能应用特点解决问题。(2)培养学生逆向思维的习惯。(3)在小组讨论中培养学生勇于探索,团结协作的精神。

第四环节:练习

随堂练习 (体现建立直角坐标系的多样性)

(补充)某地为了发展城市群,在现有的四个中小城市A,B,C,D附近新建机场E,试建立适当的直角坐标系,并写出各点的坐标。 C

第五环节:小结

内容:小结本节课自己的收获和进步,从知识和能力上两个方面总结,老师予于肯定和鼓励。 目的:鼓励学生大胆发言,敢于表达自己的观点,同时学生之间可以相互学习,共同提高,老师给予肯定和鼓励,激发学生的学习热情。

第六环节:布置作业

A类:课本习题5.5。

B类:完成A类同时,补充:

(1)已知点A到x轴、y轴的距离均为4,求A点坐标;

(2)已知x轴上一点A(3,0),B(3,b),且AB=5,求b的值。

第118页

第三章 位置与坐标

3. 轴对称与坐标变化

一、 学生起点分析

学生的知识技能基础:学生已学习了运用多种方法确定物体的位置,使学生感受到了丰富的确定位置的现实背景;系统学习了平面直角坐标系的基本概念,能在平面直角坐标系中准确地表示物体的位置,清楚地认识了点和坐标之间的对应关系;能确定点的坐标及根据坐标描点、进而连线形成图形。

学生的活动经验基础:学生有了一定的合作学习的基础,有了一定的学习能力,教学中要安排一定的合作交流与自主学习的机会,加强学生之间的交流。

二、 学习任务分析

本节课学生通过“坐标与轴对称”这样一个趣味性较强的话题,深切感受图形坐标的变化与图形形状的变化之间的密切关系,也进一步加深对“数形结合思想”的认识.具体的教学目标如下:

【知识目标】:

1、在同一直角坐标系中,感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系.

2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程,发展形象思维能力和数形结合意识。

【能力目标】:

1.经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程,掌握空间与图形的基础知识和基本技能,培养学生的探索能力。

【情感目标】

1.丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维。

2.通过有趣的图形的研究,激发学生对数学学习的好奇心与求知欲,能积极参与数学学习活动。

3.通过“坐标与轴对称”,让学生体验数学活动充满着探索与创造。

教学重点:

经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程,明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系。 教学难点:

由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程,发展形象思维能力和数形结合意识。 教学方法:引导发现法

三、 教学过程设计

第一环节 创设问题情境,引入新课

『师』:在前几节课中我们学习了平面直角坐标系的有关知识,会画平面直角坐标系;能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置;在给定的直角坐标系下,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标。

我们知道点的位置不同写出的坐标就不同,反过来,不同的坐标确定不同的点。如果坐标中的横(纵)坐标不变,纵(横)坐标按一定的规律变化,或者横纵坐标都按一定的规律变化,那么图 第119页

形是否会变化,变化的规律是怎样的,这将是本节课中我们要研究的问题。

探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系

1.在如图所示的平面直角坐标系中,第一、二象限内各有

旗。

两面小旗之间有怎样的位置关系?对应点A与A1的坐

什么特点?其它对应的点也有这个特点吗?

2.在右边的坐标系内,任取一点,做出这个点关于y轴对

点,看看两个点的坐标有什么样的位置关系,说说其中的

变式。发展

3.如果关于x轴对称呢?

在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形,

个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系? 一面小标又有称的道理。 它的各

4.关于x轴对称的两点,它们的横坐标 ,纵坐标 ;

5.已知点P(2a-3,3),点A(-1,3b+2), (1)如果点P与点A关于x轴对称,那么a+b= ; (2)如果点P与点A关于y轴对称,那么a+b= 。

练习:拿出方格纸,并在方格纸上建立直角坐标系,根据我读出的点的坐标在纸上找到相应的点,并依次用线段将这些点连接起来。坐标是(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)。

『师』:你们画出的图形和我这里的图形(挂图)是否相同?

『生』:相同。

『师』:观察所得的图形,你们觉得它像什么?

『生』:像“鱼”。

『师』:鱼是营养价值极高的食物,大家肯定愿意吃鱼,但上面的这条鱼太小了,下面我们把坐标适当地作些变化,这条鱼就能变大或变胖,即变化的鱼。

第二环节 探究新知:

例1 将上图中的点(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),

(4,-2),(0,0)做以下变化:

(1)纵坐标保持不变,横坐标分别乘以-1,再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?

(2)横坐标保持不变,纵坐标分别乘以-1,再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?

『师』:先根据题意把变化前后的坐标作一对比。如下:

(1)(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)

(0,0),(-5,4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1),(-3,0),(-4,-2),(0,0)

(2)(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4

,-2),(0,0)

第120页

(0,0),(5,-4),(3,0),(5,-1),(5,+1),(3,0),(4,+2),(0,0)根据变化后的坐标,把变化后的图形在自己准备的方格纸上画出来。

y

你们画出的图形与下面的图形相同吗? 7

65『生』:相同。

43『师』:这个图形与原来的图形相比有什么变化呢? 2『师』:图形应变成什么图形?

67x-1『生』:图形和原来图形相比,好像鱼沿y轴翻了个身。 -2-3

『师』:是的,所得的图案与原图案关于纵轴成轴对称。 -4(指导学生做第(2)题,方法同上) 『师』:图形应变成什么图形?

y『生』:图形和原来图形相比,好像鱼沿x轴翻了个身。 7

『师』:是的,所得的图案与原图案关于横轴成轴对称。图6

(3)横坐标、纵坐标都分别乘以-1,再将所得的点依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变

543267

-1-2-3-4

x

用线段化?

第三环节 拓展练习:

1.点 A(2,- 3)关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是( ).

2.点 B( - 2,1)关 于 y 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是( ). 3.点(4,3)与点(4,- 3)的关系是( ) . A.关于原点对称 B.关于 x轴对称 C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系

4.点(m,- 1)和点(2,n)关于 x轴对称,则 mn等于( ) A.- 2 B.2 C.1 D.- 1

5.(1)若 mn = 0,则点 P(m,n)必定在 上.

(2)已知点 P( a,b),Q(3,6),且 PQ ∥ x轴,则b的值为 .

6.点 A 在第一象限,当 m 为 时,点 A( m + 1,3m - 5)到 x轴的距离是它到y轴距离的一半 .

7. 已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论:

①A、B关于x轴对称;②A、B关于y轴对称;

③A、B关于原点对称;④A、B之间的距离为4,其中正确的有( ) A.1个

B.2个

C.3个 D.4个

8.一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上点C反射后经过点B(1,0)则光线从A点到B点经过的路线长是( )

A.4 B.5 C.6

D.7

第四环节 课堂小结

1、关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征:(x , y)——(- x , y) 2、关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征:(x , y)——(x , - y) 第121页

3、关于原点对称的两个图形上点的坐标特征:(x , y)——(- x , -y)

第五环节 布置作业

习题3.5 1,2,3

四、 教学反思

通过“坐标与轴对称”,经历图形坐标变化与图形的轴对称之间的关系的探索过程, 掌握空间与图形的基础知识和基本技能,丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维,激发学生对数学学习的好奇心与求知欲,学生能积极参与数学学习活动;积极交流合作,体验数学活动充满着探索与创造。教学中务必给学生创造自主学习与合作交流的机会,留给学生充足的动手机会和思考空间,教师不要急于下结论。事先一定要准备好坐标纸等,提高课堂效率。

第122页

《位置与坐标》回顾与思考

学习目标

1. 从现实生活中体会确定位置的不同方式与方法,感受确定位置的多样性;

2. 掌握利用直角坐标系确定位置的方法;

3. 会用平面直角坐标系来解决一些简单的实际问题;

学习过程

活动1 知识梳理

1、在平面内,确定点的位置一般需要几个数据?举例说明。

2、平面直角坐标系中,如何确定给定点的坐标?给定坐标,如何确定对应的点?分别举例说明。

3、平面直角坐标系中,坐标轴上的点具有什么特点?平行于坐标轴的线段上的点,它们的坐标之间有什么样的关系?分别举例说明。

4.平面直角坐标系中,关于坐标轴对称的点的坐标之间具有怎样的关系?反过来坐标具有这样的关系的点关于坐标轴对称吗?这些结论可以帮助你解决哪些问题?

5、通过上述知识的回顾,请你整理出本章的知识框架图:

活动2:典型例析

例1.右图是某市几个旅游景点的示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)。

请以某景点为原点,画出直角坐标系,并用坐标表示出下列景点的位置:光岳楼___________、 湖心岛___________、金凤广场__________、动物园___________。

反思。交流

与同伴比较,你们得到的各个景点的坐标一样吗?判断各自的做法是否正确,说说出现差异的原因。

第123页

例2.已知平面直角坐标系上有六个点:

请将上述六个点按下列要求分成两类,并写出同类点具有而另一类点不具有的一个特征(请将答案按要求写在横线上,点用字母表示).

⑴甲类含两个点,乙类含其余四个点.

甲类:点____,____是同一类点,其特征是;

乙类:点____,____,____,____是同一类点,其特征是;

⑵甲类含三个点,乙类含其余三个点.

甲类:点___,___,____是同一类点,其特征是_____;

乙类:点___,___,____是同一类点,其特征是____.

反思交流

你们的结果一样吗?关于分类,你们有哪些经验?与同伴交流。

例3.如图,已知A、B两村庄的坐标分

2)、(7,4),一辆汽车在x轴上行

点O出发。

(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?

的坐标。

(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?

的坐标。 别为(2,驶,从原写出此点写出此点

*(3)汽车行驶到什么位置时,距离两村的和最短?请在图中画出这个位置,并求出此时汽车到两村距离的和。

提示1:可以选择不同的位置,比较一下什么时候距离之和最短,此时应有什么好的特点?

提示2:假设汽车在点C,AC,BC都在x轴的上面,AC+BC是一个折线,能否将某条线“翻”下去,试着“凑”成直线呢?

活动3:自主反馈

1(1)如图,正八边形的边长为2,点C的坐标是(2,0)写出其余

各点的坐标:

(2)如果在(1)中做出正八边形关于x轴对称的图形,则

一个“8”字形,试尽快写出这个“8”字形另外六个顶点的

(3)试换一个点为原点,建立另一个坐标系,并写出各个顶点的坐标。

第124页

可以得到坐标。

第四章 一次函数

1. 函 数

一、学生起点分析

在七年级上期学习了用字母表示数,体会了字母表示数的意义,学会了探索具体事物之间的关系和变化的规律,并用符号进行了表示;在七年级下期又学习了“变量之间的关系”,使学生在具体的情境中,体会了变量之间的相依关系的普遍性,感受了学习变量之间的关系的必要性和重要性,并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验,为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。

二、教学任务分析

《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第四章《一次函数》

第一节的内容。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的,主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系,进而抽象出函数的概念。与原传统教材相比,新教材更注重感性材料,让学生分析了大量的问题,感受到在实际问题中存在两个变量,而且这两个变量之间存在一定的关系,它们的表示方式是多样地,如可以通过列表的方法表示,可以通过画图像的方法表示,还可以通过列解析式的方法表示,但都有着共性:其中一个变量依赖于另一个变量。

本节内容是在七年级知识的基础上,继续通过对变量间的关系的考察,让学生初步体会函数的概念,为后续学习打下基础。同时,函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法,感受事物是相互联系和规律的变化。一次本节课教学目标定位为:

1.初步掌握函数概念,能判断两个变量间的关系是否可以看成函数;

2.根据两个变量之间的关系式,给定其中一个量,相应的会求出另一个量的值;

3.了解函数的三种表示方法。

4.通过函数概念的学习,初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力;

5.在函数概念形成的过程中,培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神

对学生来讲本节课的难点在于对函数概念的理解;

四、教学准备

教具:教材,课件,电脑

学具:教材,笔,练习本

五、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节:第一环节:创设情境、导入新课;第二环节:展现背景,提供概念抽象的素材;第三环节:概念的抽象;第四环节:概念辨析与巩固;第五环节:课时小结;第六环节:布置作业

第125页

第一环节:创设情境、导入新课

内容:

展示一些与学生实际生活有关的图片,如心电图片,天气随时间的变化图片,抛掷铅球球形成的轨迹,k线图等,提请学生思考问题。

意图:

承接上一学期变量关系的学习,让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的,感受研究函数的必要性。

效果:

生活实例,激发了学生的研究热情,起到很好的导入效果。

第二环节:展现背景,提供概念抽象的素材

内容:

问题1.你去过游乐园吗?你坐过摩天轮吗?你能描述一下坐摩天轮的感觉吗?

当人坐在摩天轮上时,人的高度随时间在变化,那么变化有规律吗?

摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系,右图就反映了时间t(分)与摩天轮上一点的高度h(米)之间的关系.你能从上图观察出,有几个变化的量吗?当t分别取3,6,10时,相应的h是多少?给定一个t值,你都能找到相应的h值吗?

问题2.瓶子或罐头盒等圆柱形的物体,常常如下图这样堆放。随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?

填写下表:

问题3。一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.

(1)当t分别等于-43,-27,0,18时,相应的热力学温度T是多少?

(2)给定一个大于-273 ℃的t值,你能求出相应的T值吗?

意图:

通过上面三个问题的展示,使学生们初步感受到:现实生活中存在大量的变量间的关

系,并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的;变量之间的关系表示方式是多样的 第126页

(图象、列表和解析式等).

效果:

通过图片展示和三个问题的探究,使学生感受生活中的确存在大量的两个变量之间的关系,并且这两个变量之间的关系可以通过三种不同的方式表现,初步了解三种方式表示两个变量之间关系的各自特点.

第三环节:概念的抽象

内容:

1.引导学生思考以上三个问题的共同点,进而揭示出函数的概念:

在上面的问题中,都有两个变量,给定其中一个变量(自变量)的值,相应的就确定了另一个变量(因变量)的值.

一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.

2.点明函数概念中的两个关键词:两个变量,一个x值确定一个y值,它们是判断函数关系的关键。

3.再通过对上面3个情境的比较,引导学生思考三个情境呈现形式的不同(依次以图像、代数表达式、表格的形式反映两个变量之间的关系),得出函数常用的三种表示方法:

(1) 图象法 ; (2)列表法 ; (3)解析法。

意图:

通过比较异同点,揭示函数的本质概念和不同的表示方法。

效果:

教学过程中,由于有了七年级较好的铺垫,学生都能顺利地抽象出有关概念。

第四环节:概念辨析与巩固

内容:

1.介绍常量与变量的概念

常量:在某一变化过程中,始终保持不变的量;

变量:在某一变化过程中,可以取不同数值的量.

指出下列关系式中的变量与常量:

(1)球的表面积S(cm2)与球半径R(cm)的关系式是S=4?R2

(2)以固定的速度V0(米/秒)向上抛一个球,小球的高度h(米)与小球运动的时间t

(秒)之间的关系式是h=V0t-4.9t2.

2.概念应用举例

1. 小明骑车从家到学校速度是15千米/时,你能表示出他走过的路程s与时间t之间的变化关系吗?S是t的函数吗?路程s随时间t的变化的图像是什么?

略解:S=15t,是函数,图像略.

2. 如果A、B路程为200千米,一辆汽车从A地到B地行驶的速度v与行驶时间t是怎样的变化关系?V是t的函数吗?速度v随时间t的变化的图像是什么?

200v?略解:,是函数,图像略. t

3. 若正方形的边长为x,则面积y与边长x之间的关系是什么?y是x的函数吗?面积y随边长x的变化的图像是什么?

第127页

略解:s=x2,是函数,图像通过课件展示给同学们

意图:

通过常量与变量的区别阐述,进一步理解函数的关键;通过三个例题,对函数概念进行更深入的探讨,再次揭示函数概念的本质特征.

效果:

通过对函数基本特征的反复比较与探究,学生能比较深刻地理解函数的概念;同时三个例题涉及了初中阶段将要学到一次函数、反比例函数和二次函数,也为学生将来学习这三种函数留下了一个初步的印象.

第五环节:课时小结

内容:请同学们针对本节的内容进行自我小结,学生之间相互补充后;最后教师总结。 意图:

引导学生自己总结本节课的知识要点和数学学习方法,使学生从感性上升到理性,形成系统的知识。

效果:

学生各抒己见,然后相互补充完善,最后师生共同完成了小结内容。当然,在学生发言时,教师要注意学生的语言表述的准确性。

最终总结了下面的内容:

1.初步掌握函数的概念,并能判断两个变量之间的关系是否是函数的关系。

理解函数的概念应抓住以下三点:

(1)函数的概念由三句话组成:“两个变量”,“x的每一个值”,“y有确定的值”;

(2)判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系是存在,更重要的是看对于x的每一个确定的值,y是否有唯一确定的值与之对应;

(3)函数不是数,它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系。

2.在一个函数关系式中,能识别自变量与因变量,并能由给定的自变量的值,相应的求出函数的值。

3.函数的三种表达式:

(1)图象法(用图像来表示函数的方法);

(2)列表法(把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数的反方法);

(3)解析法(用代数式来表示函数的方法,用来表示函数关系的式子叫做函数关系式,函数关系式是等式,在书写时有顺序性,一般写成:“函数=函自变量的代数式”的形式)。

4.学会用辩证唯物主义的观点的看待一个问题。

5.本节课用到的基本思想是:通过观察、分析、对比、归纳等过程获取数学知识. 第六环节:布置作业

习题4.1

六、教学设计反思

(一)突出重点、突破难点的策略

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,对函数的学习一直以来都是中学阶段的一个重要的内容。函数的概念是学习后续“函数知识”的最重要的基础内容,而函数的概念又是一个比较抽象的,对它的理解一直是一个教学难点,学生对这些问题的探索以及研究思路都是比较陌生的,因此,在教学过程中,注意通过对以前学过的“变量之间的关 第128页

系”的回顾与思考,力求提供生动有趣的问题情境,激发学生的学习兴趣;并通过层层深入的问题设计,引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动,在活动中归纳、概括出函数的概念;并通过师生交流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解。

(二)评价方式

根据新课标的评价理念,教师在课堂中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需求,鼓励学生探索方式、表达方式和解题方法的多样化。在教学活动中教师要关注学生的参与程度和表现出来的思维水平,应关注的是学生对概念的理解水平和学生的语言表达的能力,应关注学生对概念理解的程度和是否能准确的判断所给的问题是否是函数关系,关注学生能否用辩证唯物主义的观点看待事物,教学中又通过学生“议一议”、“想一想”等活动情况和学生对反馈练习的完成情况,分析学生的认识状况和列出函数关系的能力水平。另外,对于学生的回答教师应给预恰当的评价和鼓励,帮助学生认识自我,建立自信,发挥评价的教育功能。

附:板书设计

第129页

第四章 一次函数

2.一次函数

一、学生起点分析

在七年级下期学生已经探索了变量之间关系,在此基础上,本章前一节继续通过对变量关系的考察,让学生初步体会函数的概念,能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于有前面内容的铺垫,学生已经会建立变量之间的关系,可能有部分学生表述上还不太规范,在教学中,教师要注意纠正学生的一些错误习惯,如将解析式写成x?y?1,x?y??1等,培养学生良好的书写习惯.

二、教学任务分析

《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节.本节内容安排了1个课时:让学生理解一次函数和正比例函数的概念,能根据已知信息写出简单的一次函数表达式,并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.

与原传统教材相比,新教材更注重借助生活中的实际背景,让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念;同时,新教材调整了知识的安排顺序,原来教材正比例函数在一次函数前面,而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.

本节课教学目标分析是:

(1)理解一次函数和正比例函数的概念;

(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.

(3)经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力;

(4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,发展学生的数学应用能力.

(5)体验生活中的数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣.

(6)在探索过程中体验成功的喜悦,树立学习的自信心.

第130页

本节课教学重点是:

理解一次函数和正比例函数的概念.

本节课教学难点是:

能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.

三、教学过程设计

本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入;第二环节:新课讲述;第三环节:巩固练习;第四环节:知识提高;第五环节:反馈练习;第六环节:课堂小结;第七环节:布置作业.

第一环节:复习引入

内容:复习上节课学习的函数,教师提出问题:

a) 什么是函数?

b) 函数有哪些表示方式?

c) 在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢? 意图:为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识.

效果:

问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标.

若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题)

①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么?

②上网费用是2元/小时,则上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?

第131页

第二环节:新课讲述

内容:

例1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.

(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:

(2)你能写出x与y之间的关系式吗?

答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ;(2) y=3+0.5x.

例2 某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.

(1)完成下表:

(2)你能写出x与y之间的关系式吗?

(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢? 答案 (1) 100、91、82、73、64、46;

(2) x与y之间的关系式为 y=100-0.18x;

(3) 汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零.

通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念:

一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,则y是x的正比例函数.

意图:从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.

第132页

效果:

从两个具体问题的函数表达式出发,互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义,提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.

主要从函数解析式这一角度去研究一次函数,这是学生第一次正式接触函数的表达式,教学中可根据学生状况多加一些例子,让学生逐步学会从函数表达式去认识函数,进一步掌握一次函数的定义.

第三环节:巩固练习

内容:

1.在函数(1)y=

(5)y=3,(2)y=x-5,(3)y=-4x,(4)y=2x2-3x,

x1 (6)y=中是一次函数的是 ,是正比例函数的x-2

是 .

2.若函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数,则m,n应满足的条件是 ;若是正比例函数,则m,n应满足的条件是 .

3.当k= 时,函数y=(k+3)xk

意图:对本节知识进行巩固练习.

效果:学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果.

在第3题中,学生易忘记k+3≠0的条件,而错误的将答案写成±3.

2-8-5是关于x的一次函数.

第四环节:知识提高

内容:

例3 写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?

(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;

(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系;

第133页

(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x个月后这棵树的高度为y(厘米),则y与x的关系.

答案: (1)由路程=速度3时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数;

(2)由圆的面积公式,得y=px2,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数;

(3)这棵树每月长高2厘米,x个月长高了2x厘米,因而y=50+20x,y是x 的

一次函数,但不是x的正比例函数.

例4 某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.

(1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x>50)的函数关系式;

(2)求出月通话150次的电话费;

(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.

分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为:每月通话费=月租费+超过50次后电话费.

答案: (1)根据题意得: y=25+(x-50)30.2,即y=0.2x+15;

(2)当x=150时,y=0.23150+15=45;

(3)因为53.6>25,可知通话次数大于50次,即当y=53.6时,求x的值.53.6=0.2x+15,解得x=193.

意图:通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.

充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展. 效果:

根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差异,此时,要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而不能是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都是逻辑思维训练的一部分.

在例4中的(1)中,易错解为y=25+0.2x.应让学生仔细审题,找准等量关系;(2)、(3)两问是给定自变量的值,求函数数值,这类问题的实质就是解方程.

第134页

第五环节:反馈练习

内容:

1.下列语句中,具有正比例函数关系的是( )

(A) 长方形花坛的面积不变,长y与宽x之间的关系;

(B) 正方形的周长不变,边长x与面积S之间的关系;

(C) 三角形的一条边不变,这条边上的高h与面积S之间的关系;

(D) 圆的面积为S,半径为r,S与r之间的关系.

2.我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入低于1600元的部分不收税;月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税??如果某人月收入1960元.他应缴纳个人工资、薪金所得税为(1960-1600)35%=18(元).

(1)当月收入大于1600元而又小于2100元时,写出应缴纳所得税y(元)与月收入x (元)之间的关系式.

(2)某人月收入为1760元,他应该缴纳所得税多少元?

(3)如果某人本月缴所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金是多少以元?

意图:对本节知识进行巩固练习.

效果:学生基本能较好地独立完成练习题,收到了较好的教学效果.

在第2题,学生容易遗忘几何的相关内容,在此教师可作适当的提醒,让学生更顺利地完成习题.

第六环节: 课堂小结

内容:

这节课我们学习了一类很有用的函数—— 一次函数,只要解析式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情形.(方式:师生互相交流总结.)

目的:鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想,进一步巩固本节课的知识.

实际效果:学生畅所欲言自己对本节课的感受与收获,都能准确的说出一次函数与正比例函数的概念.但学生容易忽略一次函数与实际生活的联系,教师应做适当补充. 第135页

第七环节:布置作业

1.根据下表写出x,y之间的一个关系式.

2. 某电信公司手机的A类收费标准如下:不管通话时间多长,每部手机每月必须缴月租费50元,另外,每通话1分钟交费0.4元.

(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系式;

(2)某手机用户这个月通话时间为152分,他应缴费多少元?

(3)如果该手机用户本月预交了200元的话费,那么该用户本月可通话多长时间?

3.某电信公司手机的B类收费标准如下:没有月租费,但每通话1分钟收费0.6元.按照此类收费标准,分别完成第2题中的各小题.

4.根据上面第2,3题中的条件,完成下列各题:

(1)若每月平均通话时间为300分,你选择哪类收费方式?

(2)每月通话多长时间时,按A,B两类收费标准缴费,所交话费相等?

四、教学设计反思

1.本课时在初中数学学习中的重要性

函数是初中阶段数学学习的一个重要内容,学生又是第一次接触函数,充分考虑学生的接受能力,本节从生动有趣的问题情景出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.又通过具有丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,为下一步学习《一次函数图象》奠定基础,并形成用函数观点认识现实世界的能力与意识.

2.怎样对学生进行引导

本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对研究常量的计算问题已掌握了一定的方法,但对函数、变量的变化规律的学习刚刚开始,抽象概括概念的能力尚显不足,为此,我力求以下三个方面对学生进行引导:

(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程;

第136页

(2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程;

(3)借助探索,通过思维深入,领悟教学过程.

3.注意改进的方面

在讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性。

第137页

第四章 一次函数

3. 一次函数的图象(第1课时)

一、学生起点分析

八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”,对利用图象表示变量之间的关系已有所认识,并能从图象中获取相关的信息,对函数与图象的联系还比较陌生,需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系.

二、教学任务分析

《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级(上)第六章《一次函数》的第三节.本节内容安排了2个课时,第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法,明确一次函数的图象是一条直线,能熟练地作出一次函数的图象。第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类,探索一次函数及其图象的简单性质.本课时是第一课时,教材注重学生在探索过程的体验,注重对函数与图象对应关系的认识. 为此本节课的教学目标是:

1.了解一次函数的图象是一条直线, 能熟练作出一次函数的图象.

2.经历函数图象的作图过程,初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.

3.已知函数的代数表达式作函数的图象,培养学生数形结合的意识和能力.

4.理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系.

教学重点是:

初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.

教学难点是:

理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系.

三、教学过程设计

本节课设计了七个教学环节:

第138页

第一环节:创设情境 引入课题;

第二环节:画一次函数的图象;

第三环节:动手操作,深化探索;

第四环节:巩固练习,深化理解;

第五环节:课时小结;

第六环节:拓展探究;

第七环节:作业布置.

第一环节:创设情境 引入课题

内容:

一天,小明以80米/分的速度去上学,请问小明离家的距离S(米)与小明出发的时间t(分)之间的函数关系式是怎样的?它是一次函数吗?它是正比例函数吗? S=80t(t≥0)

下面的图象能表示上面问题中的S与t的关系吗?

我们说,上面的图象是函数S=80t(t≥0)的图象,这

就是我们今天要学习的主要内容:一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。 目的:通过学生比较熟悉的生活情景,让学生在写函数关系式和认识图象的过程中,初步感受函数与图象的联系,激发其学习的欲望.

效果:学生通过对上述情景的分析,初步感受到函数与图象的联系,激发了学生的学习欲望.

第二环节:画正比例函数的图象

内容:首先我们来学习什么是函数的图象?

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象(graph).

例1 请作出正比例函数y=2x的图象.

解:列表:

描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系 第139页

内描出相应的点.

连线:把这些点依次连结起来,得到y=2x的图象.

由例1我们发现:作一个函数的图象需要三个步骤:

列表,描点,连线.

目的:通过本环节的学习,让学生明确作一个函数图象的一般步骤,能做出一个函数的图象,同时感悟正比例函数图象是一条直线.

效果:学生通过学习,掌握了作一个函数图象的一般方法,能作出一个函数的图象,同时感悟到正比例函数图象是一条直线.

第三环节:动手操作,深化探索

内容:做一做

(1)作出正比例函数y=?3x的图象.

(2)在所作的图象上取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否都满足关系y=?3x.

请同学们以小组为单位,讨论下面的问题,把得出的结论写出来.

(1)满足关系式y=?3x的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数y=?3x的图象上吗?

(2)正比例函数y=?3x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=?3x吗?

(3)正比例函数y=kx的图象有什么特点?

明晰

由上面的讨论我们知道:正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的,即满足正比例函数的代数表达式的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数的图象上;正比例函数的图象上的点(x,y)都满足正比例函数的代数表达式.正比例函数y=kx的图象是一条直线,以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx.

议一议

既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线.那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢?

因为“两点确定一条直线 ”,所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了.因为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线,所以只需再确定一个点就可以 第140页

了,通常过(0,0),(1,k)作直线.

例2 在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-

解:列表

1x,y=-4x的图象. 2过点(0,0)和(1,1)作直线,则这条直线就是y=x的图象.

过点(0,0)和(1,3)作直线,则这条直线就是y=3x的图象.

过点(0,0)和(1,-11)作直线,则这条直线就是

y=-x的图象. 22

过点(0,0)和(1,-4)作直线,则这条直线就是y=-4x的图象.

目的:做一做“作出这几个正比例函

的图象”,意在让学生进一步熟悉如何作

个正比例函数的图象,同时要求学生通过

几个函数的图象,分析正比例函数图象的

质,以及k的绝对值大小与直线倾斜程度

关系.

效果:学生通过作出正比例函数的图

明确了作函数图象的一般方法.在探究函

与图象的对应关系中加深了理解,并能很

地作出正比例函数的图象.

议一议

上述四个函数中,随着x的增大,y的值分别如

化?

在正比例函数y=kx中, 何变数一这性的象,数快

当k>0时,图象在第一、三象限,y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的);当k<0时, 图象在第二、四象限, y的值随着x值的增大而减小 (即从 第141页

左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).

请你进一步思考:

(1)正比例函数y=x和y=3x中,随着x值的增大y的值都增加了,其中哪一个增加得更快?你能说明其中的道理吗?

(2)正比例函数y=-1x和y=-4x中,随着x值的增大y的值都减小了,其中哪一个减小得2

更快?你是如何判断的? 我们发现:k越大,直线越靠近y轴。

第四环节:巩固练习,深化理解

内容:

练习1:在同一直角坐标系中分别作出y=11x与y=-x的图象. 23

练习2:当x?0时,y与x的函数解析式为y?2x,当x?0时,y与x的函数解析式为y??2x,则在同一直角坐标系中的图象大致为( )

(A) (B) (C ) ( D) xxxx练习3:对于函数y??3x的两个确定的值x1、x2来说,当x1?x2时,

对应的函数值y1与y2 的关系是( )

A. y1?y2 B. y1?y2 C. y1?y2 D. 无法确定

目的:这里的三个练习题,一是让学生熟练正比例函数图象的作法,二是明确正比例函数图象的性质,要注意自变量的取值范围。

效果:

学生通过练习,进一步熟练了正比例函数图象的作法,对正比例函数和正比例 第142页

函数图象的一般特征有了清楚的认识.

第五环节:课时小结

内容:本节课我们通过对正比例函数图象的研究,掌握了以下内容:

(1)函数与图象之间是一一对应的关系;

(2)正比例函数的图象是一条经过原点的直线.

(3)作正比例函数图象时,只取原点外的另一个点,就能很快作出.

目的:让学生在回忆的过程中,进一步加深对正比例函数图象的理解,同时对本节所学知识有一个总结性的认识.

效果:学生通过对本节学习的回顾和小结,对所学知识更清楚,抓住了重点,明确了关键.

第六环节:拓展探究

内容:

如图所示,你认为下列结论中正确的是( )

A. k1?k2?k3 B. k2?k1?k3

C. k3?k1?k2 D. k1?k3?k2

目的:对学有余力的学生,能进一步提高,

让他们的学习活动深入下去,同时为以后学习正

比例函数图象的应用奠定基础.

效果:学生通过对上面问题的探究,对正比

例函数图象的认识更深入.

第七环节:作业布置

习题4.3 1、2、3、4题,5题选做。

四、教学设计反思

这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象,对函数与图象的对应关系有点陌生.在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣,对函数与图象的对应关系应让学生动手去实践,去发现,对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出.在得出结论之后,让学生能运用“两点确定一条直线”,很快作出正比例函数的图象.

在 第143页

巩固练习活动中,鼓励学生积极思考,提高学生解决实际问题的能力.

当然,根据学生状况,教学设计也应做出相应的调整。如第一环节:创设情境 引入课题,固然可以激发学生兴趣,但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求,甚至队部分学生形成一定的认知障碍,因此该环节也可以直接开门见山,直入主题,如提出问题:正比例函数的代数形式是y=kx,那么,一个正比例函数对应的图形具有什么特征呢?今天我们就研究正比例函数对应的图形特征——-正比例函数图象。

附:板书设计

第144页

第四章 一次函数

3. 一次函数的图象(第2课时)

一、 学生起点分析

八年级学生已初步认识了变量之间的相依关系,积累了研究变量之间关系以及图象的一些方法和初步经验.在此基础上,学生能在“引导——探究——发现”式的课堂教学中积极参与讨论问题,大胆发表自己的见解和看法.但由于初中学生的年龄特点,他们借助直观、具体的图象更容易理解抽象的一次函数图象的变化规律及其性质.

二、 教学任务分析

《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第六章《一次函数》的第三节。本节内容安排了2个课时完成.第1课时让学生了解了作正比例函数图象的方法,并通过作图的操作过程,明确正比例函数的图象性质.本节课为第2课时,主要是通过对一次函数图象的比较与归类,探索一次函数及其图象的简单性质.与原传统教材相比,新教材更注重借助感性材料,让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及在具体图象中函数值的增减性和增减速度、具体直线之间的平行、相交等位置关系,实际上,这一过程,也是培养学生数形结合的意识和能力的好机会,并为今后继续学习一次函数的应用以及一次函数与二元一次方程的关系打下基础.

为此,本节课的教学目标是:

1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上,掌握一次函数图象及其简单性质;

2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略;

3.在结合图象探究一次函数性质的过程中,增强学生数形结合的意识,渗透分类讨论的思想;

4.通过对一次函数图象及性质的探究,在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.

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三、 教学过程设计

本节课设计了六个教学环节:第一环节: 图片展示;第二环节:复习引入;第三环节:活动探究;第四环节:反馈练习与知识拓展;第五环节:课时小结;第六环节:作业布置.

第一环节:创设情境

内容:展示一些与实际生活息息相关的图片.说明在我们生活中,有许许多多这样的图案,这些图象当中蕴含着某些规律,人们利用这些规律,能更合理地作出决策或预测.

目的:通过富有现实意义的图片展示,引入生活中熟悉的图片,使学生感受到图象里蕴含的某些规律可以使人们作出合理、科学的决策,激发学生的求知欲望,感受图象的实用价值.

说明:通过欣赏这些生活中的图象,学生感受到图象中所蕴含的规律,激发了学生的好奇心和求知欲.

第二环节:复习引入

内容:在前面,我们已经学会了绘制正比例函数图象,明确了正比例函数图像的有关性质,那么一次函数图象中又蕴含着什么规律,这节课我们就来研究一次函数图象的性质.首先,我们来复习一下上节课所学习的知识.

复习提问:(1)作函数图象有几个主要步骤?

(2)上节课中我们探究得到正比例函数图象有什么特征?

目的:学生回顾上节课学习的内容,为进一步研究一次函数的图象和性质做好铺垫.在上节课的探究中我们得到正比例函数图象是过原点的一条直线.本节课主要内容是对一次函数y?kx?b中常数k、b对图象的影响进行探究.

本节课也可从第二环节复习引入开始,直接进入本课题的学习.

说明:学生通过知识回顾,再次明确正比例函数图象的一些特征,为学习本节课在知识上作好准备.

第146页

第三环节: 活动探究

1、合作探究,发现规律

内容:观察在同一直角坐标系内的下列一次函数的图象.

(1)y?2x?6,y?5x,y?x?2;

1(2)y??x?6,y??2x,y??x?3. 2

得出结论:一次函数图像是一条直线.因此作一次函数图像时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了.一次函数y?kx?b的图像也称为直线y?kx?b.

议一议:

(1)观察图象,它们分别分布在哪些象限.

(2)观察每组三个函数的图象,随着x值的变化,y的值在怎样变化?

(3)从以上观察中,你发现了什么规律?

归纳出一次函数图象的特点:

在一次函数y?kx?b中

当k?0时,y随x的增大而增大,当b?0时,直线必过一、二、三象限;

当b?0时,直线必过一、三、四象限;

当k?0时,y随x的增大而减小,当b?0时,直线必过一、二、四象限;

当b?0时,直线必过二、三、四象限.

目的:归纳出一次函数图象中系数k,b对函数图象的影响。

说明:

本节课主要是结合一次函数的图象,探究一次函数的简单性质,教学内容较多,为更好地突出教学重点,提高课堂教学效率,建议在上一节课的家庭作业中,要求学生绘制上述两组函数图象在作业本上.

本节课首先请学生展示作出的函数图象,师生、生生互评,再让学生结合自己绘制的函数图象来探究一次函数的性质.通过问题串的精心设计,引导学生对k,b两个常数进行分类讨论,探索出k、b值的变化对图象的影响和变化规律.在此过程中渗透分类讨论的思想方法,培养学生数形结合的意识.

学生拿出课前已经做好的函数图象.通过师生互动、生生互动进行批改,互评.让学生再次巩固了已学知识,调动了学生学习的自主意识.在此基础上学生进行观察并分小组对一次 第147页

函数y?kx?b中k,b的几何意义作了初步的探索.本环节通过独立思考和小组讨论,培养学生的识图能力、探究能力和合作能力.初步感受到了一次函数的图象及函数的性质由常数k、b决定.

2观察思考,深入探究

内容1:

右图是某次110米栏比赛中两名选手所跑的路程s

(米)和所用时间t(秒)的函数图象. 观察图象,你能

出谁跑得更快吗?

目的:学生通过对熟悉的实际问题的讨论,体会不同函数图象的倾斜程度不同,函数值的增减速度也不同,为下面进一步探究一次函数图象的性质作了铺垫.

说明:通过具体的实例,学生在观察讨论中发现可以从图象的倾斜程度看出谁跑得更快,那么一次函数图象的倾斜程度又由什么决定呢?再次激发学生的求知欲望,为课堂注入新的活力.

内容2:

1x,y?2x和y?5x的图象,观察图象,x从0开始逐渐增大,2

1哪个函数的值先到达6? 直线y?x,y?2x和y?5x哪个与x轴正方向所成的锐角最2) 看(1)作出一次函数y?

大? 从中你能发现与x轴正方向所成的锐角的大小是由什么决定的?

(2)直线y??x?2与y??x?6的位置关系如何?

(3)直线y?2x?6与y??x?2的位置关系如何?

引导学生结合函数图象,回答以上的问题.

结合上面几个例子,你认为平面内不重合的两条直线的位置关系由什么决定?请和同桌交流,看看对你有没有启发.

从而希望学生总结出一次函数图象的特点:

当k?0时,k的值越大,直线与x轴的正方向所成的锐角越大.

同一平面内,不重合的两条直线l1:y1?k1x?b1与l2:y2?k2x?b2

当k1?k2时,l1?l2;

第148页 . . .

当k1?k2时,l1与l2相交.

目的:问题(1)在教材中是放在一次函数图象的第一节课,根据教学安排,我们把这个内容调整到了本节课.经过自主探究、合作交流,力图让学生对两直线的位置关系及k,b的几何意义作进一步的探讨,感受在具体图象中平行、相交等位置关系以及函数图象中函数值的增减速度与k值之间的联系.

说明:学生通过讨论,得出所观察到的图象的规律,在教师的引导下,逐步加深对一次函数图象及性质的认识.

内容3:比一比,看谁画得快

一次函数y?x的图象如图所示,你能画出函数

和y?x?5的图象吗?

目的:学生作图(学生可能按常规过两点作直线,也可能利用两直线的位置关系,过直线外一点作已知直线的平行线).利用所学的知识反过来解决了作图问题,再次强调了数形结合的思想.

说明:通过探究,学生已经了解了一次函数图象的特点.根据一次函数图象的特点,学生能较容易的完成此题.

3归纳总结,认识规律

内容:归纳总结一次函数图象的特点:

1.在一次函数y?kx?b中

当k?0时,y随x的增大而增大,当b?0时,直线必过一、二、三象限;

当b?0时,直线必过一、三、四象限;

当k?0时,y随x的增大而减小,当b?0时,直线必过一、二、四象限;

当b?0时,直线必过二、三、四象限.

2.当k?0时,k的值越大,直线与x轴的正方向所成的锐角越大.

3. 同一平面内,不重合的两条直线l1:y1?k1x?b1与l2:y2?k2x?b2

当k1?k2时,l1?l2;

第149页 y?x?4

当k1?k2时,l1与l2相交.

目的:通过师生、生生互动,共同总结,使学生再次明确一次函数图象的特点,为下个环节的知识运用作好准备.

说明:通过教师的引导,学生之间的相互补充,完善,很容易归纳出一次函数图象的特点.

第四环节:反馈练习

内容:1.你能找出下列四个一次函数对应的图象吗?请说出你的理由:

(1)y??2x?1; (2

)y??1;

2(3)y?x; (4)y??x. 3

2.(1)判断下列各组直线的位置关系:

(A)y?x与y?x?1;

11(B)y?3x?与y??x?. 22

(2)已知直线y?

为 .

3.(1)一次函数y?x?1的图象经过的象限是( )

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

(2)一次函数y?mx?n?2的图象如图所示,则 2x?5与一条经过原点的直线l平行,则这条直线l的函数关系式3

m、n的取值范围是( )

A.m?0,n?2 B.m?0,n?2

C.m?0,n?2 D. m?0,n?2

第150页

4.小明骑车从家到学校,假设途中他始终保持相同的速度前进,那么小明离家的距离与他骑行时间的图象是下图中的 ;小明离学校的距离与他骑行时间的图象是下图中的 .

(A)(B)(分)分)

答案:

1.四个图象对应的函数关系式分别为:

(3)、(1)、(2)、(4).

2.(1)平行,相交;

(2)y?2x. 3

3.(1)D;(2)D

4. B,A.

目的:四组练习,旨在检测学生对一次函数的图象和性质的掌握情况.可根据学生情况和上课情况适当调整.若学生在回答第1题时有困难,可先引导学生完成分层教学中基础训练1、2题,若学生完成上述练习比较顺利,可根据上课时间适当选择分层教学中提高训练或知识拓展完成.

说明:四组练习注意了问题的梯度,由浅入深,一步步加深学生对一次函数图象及性质的认识.对同学的回答,教师给予点评,对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心.

第五环节 课时小结

内容:本节课我们结合一次函数的图象对一次函数的一些简单性质进行了探讨,通过这节课,我们学习了以下内容:

1.一次函数y?kx?b中,

当k?0时,y的值随x的增大而增大,图象经过一、三象限;

当k?0时,y的值随x的增大而减小,图象经过二、四象限.

2.同一平面内,不重合的两条直线l1:y1?k1x?b1与l2:y2?k2x?b2

第151页

当k1?k2时,l1?l2;当k1?k2时,l1与l2相交.

用到了以下的数学思想和基本方法:

1.本节课中用到的数学思想:数形结合、分类讨论.

2.本节课中用到的基本方法:通过观察、操作、猜想、推理、类比、归纳等过程获取数学知识.

目的:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学思想、方法,教师再补充完善,使知识系统化.

说明:学生畅所欲言,相互进行补充,能用自己的话进行归纳总结.

第六环节 作业布置

习题4.4

课外探究

当x>0时,y与x的关系式y?5x;

≤0时,y??5x,则它们在同一直角坐

中大致图象是( ) 当x标系

四、 教学设计反思

(1)突出重点、突破难点的策略

本节课是学生首次接触利用数形结合的思想研究一次函数图象和性质,对他们而言观察对象、探索思路、研究方法都是陌生的,因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设,激发学生的学习兴趣,并注意通过有层次的问题串的精心设计,引导学生观察一次函数的图象,探讨一次函数的简单性质,逐步加深学生对一次函数及性质的认识.在师生互动、生生互动的探索实践活动中,促成学生对一次函数知识结构的构建和完善;在巩固议练活动中,提高学生解决问题的能力.另外,针对于本节内容较多的情况,建议可以将归纳一次函数图像是一条直线的教学过程放到第1课时完成。

(2)评价方式

根据新课标的评价理念,教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.

在教学活动中教师应关注学生的参 第152页

与程度和表现出来的思维水平,应关注的是学生对图象的理解水平和解决过程中的表述水平,应关注学生对基本知识技能的掌握情况和应用一次函数解决问题的意识的提高状况.教学中可通过学生对“议一议”、“想一想”的探究情况和学生对4组反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和应用一次函数图象、性质解决问题的意识和能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励,帮助学生认识自我,建立自信,发挥评价的教育功能. 附:板书设计

第153页

第四章 一次函数

4. 一次函数的应用(第1课时)

一、学生起点分析

本节课之前,学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质,并了解了函数的三种表达方式:图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法,并进一步感受数形结合的思想方法.

二、教学任务分析

本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时,主要内容是利用图象、表格等信息,确定一次函数的表达式.与原教材相比,新教材更注重与实际联系,更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法;并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件,这个问题虽然简单,但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量.值得一提的是确定一次函数表达式,需要根据两个条件列出关于k、b的方程组,而二元一次方程组是下一章的学习内容,因此本节所研究的一次函数,某个参数应较易于从所给条件中获得,从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题.因此,在教学中要注意控制问题的难度,对于一般问题,可在下一章的学习中再加强训练. 本节课的教学目标是:

①了解两个条件可确定一次函数;能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定

系数法确定一次函数的表达式;并能利用所学知识解决简单的实际问题.

②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达

式,进一步发展数形结合的思想方法;

③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的

思维.

三、教学过程设计

第154页

本节课设计了六个教学环节:

本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习引入;第二环节:初步探究;第三环节:深入探究;第四环节:反馈练习与知识拓展;第五环节:课时小结;第六环节:作业布置. 第一环节 复习引入

内容:提问:(1)什么是一次函数?

(2)一次函数的图象是什么?

(3)一次函数具有什么性质?

目的:学生回顾一次函数相关知识,温故而知新.

第二环节 初步探究

内容1:

展示实际情境

提供两个问题情境,供老师选用.

实际情境一:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)

与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示.

(1)写出v与t之间的关系式;

(2)下滑3秒时物体的速度是多少?

分析:要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的解析式,再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可.

实际情境二:假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x

的关系如图所示.

(1)这是一次多少米的赛跑?

(2)甲、乙二人谁先到达终点?

第155页

(3)甲、乙二人的速度分别是多少?

(4)求甲、乙二人y与x的函数关系式.

目的:利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式,一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法,即待定系数法,另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件.情景一、二可根据学生情况进行选取,情景二几个问题有一定的梯度,学生可能更易写出函数关系式.

教学注意事项:学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式,如先求出速度,再写表达式,教师应给予肯定,但要注意比较两种方法异同,并突出待定系数法.

内容2:

想一想:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?

目的:在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量.由于一次函数有两个基本量k、b,所以需要两个条件来确定.

第三环节 深入探究

内容1:

例1 在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数,一根弹簧不挂物体时长14.5cm;当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式,并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.

解:设y?kx?b,根据题意,得

14.5=b, ①

16=3k+b,②

将b?14.5代入②,得k?0.5.

第156页

所以在弹性限度内,y?0.5x?14.5.

当x?4时,y?0.5?4?14.5?16.5(厘米).

即物体的质量为4千克时,弹簧长度为16.5厘米.

目的:

引例中设置的是利用函数图象求函数表达式,这个例子选取的是弹簧的一个物理现象,目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式,进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型.这道例题关键在于求一次函数表达式,在求出一般情况后,第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解.

教学注意事项:

学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外,还有学生是用推理的方式:挂3千克伸长了1.5厘米,则每千克伸长了0.5厘米,同样可以得到y与x间的关系式.对此,教师应给予肯定,并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同.

内容2:

想一想:大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结出求一次函数表达式的步骤.

求函数表达式的步骤有:1.设一次函数表达式.

2.根据已知条件列出有关方程.

3.解方程.

4.把求出的k,b值代回到表达式中即可.

第157页

目的:对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上,教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法.

第四环节 反馈练习

内容:

1.如图,直线l是一次函数y?kx?b的图象,求它的表达

式.

2.若一次函数y?2x?b的图象经过A(-1,1),则b?过点B(1, )和点C( ,0).

3.如图,直线l是一次函数y?kx?b的图象,填

空:

(1)b? ,k? ;

(2)当x?30时,y? ;

(3)当y?30时,x? .

4.已知直线l与直线y??2x平行,且与y轴交于点(0,2),求直线l的表达式. 答案:

1.y??3x 2.b?3,B(1,5),C(?3,0). 2

第158页

3.(1)b?2,k??2 ; 3

(2)?18;

(3)?42.

4.y??2x?2.

目的:

四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈,以便及时调整教学进程. 效果:

四个不同类型的问题由浅入深,学生能从不同角度掌握求一次函数的方法.对于问题4,教师可引导学生分析,并教学生要学会画图,利用图象分析问题,体会数形结合方法的重要性.学生若出现解题格式不规范的情况,教师应纠正并给予示范,训练学生规范答题的习惯.

第五环节 课时小结

内容:

总结本课知识与方法

1.本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式,在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法,即先设出解析式,再根据题目条件(根据图象、表格或具体问题)求出k,b的值,从而确定函数解析式。其步骤如下:(1)设函数表达式;(2)根据已知条件列出有关k,b的方程;(3)解方程,求k,b;4.把k,b代回表达式中,写出表达式.

2.本节课用到的主要的数学思想方法:数形结合、方程的思想.

第159页

目的:

引导学生小结本课的知识及数学方法,使知识系统化.

第六环节 作业布置

习题4.5:1,2,3,4

目的:进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减,但难度不应过大.

四、教学设计反思

1.设计理念

本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件,一次函数的确定需要两个条件,能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式,并能解决有关现实问题.本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养,为后继学习打下基础.

2.突出重点、突破难点策略

探究的过程由浅入深,并利用了丰富的实际情景,既增加了学生学习的兴趣,又让学生深切体会到一次函数就在我们身边,应用非常广泛.教学中注意到利用问题串的形式,层层递进,逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法.教学中还注意到尊重学生的个体差异,使每个学生都学有所获.

3.分层教学

根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择拓展资源中内容进行补充或拓展,也可留作课后作业.

第160页

第四章 一次函数

4. 一次函数的应用(第2课时)

一、学生起点分析

学生已学习了一次函数及其图象,认识了一次函数的性质.在现实生活中也见识过大量的函数图象,所以具备了从函数图象中获取信息,并借助这些信息分析问题、解决问题的基础.但由于初中学生的年龄特点,他们认识事物还不够全面、系统,所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力.

二、教学任务分析

本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第2课时,主要是利用一次函数图象解决有关现实问题,与原传统教材相比,新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息,从而回答和解决现实生活中的具体问题,也就是说,新教材注重在图象信息的识别与分析中,提高学生的识图能力,进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力,发展形象思维.

为此,本节课的教学目标是:

①能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题;

②在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识的联系; ③通过对函数图象的观察与分析,培养学生数形结合的意识,发展形象思维; ④通过具体问题的解决,培养学生的数学应用能力;

第161页

⑤引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,使学生初步形成多样的学习方式.

三、教学过程设计

本节课分为八个教学环节:

第一环节:复习引入;第二环节:初步探究;第三环节:反馈练习;第四环节:深入探究;第五环节:反馈练习;第六环节:探究升级;第七环节:课堂小结;第八环节:布置作业.

第一环节 复习引入

内容:在前几节课里,我们通过从生活中的实际问题情景出发,分别学习了一次函数,一次函数的图象,一次函数图象的性质,从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解.怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题,是我们这节课的主要内容.首先,想一想一次函数具有什么性质?

在一次函数y?kx?b中

当k?0时,y随x的增大而增大,

当b?0时,直线交y轴于正半轴,必过一、二、三象限;

当b?0时,直线交y轴于负半轴,必过一、三、四象限.

当k?0时,y随x的增大而减小,

当b?0时,直线交y轴于正半轴,必过一、二、四象限;

当b?0时,直线交y轴于负半轴,必过二、三、四象限.

目的:在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线,并且讨论了k、b的正负对图象的影响.通过对上节课学习内容的回顾,为进一步研究一次函数图象和性质的应 第162页

用做好铺垫.

效果:学生通过知识回顾,再次明确一次函数图象和性质,为学习本节课在知识上作好准备.

第二环节 初步探究

内容:由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万米3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示,回答下列问题:

(1)水库干旱前的蓄水量是多少?

(2)干旱持续10天后,蓄水量为多少?连续干旱23天后呢?

(3)蓄水量小于400万米3时,将发生严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报?

(4)按照这个规律,预计持续干旱多少天水

干涸?

(根据图象回答问题,有困难的可以互相交

答案:(1)当x?0,y?1200,水库干旱前的蓄水量是1200万米3. 流.) 库将

(2)求干旱持续10天时的蓄水量,也就是求t等于10时所对应的V的值.当t?10时,

33V约为1000万米.同理可知当t为23天时,V约为750万米.

(3)当蓄水量小于400万米3时,将发出严重干旱警报,也就是当V等于400万米3时,求所对应的t的值.当V等于400万米3时,所对应的t的值约为40天.

(4)水库干涸也就是V为0,所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当V为0时,所对应的t的值约为60天.

目的:通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用,目的是培养学生的识图能力.

第163页

效果:本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激,从而渗透环保教育.

第三环节 反馈练习:

内容:当得知周边地区的干旱情况后,育学校的小明意识到节约用水的重要性.当天在上倡议节约用水,得到全班同学乃至全校师生

积极响应.从宣传活动开始,假设每天参加该动的家庭数增加数量相同,最后全校师生都参了活动,并且参加该活动的家庭数S(户)与

传时间t(天)的函数关系如图所示.

根据图象回答下列问题:

(1)活动开始当天,全校有多少户家庭参加了该活动?

(2)全校师生共有多少户?该活动持续了几天?

(3)你知道平均每天增加了多少户?

(4)活动第几天时,参加该活动的家庭数达到800户?

(5)写出参加活动的家庭数S与活动时间t之间的函数关系式

答案:(1)200户;

(2)全校师生共有1000户,该活动持续了20天;

(3)平均每天增加了40户;

(4)第15天时,参加该活动的家庭数达到800户;

(5)S?40t?200 .

第164页

才班的活加宣

目的:通过创设情境,让学生进一步认识到一次函数图象的应用,倡导节约用水.同时,通过练习以检验学生对已学内容是否掌握.

效果:通过练习,学生会运用一次函数的图象去分析现实生活中的问题,同时渗透环保意识,珍惜水资源.

第四环节 深入探究

内容:1.看图填空

(1)当y?0时,x?______;

(2)直线对应的函数表达式是________________.

答案:(1)观察图象可知当y?0时,x??2;

(2)直线过(-2,0)和(0,1)

设表达式为y?kx?b,得

?2k?b?0

① ② b?1

把②代入①得 k?0.5

∴直线对应的函数表达式是y?0.5x?1

2.议一议

一元一次方程0.5x?1?0与一次函数y?0.5x?1有什么联系?(请大家根据刚做的练习来进行解答.)

第165页

答案: 一元一次方程0.5x?1?0的解为x??2,一次函数y?0.5x?1包括许多点.因此0.5x?1?0是y?0.5x?1的特殊情况.

当一次函数y?0.5x?1的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程0.5x?1?0的解. 函数y?0.5x?1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x?1?0的解.

目的:通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系,从“数”的角度看,当一次函数y?0.5x?1的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程0.5x?1?0的解;从“形”的角度看,函数y?0.5x?1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x?1?0的解.

效果:通过练习,学生明晰了函数与方程的关系,能用函数关系解决方程问题,同时也能用方程的观点来看待函数.

第五环节 反馈练习

内容:全国每年都有大量土地被沙漠吞没,

造沙漠,保护土地资源已经成为一项十分紧迫

任务,某地区现有土地面积100万千米2,沙漠

积200万千米2,土地沙漠化的变化情况如下图

示.

(1)如果不采取任何措施,那么到第5年底,该

区沙漠面积将增加多少万千米2?

(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大,那么从现在开始,第几年底后,该地区将丧失土地资源?

(3)如果从现在开始采取植树造林措施,每年改造4万千米2沙漠,那么到第几年底,该地区的沙漠面积能减少到176万千米2.

地改的面所

第166页

解:(1)如果不采取任何措施,那么到第5年底,该地区沙漠面积将新增加10万千米2.

(2)从图象可知,每年的土地面积减少2万千米2,现有土地面积100万千米2,100?2=50,故从现在开始,第50年底后,该地区将丧失土地资源.

(3)如果从现在开始采取植树造林等措施,每年改造4万千米2沙漠,每年沙化2万千米2,实际每年改造面积2万千米2,由于(200?176)?2?12,故到第12年底,该地区的沙漠面积能减少到176万千米2.

目的:通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力,让学生能从图象中获取信息,建立相关的代数式,从而求解较复杂的问题;同时,通过土地沙漠化的问题情景引导学生关注自己身边的生存环境.

效果:通过对较复杂的问题的探究,培养了学生分析问题和解决问题的能力,并渗透德育教育.

第六环节 探究升级

内容:(续前一问题)当得知周边地区的干

旱情况后,育才学校的小明意识到节约用水的

重要性,当天在班上倡议节约用水,得到全班

同学乃至全校师生的积极响应.从宣传活动开

始,假设每天参加该活动的家庭数增加数量相

同,最后都参加了活动,并且参加该活动的家庭数S(户)与宣传时间t(天)的函数关系如图所示.

根据图象回答下列问题:

(6)若每户每天节约用水0.1吨,那么活动第20天可节约多少吨水?

(7)写出活动开展的第t天节约的水量Y与天数t的函数关系.

第167页

答案:(6)第20天可节约100吨水;

(7)Y?4t?20.

目的:通过问题的层层深入,引导学生的思维向纵深发展,进一步巩固用函数的思想解决生活中的问题.

效果:学生通过合作交流,解决问题,在教师的引导下,逐步加深了对一次函数图象和性质的运用.

第七环节 课堂小结

内容:本节课主要应掌握以下内容:

1.能通过函数图象获取信息.

2.能利用函数图象解决简单的实际问题.

3.初步体会方程与函数的关系.

目的:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,使这节课知识系统化,感性认识上升为理性认识.

效果:学生畅所欲言,相互进行补充,从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用.

第八环节 布置作业

内容:

1. 课外探究

在生活中,你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题?选择你感兴趣的 第168页

问题,编制一道数学题与同学交流.

2.课外作业 习题4.6

四、教学设计反思

(1)设计理念

一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的模型,其应用比比皆是.在教学设计中,争取选用最具有现实生活背景,与学生生活密切相关的问题,一方面力求让学生体会数学的广泛运用,另一方面,在学科教育中渗透德育教育.

(2)评价方式

在教学活动中教师应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,关注学生对图象的识图能力和解决问题的过程,应关注学生对基本知识技能的掌握情况和对一次函数与方程之间的关系的理解.教学过程中可通过学生对“议一议”、“想一想”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况,对于学生的回答,只要学生的方法有道理,教师应给予鼓励和恰当的评价,帮助学生认识自我,建立自信,真正在教学的过程中发挥评价的教育功能.

第169页

第四章 一次函数

4. 一次函数的应用(第3课时)

一、学生起点分析

在前几节课,学生已经分别学习了一次函数,一次函数的图象,一次函数图象的特征,并且了解到一次函数的应用十分广泛.在此基础上,通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用.

二、教学任务分析

本节课是北师大版义务教育教科书八年级(上)第四章《一次函数》第四节的第3课时,主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题.和前一课时一样,教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题,关注数形结合思想的揭示,关注形象思维能力的发展,同时,这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础. 教学目标

1.进一步训练学生的识图能力,能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题;

2.在函数图象信息获取过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维;

3.在解决实际问题过程中,进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识.

4.在现实问题的解决中,使学生初步认识数学与人类生活的密切联系,从而培养学生学习数学的兴趣.

教学重点

一次函数图象的应用

教学难点

从函数图象中正确读取信息

三、教法学法

1.教学方法:“问题情境—建立模型—应用与拓展”

2.课前准备:

教具:教材,课件,电脑

学具:教材,练习本,铅笔,直尺

四、教学过程:

本节课设计了五个环节:第一环节:情境引入;第二环节:问题解决;第三环节:反馈练习;第四环节:课时小结;第五环节:作业布置.

第一环节:情境引入

第170页

内容:一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.

(1)农民自带的零钱是多少?

(2)试求降价前 y与 x之间的关系

(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多

(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时

中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?

活动目的:通过与上一课时相似的问题,回顾旧知,导入新知学习。

活动效果:由于问题与上一课时问题相近,学生很快明确并解决了问题。

少? 他手

第二环节:问题解决

内容1:例1

小聪和小慧去某风景区游览,约好在“飞瀑”见面,上午7:00小聪乘电动汽车从“古刹”出发,沿景区公路去“飞瀑”,车速为 36km/h,小慧也于上午7:00从“塔林”出发,骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”,车速为26km/h.

(1)当小聪追上小慧时,他们是否已经过了“草甸”?

(2)当小聪到达“飞瀑”时,小慧离“飞瀑”还有多少千米?

分析:

当小聪追上小慧时,说明他们两个人的什么量是相同的?是否已经过了“草甸”该用什么量来表示?你会选择用哪种方式来解决?图象法?还是解析法?

解:设经过t时,小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2,

由题意得:S1?36t,S2?26t?10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上,观察图象,得

⑴两条直线S1?36t ,S2?26t?10的交点坐标为(1,36)

这说明当小聪追上小慧时,S1?S2?36km,即离“古刹”36km,已超过35km,也就是说,他们已经过了“草甸”

⑵当小聪到达“飞瀑”时,即S1?45km,此时S2?42.5km .

所以小慧离“飞瀑”还有45-42.5=2.5(km)

思考:用解析法如何求得这两个问题的结果?小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么(小聪的解析式为S1?36t ,小慧的解析式为S2?26t?10)?

第171页

活动目的:培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力.

说明:在这个环节的学习过程中,如果学生入手感到困难,可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步?

⑵在两个人到达之前所用时间是否相同?所行驶的路程是否相同?出发地点是否相同?两个人的速度各是多少?⑶这个问题中的两个变量是什么?它们之间是什么函数关系?⑷如果用S表示路程,t表示时间,那么他们的函数解析式是一样?他们各自的解析式分别是什么?

内容2:深入探究

例2 我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A海 A

B 正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇 B追赶公 岸

(如图),下图中l1, l2分别表示两船相

岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之

系.

根据图象回答下列问题:

(1)哪条线表示B到海岸的距离与时间之间的

解:观察图象,得当t?0时,n mile,B距海岸0

S?0,故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之海 对于海间的关关系? 即间的关系;

(2)A,B哪个速度快?

解:从0增加到10时,l2的纵坐标增加了2,而l1的纵坐标增加了5,即10 min内,A行驶了2海里,B行驶了5 n mile,所以B的速度快.

(3)15 min内B能否追上A?

解:可以看出,当t?15时,l1上对应点在l2

上对应点的下方,

(4)如果一直追下去,那么B能否追上A?

解:如图l1 ,l2相交于点P.因此,如果一直追下去,那么B一定能追上A.

(5)当A逃到离海岸l2海里的公海时,B将无法

检查.照此速度,B能否在A逃到公海前将其拦

第172页 对其进行截?

解:从图中可以看出,l1与l2交点P的纵坐标小于l2,这说明在A逃入公海前,我边防快艇B能够追上A.

活动目的:培养学生良好的识图能力,进一步体会数与形的关系,建立良好的知识联系. 说明:学生在教师的引导下,逐步形成了良好的识图能力.

第三环节:反馈练习

内容:观察甲、乙两图,解答下列问题

1.填空:两图中的( )图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节.

3.根据1中所填答案的图象求:

(1)龟免赛跑过程中的函数关系式(要注明各函数的自变量的取值范围);

(2)乌龟经过多长时间追上了免子,追及地距起点有多远的路程?

4.请你根据另一幅图表,充分发挥你的想象,自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事,要求如下:

(1)用简洁明快的语言概括大意,不能超过200字;

(2)图表中能确定的数值,在故事叙述中不得少于3个,且要分别涉及时间、路和速度这三个量.

意图:旨在检测学生的识图能力,可根据学生情况和上课情况适当调整。

说明:练习注意了问题的梯度,由浅入深,一步步引导学生从不同的图象中获取信息,对同学的回答,教师给予点评,对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心。

5. 如图,lA与 lB分别表示A步行与B骑车同一路上行驶的路程S与时间t的关系.

(1)B出发时与A相距多少千米?

(2)走了一段路后,自行车发生故障,进行修理,所用的时间是多少小时?

(3)B出发后经过多少小时与A相遇? (4)若B的自行车不发生故障,保持出发时的速度前进, 那么经过多少时间与A相遇?相遇点离B的出发点多远?

第173页

你能用哪些方法解决这个问题?在图中表示出这个相遇点C.

6.甲.乙两班参加植树活动.乙班先植树30棵,然后甲班才开始与乙班一起植树.设甲班植树的总量为y甲(棵),乙班植树的总量为

y甲

y甲y乙(棵),两班一起植树所用的时间(从甲班开始植树时计时)为x(时),(1)当0≤x≤6时,分别求..y乙y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示. 与x之间的函数关系式.

(2)如果甲.乙两班均保持前6 h的工作效率,通过计算说明,当x?8时,甲.乙两班植树的总量之和能否超过260棵.

(3)如果6 h后,甲班保持前6 h的工作效率,乙班通过增加人数,提高了工作效率,这样继续植树2小时,活动结束.当x?8时,两班之

的总量相差20棵,求乙班增加人数后平均每小时

少棵.

y间植树植树多

) 第四环节:课时小结

内容:本节课我们学习了一次函数图象的应用,在运用一次函数解决实际问题时,可以直接从函数图象上获取信息解决问题,当然也可以设法得出各自对应的函数关系式,然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时,一般首先判断关系式的特征,如两个变量之间是不是一次函数关系?当确定是一次函数关系时,可求出函数解析式,并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果.

意图:引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。

说明:让学生畅所欲言,相互进行补充,尽量用自己的语言进行归纳总结。

第五环节:作业布置

作业:习题6.7

六、教学设计反思

(1)设计理念

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,是初中阶段数学学习的一个重要内容.在本节教学设计中,进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用与拓展”的模式.让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质,进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题.

第174页

(2)突出重点、突破难点的策略

本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上,对有关知识进行应用和拓展.在教学过程中,教师应通过问题情境的创设,激发学生的学习兴趣,并注意通过有层次的问题串的精心设计,引导学生进行探究活动.在师生互动、生生互动的探究活动中,提高学生解决实际问题的能力.

附:板书设计

第175页

第四章 一次函数

回顾与思考

一、学生起点分析

学生在七年级下册已经学过了第四章《变量之间的关系》,对用表格、关系式及图象表示变量间关系有所了解并初步掌握。通过本章的学习,学生已经经历了从生活中去抽象出函数、一次函数、正比例函数等概念,从数与形两个角度去认识一次函数的三种表示方式及图像的性质.感受到了表格—关系式—图象的转化过程并掌握了确定一次函数表达式的方法,能灵活运用一次函数及其图象解决实际问题.

二、教学任务分析

教科书上通过六个问题的形式要求教师引导学生回顾本章内容,梳理知识结构。本节课的教学重点一次函数图象的特征及一次函数图象的应用,教学中,教师应通过学生举例建立函数模型,关注学生对一次函数的性质与图像的理解水平与应用一次函数解决实际问题的主动意识和能力.

为此,本节课的教学目标是:

1.熟练掌握本章的知识网络结构

第176页

2.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展学生的抽象思维能力.

3.经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程,在合作与交流中发展学生的合作意识和能力.

4.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力,经历函数图象信息的识别与应用过程,发展学生的形象思维能力.

5、能根据所给信息确定一次函数表达式,会作一次函数的图象,并利用它们解决简单的实际问题.

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节:

第一环节:课前准备——本章重点内容的归纳与知识结构图的建立

第二环节:合作交流

第三环节:典型例题讲解

第四环节:练习巩固

第五环节:课堂小结

第六环节:布置作业

第一环节 课前准备

活动内容:本章重点内容的归纳与知识结构图的建立(提前一天布置)

以6人合作小组为单位,开展自我归纳与总结活动:

(1)各尽所能从课本、笔记本、教辅资料进行本章重点内容的归纳与知识结构图的建立;

(2)根据课本97页回顾与思考提出的五个问题,每一小组准备一个同学就一个问题进行成果汇报.(在必要的情况下,教师可以对学生选择的问题方面给予一定的规定与指导,使合作交流更有实效性).

活动目的:通过第1个活动,希望学生能自主复习,学会归纳重点内容,通过知识结构图的建立理清本章内容的逻辑关系。培养学生善于总结、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识;而在第2个活动中,学生通过对他们感兴趣的问题展开深入研究, 第177页

并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神.在课堂中用源于学生真实总结归纳展开教学,必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性.

活动实际效果:学生通过小组合作方法建立了初步的知识结构图,通过对他们感兴趣的问题展开深入研究,进一步感悟了函数模型.这些都充分展现了学生走进生活感受数学的高涨热情和小组团结合作的精神.

第二环节 合作交流

内容:各小组派代表展示自己课前所归纳的本章重点内容与建立的知识结构图。并针对课本97页回顾与思考提出的五个问题中的一个问题进行成果汇报.(教师选1—3个小组进行点评并形成完整的知识要点知识与结构图)

目的:经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程,在合作与交流中发展学生的合作意识和能力.

效果:学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自所归纳的本章重点内容与建立的知识结构图。并针对课本97页回顾与思考提出的问题进行深入研究成果,感受到自己的劳动成果被认可的喜悦。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使知识获取更加全面.

第三环节 典型例题讲解

内容:例1.已知y是x的一次函数

(1)根据下表写出函数表达式;

(2)补全下表

(3)作出函数的图象,并回答下列问题.

①随着x值的增加,y值的变化情况是________;

②图象与图象与y的交点坐标有_______,与x轴的交点坐标是__________;

③当x__________时,y≥0.

例2: 甲、乙两人同时从相距90 km的A地前往B地,甲乘汽车,乙骑摩托车,甲到达B地停留半个小时后返回A地,如图是他们离A地的距离y(km)与x(h)之间的函数关系图像.

第178页

(1)求甲从B地返回A地的过程中,y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(2)若乙出发后2 h和甲相遇,求乙从A地到B地用了多长时间?

解析:(1)由图象可知y与x之间是一次函数关系式,选择图象上两点代入y?kx?b即可;

(2)将x=2代人到甲返回时距离和时间的关系中求出离开A地的距离,计算出乙的速度,从而算出时间.

?3k?b?0解(1)设y?kx?b,根据题意得?,

?1.5k?b?90

?k??60 解得? b?180?

60x?180(1.?5x? y??

(2)当x?2时,y??60?2?180?60

∴骑摩托车的速度为60?2?30(km/h)

∴乙从A地到B地用时为90?30?3(h)

目的:能根据所给信息确定一次函数表达式,会作一次函数的图象,并利用它们解决简单的实际问题。

效果:学生理会三种表示方法的内在联系较好

第四环节 练习巩固

1.直线y?x?1的图象经过的象限是( )

A、第一、二、三象限 C、第二、三、四象限 B、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限

2.时钟在正常运行时,分针每分钟转动6°,时针每分钟转动0.5°.在运行过程中,时针与分针的夹角会随时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为y(度),运行时间为t(分), 第179页

当时间从12:00开始到12:30止,y与t之间的函数图象是 ( )

y(度度度度A.

) B.

) C.

)

D. )

【答案】A.

3.如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则下列说法: ①y随x的增大而减小;

②b>0;

③关于x的方程kx+b=0的解为x=2.

其中说法正确的有 (把你认为说法正确的序

填上)

4.如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,﹣2),求k与b的值.

号都

第五环节 课堂小结

(1)函数的概念.

(2)一次函数的概念

一次函数与正比例函数的关系.

(3)一次函数的不同表示方式.

(4)一次函数,正比例函数的图象各有什么特征.

第180页

①一次函数y?kx?b的图象是一条直线,经过点(0,b)和(?

的图象是经过原点的一条直线.

②在一次函数y?kx?b中,

当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;

当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.

③.直线y?kx?b的位置与k、b的关系:

当k>0时经过一、三象限,当k<0时,经过二、四象限

当b>0时经过一、二象限,当b<0时,经过三、四象限

(5)确定一次函数表达式.

(6)一次函数图象的应用.

(7)两直线平行则K相等;两直线垂直则K互为负倒数; b,0), 正比例函数y?kxk

第六环节 布置作业

课本99页6、7、8、9、14

四、教学设计反思

1.把教材留给教师的空间也留给学生

教材只是为教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.教材只给出五个问题引导学生我总结与归纳,教师应给学生充分的时间去收集与探究.

2.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

通过课前小组合作归纳总结、课堂展示讲解的过程,为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学。

3.注意改进的方面

在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.

第181页

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