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算术平均数教案

发布时间:2013-12-01 13:29:41  

6. 2 算术平均数与几何平均数

一、教学目标

(一)知识目标:

(1)学会推导并掌握两个正数算术平均数不小于几何平均数这一定理;

(2)理解定理的几何意义;

(3)能够应用定理证明不等式;

(二)情感态度目标:提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神,进一步加强学生的实践能力。

二、教学重、难点

(1)教学重点:均值不等式证明及利用均值定理解决最值问题。

(2)教学难点:等号成立的条件。

三、教具准备

黑板、粉笔

四、教学过程

(一)复习引入

上一节,我们完成了对不等式性质的学习,首先我们来作一下回顾. 定理1:如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.(对称性) 即:a>b?b<a;b<a?a>b

定理2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性)

即a>b,b>c?a>c

定理3:如果a>b,那么a+c>b+c.

即a>b?a+c>b+c

推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相加法则)

即a>b, c>d ?a+c>b+d.

定理4:如果a>b,且c>0,那么ac>bc;

如果a>b,且c<0,那么ac<bc.

推论1 如果a>b >0,且c>d>0,那么ac>bd.(相乘法则)

推论2 若a?b?0,则a?b(n?N且n?1)

定理5

若a?b?0,?n?N且n?1)

由上述性质,我们可以推导出下列重要的不等式 nn

(二)讲授新课

1.重要不等式:如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(当且仅当a?b时取"?"号) 证明:a?b?2ab?(a?b) 222

当a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,

所以,(a?b)2?0,即(a2?b2)?2ab.

由上面的结论,我们又可得到

a?b?ab(当且仅当a?b时取"?"号). 2.定理:如果a,b是正数,那么2

证明:∵(a)2?()2?2

ab,

?a?b?a?b?ab?2

a?b?ab?显然,当且仅当a?b时,2

说明:?

ⅰ)我们称a?b为a,b的算术平均数,称ab为a,b的几何平均数,因而,此定理又可叙2

述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。这里我们把算术平均数与几何平均数之间的不等关系式称为均值不等式(亦称重要不等式或基本不等式),把这个定理叫做均值定理 ⅱ)a2?b2?2ab和a?b

2?ab成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而

后者要求a,bⅲ)3以长为a+b的线段为直径作圆,在直径AB上取点C,使C作垂直于直径AB的弦DD′,那么CD?CA?CB,即CD?

这个圆的半径为2ab a?ba?b?ab,其中当且仅当点C与圆心,显然,它不小于CD,即22

重合;即a=b时,等号成立

所以,均值不等式的意义是:半径不小于半弦

(三).例题讲解

例1 已知x,y都是正数,求证:

(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P;

(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值

证明:因为x,y都是正数,所以 12S. 4x?y?xy 2

x?y?P ?

x?y?2P (1)积xy为定值P时,有2

上式当x?y时,取“=”号,因此,当x?y时,和x?y有最小值

(2)和x+y为定值S

S12, ?xy?S 24

1S4上式当x=y时取“=”号,因此,当x=y时,积xy有最大值说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:

ⅰ)函数式中各项必须都是正数;

ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;

归纳:用均值不等式求最值必需满足一正二定三相等。

例2、 已知:(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证:x?ya?b??2 a?bx?y

分析:本题结论中,注意x?ya?b与互为倒数,它们的积为1,可利用公式a+ba?bx?y

≥2ab,但要注意条件a、bx?ya?b与a?bx?y

证明:∵(a+b)(x+y)>2(ay+bx)

∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx

∴ax-ay+by-bx>0

∴(ax-bx)-(ay-by)>0

∴(a-b)(x-y)>0,即a-b与x-y同号

∴x?ya?b与均为正数 a?bx?y

∴x?ya?bx?ya?b=2 ??2?a?bx?ya?bx?y

x?ya?b?时取“=”号) a?bx?y(当且仅当

∴x?ya?b?≥a?bx?y

(四)课堂练习:

1、求证:lgx?logx10?2(x?1)

2、比较大小lgx?logx10??2(0?x?1)?

3、若x>-1,则x为何值时,x?1有最小值,最小值为几? x?1

4、已知x、y都是正数,求证: (1)yx223333(x+y)(x+y)≥8xy?≥2;(2)(x+y)xy

(五)课堂小结

本节课,我们学习了重要不等式a+b≥2ab;两正数a、b的算术平均数(平均数()及它们的关系(

时,应注意定理的适用条件。 22a?b),几何2a?b≥ab2

(六)布置作业

习题6.2 1,2,3,4

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