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小学生(四五年级)必做思维训练

发布时间:2013-09-21 10:45:07  

第1讲 应用题(一)

一、知识要点

解答应用题时,必须认真审题,理解题意,深入细致地分析题目中数量间的关系,通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段,找到解题的突破口,从而使问题得以顺利解决。

二、精讲精练

【例题1】 某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里,1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具?

先自己试着计算一下。

【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里,那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多,所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样,5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此,可求出一个塑料箱装多少件。

练习1:(1)百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多,每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?

(2)新华小学买了两张桌子和5把椅子,共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍,每张桌子多少元?

(3)王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆,共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元?

【例题2】一桶油,连桶重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克。问:油和桶各重多少千克?

【思路导航】原来油和桶共重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克,说明用去的一半油的重是180-100=80(千克),一桶油的重量就是80×2=160(千克),油桶的重量就是180-160=20(千克)。

练习2:(1)一筐梨,连筐重38千克,吃去一半后,连筐还有20千克。问:梨和筐各重多少千克?

(2)一筐苹果,连筐共重35千克,先拿一半送给幼儿园小朋友,再拿剩下的一半送给一年级小朋友,余下的苹果连筐重11千克。这筐苹果重多少千克?

- 1 -

(3)一只油桶里有一些油,如果把油加到原来的2倍,油桶连油重38千克;如果把油加到原来的4倍,这里油和桶共重46千克。原来油桶里有油多少千克?

【例题3】有5盒茶叶,如果从每盒中取出200克,那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克?

【思路导航】由条件“每盒取出200克,5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出,拿出的200×5=1000(克)茶叶正好等于原来的5-4=1(盒)茶叶的重量。

练习3:(1)有6筐梨子,每筐梨子个数相等,如果从每筐中拿出40个,6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。原来每筐有多少个?

(2)在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出60个橘子,那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原来每个木箱中有多少个橘子?

(3)某食品店有5箱饼干,如果从每个箱子里取出20千克,那么5个箱子里剩下的饼干正好等于原来3箱饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干?

【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张,实际每天比原计划多生产4张,结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌?

【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任务,这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做,正好分完。实际比原计划每天多生产4张,所以实际生产的天数是60÷4=15天,原计划生产的天数是15+1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。

练习4:(1)电视机厂接到一批生产任务,计划每天生产90台,可以按期完成。实际每天多生产5台,结果提前1天完成任务。这批电视机共有多少台?

(2)小明看一本故事书,计划每天看12页,实际每天多看8页,结果提前2天看完。这本故事书有多少页?

(3)修一条公路,计划每天修60米,实际每天比计划多修15米,结果提前4天修完。一共修了多少米?

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【例题5】有两盒图钉,甲盒有72只,乙盒有48只,从甲盒拿出多少只放入乙盒,才能使两盒中的图钉相等?

【思路导航】由条件可知,甲盒比乙盒多72-48=24只。要盒两盒中的图钉相等,只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份,取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只。

练习5:(1)有两袋面粉,第一袋面粉有24千克,第二袋面粉有18千克。从第一袋中取出几千克放入第二袋,才能使两袋中的面粉重量相等?

(2)有两盒图钉,甲盒有72只,乙盒有48只。每次从甲盒中拿4只放到乙盒,拿几次才能使两盒相等?

(3)有两袋糖,一袋是68粒,另一袋是20粒。每次从多的一袋中拿出6

粒放到少的一袋里,拿几次才能使两袋糖同样多?

第2讲 应用题(二)

解答复合应用题时一般有如下四个步骤:

1、弄清题意,找出已知条件和所求问题。

2、分析已知条件和所求问题之间的关系,找出解题的途径。

3、拟定解答计划,列出算式,算出得数。 4、检验解答方法是否合理,结果是否合理,最后写答案。

【例1】有18个香蕉,小猴前4天每天吃了3个,剩下的每天吃2个,还可以吃几天?

练习:1、某人有事从东村到西村去,要走26千米,前2个小时每小时走6千

米,后来为了抓紧时间,每小时走7千米,还要走几小时?

2、把120千克糖放入大、小两种纸箱里,大纸箱有3个,每个可以放25千克,小纸箱每个可以放15千克,还需要几个小纸箱?

【例2】某玩具厂计划每天生产大型玩具9个,15天完成任务。现在要提前6

天完成任务,那么每天要生产多少个玩具?

练习:1、小华写大字,计划每分钟写12个,5分钟可以完成作业。实际每分钟比计划多写3个,小华几分钟可以完成作业?

2、某工厂要生产一批课桌。原计划每天生产45张,12天可以完工,实际每天 - 3 -

多生产9张,多少天可以完成?

【例3】某发电厂有10200吨煤,前十天每天烧煤300吨,后来改进炉灶,每天

烧煤240吨,这堆煤还能烧多少天?

练习:1、某电冰箱厂要生产1560台冰箱,已经生产了8天,每天生产120台,

剩下的每天生产150台,还要多少天才能完成任务?

2、某工厂计划生产36500套轴承,前5天平均每天生产2100套,后来改进操作方法,平均每天可以生产2600套。这样完成这批轴承共需多少天?

【例4】师傅和徒弟同时开始加工200个零件,师傅每小时加工25个,完成任务时,徒弟还要做2小时才能完成任务。徒弟每小时加工多少个?

练习:1、张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具,张师傅每天做10个,完成

任务时,李师傅还要做1天才能完成任务。李师傅每天要做多少个?

2、小华和小明同时开始写192个大字,小华每天写24个,完成任务时,小明还要写4天才能完成,小明每天写多少个字?

【例5】甲、乙两地相距200千米,汽车行完全程要5小时,步行要40小时,张强从甲地出发,先步行8小时后改乘汽车,还需要几小时到达乙地?

练习:1、玩具厂一车间生产900个玩具,如果用手工做要20小时才能完成,

用机器只需要4小时,一车间工人先用手工做了5小时,后来改用机器生产,还需要几小时才能完成任务?

2、甲、乙两地相距200千米,汽车行完全程要5小时,步行要40小时,张强从甲地出发,先乘汽车4小时,后改步行,他从甲地到乙地共用了多少小时?

【※例6】某筑路队修一条长4200米的公路,原计划每人每天修4米,派21人完成,实际修筑时增加了4人,可以提前几天完成任务?

练习:1、羊毛衫厂要生产378件羊毛衫。原计划每人每天生产3件,派18人

来完成。实际增加了3人,可以提前几天完成任务?

- 4 -

2、某筑路队修一条长8400米的公路,原计划每人每天修4米,派42人来完成。如果每人的工作效率不变,要提前8天完成任务,实际需要多少人参加?

【※例7】自行车厂计划每天生产自行车100辆,可按期完成任务,实际每天生

产120辆,结果提前8天完成任务,这批自行车有多少辆?

练习:1、农机厂生产柴油机,原计划每天生产40台,可以在预定的时间内完

成任务。实际每天生产50台,结果提前6天完成,这批柴油机有多少台?

2、一辆汽车运一堆黄沙,计划每天运15吨,可以在预定时间内完成任务。实

际每天运20吨,结果提前3天运完。这批黄沙有多少吨?

练习:

1、小亮买了65元钱的水果,西瓜每千克3元钱,买了15千克,还买了每千克10元的桂圆,问小亮买了几千克的桂圆?

2、修一条公路,计划每天修60米,实际每天比计划多修15米,8天可以修完,比计划提前了多少天?

3、某机床厂计划每天生产机床40台,30天完成任务。现在要提前10天完成任务,每天要生产多少台?

4、丰华农具厂计划20天制造农具2400件,实际每天多制造30件,这样可提前几天完成任务?

5、A、B两城相距300千米,摩托车行完全程要5小时,自行车要25小时,王亮从A城出发,先骑自行车5小时,后改骑摩托车。他从A城到B城共用了多少小时?

※6、友谊服装厂要加工192套服装,原计划每人每天加工两套,8人可以按时完成,如果每人工作效率不变,要提前4天完成任务,需要增加多少人加工? ※7、新兴机械厂原计划30天生产一批机器,实际每天比原计划多生产80台,结果25天就完成了任务,这批机器有多少台?

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第3讲 和倍问题

一、知识要点

已知两个数的和与它们之间的倍数关系,求这两个数是多少的应用题,叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是:

和÷(倍数+1)=小数

小数×倍数=大数

(和-小数=大数)

二、精讲精练

【例题1】 学校有科技书和故事书共480本,科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本?

【思路导航】为了便于理解题意,我们画图来分析:

由图可知,如果把故事书的本数看作一份,那么科

技书的本数就是这样的3份,两种书的总本数就是这样

的1+3=4份。把480本书平均分成4份,1份是故事书的本数,3份是科技书的本数。

480÷(1+3)=120(本) 120×3=360(本).

1.用锡和铝制成的合金是720千克,其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千克?

2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6,甲、乙两数各是多少?

3.一块长方形黑板的周长是96分米,长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米?

【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵,其中梨树的棵数是苹果树的3倍,桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵?

【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份,三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以,苹果树有1200÷8=150(棵),梨树有150×3=450(棵),桃树有150×4=600(棵).

1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只,养鸡的只数是鹅的3倍,养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只?

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2.甲、乙、丙三数之和是360,已知甲是乙的3倍,丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。

3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支,圆珠笔的支数是钢笔的3倍,铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支?

【例题3】有三个书橱共放了330本书,第二个书橱里的书是第一个的2倍,第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书?

【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份,那么第二个书橱里的本数是这样的2份,第三个就是这样的2×4=8份,三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以,第一个书橱里放了

330÷11=30(本),第二个书橱里放了30×2=60(本),第三个书橱里放了60×4=240(本)。

练习3:

1.甲、乙、丙三个数之和是400,已知甲是乙的3倍,丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。

2.三块钢板共重621千克,第一块的重量是第二块的3倍,第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各重多少千克?

3.甲、乙、丙三个修路队共修路1200米,甲队修的米数是乙队的2倍,乙队修的数数是丙队的3倍。三个队各修了多少米?

【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵,杨树的棵数比柳树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵?

【思路导航】如果杨树少种20棵,那么柳树和杨树的总棵数是216-20=196(棵),这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以,柳树的棵数是196÷(1+3)=49(棵),杨树的棵数是216-49=167(棵)。

练习4:1.粮站有大米和面粉共6300千克,大米的重量比面粉的4倍还多300千克,大米和面粉各有多少千克?

2.小华和小明两人参加数学竞赛,两人共得168分,小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分?

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3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级,高年级分得的比低年级的3倍多8本,中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本?

【例题5】三个筑路队共筑路1360米,甲队筑的米数是乙队的2倍,乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米?

【思路导航】把乙队的米数看作1份,甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米,那么三个队共筑了1360+240=1600米,正好是乙队的2+1+1=4倍。所以,乙队筑了1600÷4=400米,甲队筑了400×2=800米,丙队筑了400-240=160米。

练习5:1.三个植树队共植树1900棵,甲队植树的棵数是乙队的2倍,乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵?

2.三个数的和是1540,甲数是丙数的7倍,乙数比甲数多40。三个数各是多少?

3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个,其中足球比排球少5个,排球的个数是篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个?

第4讲 植树问题

一、知识要点

1.线段上的植树问题可以分为以下三种情形:

(1)如果植树线路的两端都要植树,那么植树的棵数应比要分的段数多1.即:

棵数=段数+1;

(2)如果一端植树,另一端不植树,那么棵数与段数相等,即:棵数=段数;

(3)如果两端都不植树,那么棵数应比段数少1.即:

棵数=段数-1。

2.在封闭的路线上植数,棵数与段数相等,即:

棵数=段数。

二、精讲精练

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【例题1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵,每隔6米栽一棵。这条路长多少米?

【思路导航】题中已知栽树28棵,28棵树之间有28-1=27段,每隔6米为一段,所以这条大路长6×27=162米。

练习1:

1.在一条马路一边从头至尾植树36棵,每相邻两棵树之间隔8米,这长马路有多长?

2.同学们做早操,21个同学排成一排,每相邻两个同学之间的距离相等,第一个人到最后一个人的距离是40米,相邻两个人隔多少米?

3.一条路长200米,在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树,一共要植多少棵?

【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树,每隔5米栽一棵,一共要栽多少棵树?

【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题,植树的棵数和段数相等。240÷5=48(棵)

练习2:

1.一个鱼塘的周长是1500米,沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树,需要种多少棵杨树?

2.在圆形的水池边,每隔3米种一棵树,共种树60棵,这个水池的周长是多少米?

3.在一块长80米,宽60米的长方形地的周围种树,每隔4米种一棵,一共要种多少棵?

【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯,起点和终点都挂,一共挂了202盏,相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。

【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯,每边各挂202÷2=101盏,101盏彩灯把800米长的大桥分成101-1=100段,所以,相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。

练习3:

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1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树,起点和终点都栽,一共栽52棵,相邻的两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。

2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯,每两个相隔4米,从桥头到桥尾一共装了多少盏灯?

3.六年级学生参加广播操比赛,排了5路纵队,队伍长20米,前后两排相距1米。六年级有学生多少人?

【例题4】一个木工锯一根19米的木料,他先把一头损坏部分锯下来1米,然后锯了5次,锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米?

【思路导航】根据题意,把长19-1=18米的木条锯了5次,可以锯成5+1=6段,所以每根短木条长18÷6=3米。

练习4:

1.一个木工锯一根长17米的木料,他先把一头损坏的部分锯下来2米,然后锯了4次,锯成同样长的短木条,每根短木条长几米?

2.有一根圆钢长22米,先锯下2米,剩下的锯成每根都是4米的小段,又锯了几次?

3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段,锯断一次要5分钟。共需要多少分钟?

【例题5】有一幢10层的大楼,由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒,照这样计算,他从3层走到10需要多少秒?

【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔,1层至3层有两个时间间隔,所以每个间隔用去的时间是30÷(3-1)=15秒,3层到10层经过了10-3=7个时间间隔,所以,他从3层到10层需要15×7=105秒。

练习5:

1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟,照这样计算,如果锯成6段,需要多少分钟?

2.时钟4点敲4下,6秒钟敲完。那么12点钟敲12下,多少秒钟敲完?

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3.一游人以等速在一条小路上散步,路边相邻两棵树的距离都相等,他从第一棵树走到第10棵树用了11分钟,如果这个游人走22分钟,应走到第几棵树?

第5讲 巧妙求和

一、知识要点

某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。

二、精讲精练

【例题1】 刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。这本书共有多少页?

【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11.因此可以很快得解:

(30+60)×11÷2=495(页)

想一想:如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答?

练习1:

1.刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。这批零件共有多少个?

2.胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页?

3.丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?

【例题2】30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次?

【思路导航】开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次;同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后 - 11 -

一把不用试,一定能打开。所以,至多需试29+28+27+…+2+1=(29+1)×29÷2=435(次)。

练习2:

1.有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?

2.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了?

3.有10只盒子,44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?

【例题3】某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手?

【思路导航】假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次。依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为:

50+49+48+…+2+1=(50+1)×50÷2=1275(次).

练习3:

1.学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛?

2.在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手?

3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?

第6讲 数数图形(1)

一、知识要点

我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:

- 12 -

1.弄清被数图形的特征和变化规律。

2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。

二、精讲精练

【例题1】 数出下面图中有多少条线段。

【思路导航】要正确解答这类问题,需要我们按照一定的顺序来数,做到不重复,不遗漏。

从图中可以看出,从A点出发的不同线段有3条:AB、AC、AD;从B点出发的不同线段有2条:BC、BD;从C点出发的不同线段有1条:CD。因此,图中共有3+2+1=6条线段。

练习1::数出下列图中有多少条线段。

(2)

(3)

【例题2】数一数下图中有多少个锐角。

【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似,图中的五条射线相当于线段上的五个点,因此,要求图中有多少个锐角,可根据公式1+2+3……(总射线数-1)求得:1+2+3+4=10(个).

练习2::下列各图中各有多少个锐角?

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【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。

【思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形,也就是说,AD边上有几条线段,就构成了几个三角形,因为AD上有4个点,共有1+2+3=6条线段,所以图中有6个三角形。

练习3::数一数下面图中各有多少个三角形。

【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。

【思路导航】与前一个例子相比,图中多了一条线段EF,因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然,以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个,所以图中共有6×2=12个三角形。

练习4::数一数下面各图中各有多少个三角形。

【例题5】数一数下图中有多少个长方形。

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【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考,图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段,AB边上的线段条数是1+2+3=6条,所以图中有6个长方形。

练习5::数一数下面各图中分别有多少个长方形。

第7讲 数数图形(2)

一、知识要点

在解决数图形问题时,首先要认真分析图形的组成规律,根据图形特点选择适当的方法,既可以逐个计数,也可以把图形分成若干个部分,先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数,再把他们的个数合起来。

二、精讲精练

【例题1】 数一数下图中有多少个长方形?

【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条,把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以,图中共有6×3=18个长方形。

数长方形可以用下面的公式:

长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数

练习1:数一数,下面各图中分别有几个长方形?

【例题2】数一数,下图中有多少个正方形?(每个小方格是边长为1的正方形)

- 15 -

【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个,边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为:1+4+9=14个。

经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为:1×1+2×2+…+n×n。

:数一数下列各图中分别有多少个正方形?(每个小方格为边长是1的小正方形)

【例题3】数一数下图中有多少个正方形?(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)

【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个,边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。所以,图中正方形的总数为:6+2=8个。

经进一步分析可以发现,一般情况下,如果一个长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份(长和宽的每一份都是相等的)那么正方形的总数为:mn+(m-

1)(n-1)+(m-2)(n-2)+…+(m-n+1)n.

1.数一数下列各图中分别有多少个正方形。

2.下图中有多少个长方形,其中有多少个是正方形?

【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站,铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票?这些车票中有多少种不同的票价?

【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用,连同广州、北京在内,这条铁路上共有10个站,共有1+2+3+…+9=45条线段,因此要准备

45 - 16 -

种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等,因此,有多少种不同的车票,就有多少种不同的票价,所以共有45种不同的票价。

1.从上海到武汉的航运线上,有9个停靠码头,航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票?

2.从上海至青岛的某次直快列车,中途要停靠6个大站,这次列车有几种不同票价?

3.从成都到南京的快车,中途要停靠9个站,有几种不同的票价?

第8讲 第一讲 速算与巧算(一)

【专题导引】

速算与巧算是计算中的一个重要组成部分,掌握一些速算与巧算的方法,有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法,这些方法主要根据加法、减法的运算定律和运算性质,通过对算式适当变形从而使计算简便。

在巧算方法里,蕴含着一种重要的解决问题的策略:转化问题法。即把所给的算式,根据运算定律和运算性质,或改变它的运算顺序,或凑整从而变成一个易于算出结果的算式。

【典型例题】

【例1】计算:9+99+999

【试一试】计算:

1、99+99+99 2、98+98+98

【例2】计算:49+18+39+78

计算:

1、 57+97+48 2、96+97+98

【例3】计算:9+99+999+9999

- 17 -

计算:

1、(1)99999+9999+999+99+9 (2)9+98+996+9997

2、(1)19999+2998+396+497 (2)198+297+396+495

【例4】计算:489+487+483+485+484+486+488

【试一试】

(1)50+52+53+54+51 (2)262+266+270+268+264

(3)89+94+92+95+93+94+88+96+87 (4)381+378+382+383+379

【例5】计算下面各题。

(1)632-136-232 (2)128+186+72-86

【试一试】

(1)1208-569-208 (2)283+69-183

计算下面各题。

(1)248 +(152-127) (2)324-(124-97)

(3)283 +(358-183)

【试一试】计算下面各题。

(1)348+(252-166) (2)629+(320-129)

(3)462-(262-129) (4)662-(315-238)

计算下面各题。

(1)286+879-679 (2)812-593+193

(1)368+1859-859 (2)582+393-293

(3)632-385+285 (4)2756-2478+1478+244

- 18 -

计算下面各题。

(1)1998+2997+4995+5994 (2)19998+39996+49995+69996

(3)1032+1028+1033+1029+1031+1030 (4)2451+2452+2446+2453

(5)132-85+68 (6)2318+625-1318+375

(7)5623-(623-289)+ 452-(352-211)

※(8)736+678+2386-(336+278)-186

※(9)612-375+275+(388+286)

※ (10)756+1478+346-(256+278)-246

第9讲 速算与巧算(二)

【专题导引】

乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律,通过对算式适当变形,将其中的数转化成整十、整百、整千??的数,或者使这道题计算中的一些数变得易于口算,从而使计算简单。

【典型例题】

【例1】计算:4×9×250

计算下面各题。

(1)7×125×8 (2)48×125

【例2】计算:135÷15

(1)450÷15 (2)240÷15

【例3】计算:325÷25

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计算下面各题。

(1)450÷25 (2)525÷25

(3)3500÷125 (4)10000÷625

【例4】计算:25×125×4×8

(1)125×15×8×4 (2)25×24

(3)125×16 (4)75×16

【例5】计算。

(1)(360+108)÷36 (2)1÷2+3÷2+5÷2+7÷2

(1)(720+96)÷24 (2)(4500-90)÷45

(3)6342÷21 (4)8811÷89

计算:158×61÷79×3

(1)238×36÷119×5 (2)138×27÷69×50

计算下列各题。

(1)103×96÷16 (2)200÷(25÷4)

计算下面各题。

(1)612×366÷183 (2)1000÷(125÷4)

计算下面各题。

(1)4950÷90 (2)900÷25 - 20 -

(3)49500÷900 (4)9000÷225

(5)125×25×32 (6)25×5×64×125

(7)73÷36+105÷36+146÷36 (8)(10000-1000-100-10)÷10

※(9)624×48÷312÷8 ※(10)406×312÷104÷203

第10讲 容斥问题

【专题导引】

容斥问题涉及到一个重要原理—包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复的计数,应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理:对n个事物,如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。

Na Nab Nb 【典型例题】

【例124人,会俄语的有18人,两种都会的有4人,旅行社总共有多少人?

1、四(2)班检查作业时,每人至少完成一门作业,其中做完语文的有35人,做完数学的有40人,两种都完成的有25人。四(2)班总共有多少人?

2、某班上体育课,全班排成4行(每行人数相等),小芳排的位置是:从前面数第6个,从后面数第7个,这个班共有多少名学生?

【例2】某班有44人,参加美术组的有30人,参加故事组的有25人,每人至少参加一个小组,这个班两个兴趣小组都参加的有多少人?

1、在一次数学测试中,所有同学都答了第1、2题,其中答对第1题的有35人,这两题都答对的有20人,没有人两题都答错。一共有50人参加了这次测验, - 21 -

问答对第2题的有多少人?

2、博达一天中,四、六年级有95人参加学习,上午学习的有45人,上午和下午都学习的有24人,下午有多少人在博达学习?

【例3】一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手.又问:“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手.最后问:“谁语文、数学作业没有做完?”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习:1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人?

2、四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人?

【例4】某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的人有23人,两题都答对的有15人。问有多少个同学两题都没答对?

练习:1、五(1)班有40个学生,其中有25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。那么,有多少人两个小组都没有参加?

2、一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人?

【例5】某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?

练习:1、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人,两样都会的有多少人?

2、一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的52人,这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人?

- 22 -

第11讲 平均数问题

【专题导引】

我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间,同学之间成绩的高低,求出各科成绩的平均分就是求平均数。

平均数在日常生活中和工作中应用广泛,例如:求平均身高问题,求某天的平均气温等。

求平均数问题的基本数量关系是:总数量÷总份数=平均数

解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”,然后用总数量除以总份数求平均数。也可用移多补少的方法,或找一个基准数,用基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数。

【典型例题】

【例1】小刘参加期末考试,数学96分,数学与语文的平均分是95分,小刘语文考了多少分?

练习1、某商店第一天卖了56千克的水果,第二天也卖了一些水果。这两天平均每天卖60千克,问第二天卖了多少千克的水果?

2、博达学校四年级学生分两批外出活动,第一批26人,第二批是第一批的2倍。平均每批有多少人?

【例2】体育课上,四(1)班分成3排,共39人,四(2)班分成4排,共52人。平均每排多少人?

练习1、有五个同学参加折纸竞赛,前2个同学共折了46个千纸鹤,后3个同学共折了64个千纸鹤,平均每个同学折了多少个?

2、小明、小红等6名同学年龄分别是12、13、14、12、14、13岁,他们的平均年龄是多少?

【例3】二(1)班学生分三组植树,第一组有8人,共植树80棵,第二组有6人,共植树66棵,第三组有6人,共植树54棵,平均每人植树多少棵?

练习:1、电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台。后20天共生产电视机6300台,这个月平均每天生产电视机多少台?

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2、小明参加数学考试,前两次的平均分是85分,后三次的总分是270分,求小明这五次考试的平均分数是多少?

【例4】王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米,一个同学身高152厘米,有两个同学身高149厘米,还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。

练习:1、五(1)班有7个同学参加数学竞赛。其中两个同学得了99分,还有三个同学得了96分,另外两个同学分别得了97、89分,这7个同学的平均成绩是多少?

2、气象小组每天早上8∶00测得的一周气温如下:13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃,求一周的平均气温。

【例5】从山顶到山脚的路长36千米,一辆汽车上山,需要4小时到达山顶,下山沿原路返回,只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。

练习:1、小强家离学校有1200米,早上上学,他从家到学校用了15分钟,中午放学,从学校到家用了10分钟,求小强往返的平均速度。

2、李大伯上山采药,上山时他每分钟走50米,18分钟到达山顶,下山时,他沿原路返回,每分钟走75米,求李大伯上下山的平均速度。

【※例6】李华参加体育达标测试,五项平均成绩是85分,如果投掷成绩不算在内,平均成绩是83分,李华投掷得了多少分?

练习:1、小军参加了3次数学竞赛,平均分是84分,已知前两次平均分是82分,求他第三次得了多少分?

2、小丽在期末考试时,数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分,数学成绩公布后,他的平均成绩下降了1分。问小丽的数学考了多少分?

3、小亮上山时的速度是每小时走2千米,下山时的速度是每小时走6千米,那么,他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米?

- 24 -

第12讲 差倍问题

【专题导引】

解答差倍应用题时,先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般情况下,它们往往不会直接告诉我们,这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个或三个以上的数量时,一般把题中有关数量转化为标准量之间倍数关系对应的数量。

解答差倍应用题的基本数量关系是:

差÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数 或 小数+差=大数

【典型例题】

【例1】学校去年有12人参加体育兴趣小组,今年是去年的2倍少3人,今年体育兴趣小组有多少人?

练习:1、小红有15颗星,亮亮的颗数是小红的3倍还少4颗,亮亮有多少颗星?

2、有甲、乙两个数,甲是32,乙是甲的3倍还多4,乙是多少?

【例2】暑假里,兄弟两人去池塘钓鱼,哥哥比弟弟多钓20条,哥哥钓的条数是弟弟的3倍,哥哥与弟弟各钓了多少条鱼?

练习:1、哥哥与弟弟做题比赛,哥哥做的数学题比弟弟多18道,哥哥做的题是弟弟的4倍。两人各做了多少道数学题?

2、甲、乙两人出钱买礼物,甲比乙多出90元,甲出的钱是乙的10倍。甲、乙各出了多少钱?

【例3】有大小两个书架,大书架上书的本数是小书架上的4倍,如果从大书架上取出150本放到小书架上,这时,两书架上的书的本数相等。大小书架原来各有多少本?

练习:1、甲桶酒是乙桶的5倍,如从甲桶中取出20千克倒入乙桶,那么两桶酒重量相等。两桶酒原来各多少千克?

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2、小明的铅笔支数是小华的3倍,如果小明给小华6支后两人就同样多。两人原来各有多少支铅笔?

【例4】仓库里存放大米和面粉两种粮食,面粉比大米多3900千克,面粉的千克数比大米的2倍还多100千克,问仓库有大米和面粉各多少千克?

练习:1、三年级学生参加课外活动,做游戏的人数比打球的人数的3倍多2人。已知做游戏的比打球的多38人,打球和做游戏的各有多少人?

2、学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人,今年的人数比去年的3倍少35人,今年有多少人参加?

【例5】育红小学买了一些足球、排球和篮球,已知足球比排球7只,排球比篮球多11只,足球的只数是篮球的3倍,足球、排球、篮球各买了多少只?

练习:1、玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个。三月份比二月份多生产3000个,三月份生产的玩具个数是一月份的2倍,每个月各生产多少个?

2、某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承,第一季度比第二季度少生产1200套。第三季度生产的是第一季度的3倍。求每季度各生产多少?

【※例6】商店运来一批白糖和红糖,红糖的重量是白糖的3倍,卖出红糖380千克,白糖110千克后,红糖和白糖重量相等,商店原有红糖和白糖各多少千克?

练习:1、甲、乙两个仓库各存一批面粉,甲仓所存的面粉的袋数是乙仓的3倍,从甲仓中运走720千克,从乙仓运走120千克后,两个仓库所剩的面粉相等,两个仓库原来各有面粉多少千克?

2、有两筐橘子,第二筐橘子的个数是第一筐的2倍,如果第一筐中再放入48个,第二筐中再放入18个,那么两筐的橘子个数相等,原来两筐各有橘子多少?

【※例7】师徒两人加工同样多的一批零件,师傅加工了102个,徒弟加工了40个。这时,徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍。师傅要加工多少个零件?

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练习:1、有两根铁丝,第一根长28米,第二根长20米。两根铁丝用去同样长一段后,第一根剩下的长度是第二根的3倍,两根铁丝各剩下多少米?

第13讲 和差问题

【专题导引】

已知两个数的和与差,求出这两个数各是多少的应用题,叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是:

(和-差)÷2=小数

小数+差=大数(和-小数=大数)

或:(和+差)÷2=大数

大数-差=小数(和-大数=小数)

解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准,设法把若干个不相等的数变为相等的数,某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差,可以通过转化求它们的和与差,再按照和差问题的解法来解答。

【典型例题】

【例1】有两筐苹果,第一筐重50千克,第二筐比第一筐少20千克,两筐苹果共有多少千克?

练习1、有两筐水果共重80千克,第一筐重30千克,第二筐比第一筐重多少千克?

2、甲数是39,乙数比甲数多17,求甲、乙两数的和是多少?

【例2】小红家养了30只鸡,母鸡比公鸡多8只,小红家养母鸡、公鸡各有多少只?

练习:1、甲、乙两个数,和为42,已知甲比乙大12,甲数是多少?

2、两数之和为25,这两个数相差7,求其中的大数是多少?

【例3】三、四年级同学共植树128棵,四年级比三年级多植树20棵,求三、四年级各植树多少棵?

练习:1、两堆石子共有800吨,第一堆比第二堆多200吨,两堆各有多少吨?

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2、用锡和铝混合制成600千克的合金,铝的重量比锡多400千克,锡和铝各是多少千克?

【例4】今年小勇和妈妈两人年龄的和是38岁,3年前,小勇比妈妈小26岁,问今年妈妈和小勇各多少岁?

练习:1、今年小刚和小强两人的年龄的和是21岁,1年前,小刚比小强小3岁,问今年小刚和小强各多少岁?

2、黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁,4年后,黄茜将比胡敏大3岁,问黄茜和胡敏今年各多少岁?

【例5】把长108厘米的铁丝围成一个长方形,使长比宽多12厘米,长和宽各是多少厘米?

练习:1、把长84厘米的铁丝围成一个长方形,使宽比长少6厘米。长和宽各是多少厘米?

2、赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈,做下水前的准备活动,共跑了1080米,问游泳池的长和宽各是多少米?

【※例6】甲、乙两个仓库共有大米800袋,如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中,则甲仓库比乙仓库还多8袋,求两个仓库原来各有多少袋大米?

练习:1、甲、乙两箱洗衣粉共有90袋,如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中,则甲箱比乙箱还多6袋,求两箱原来各有多少袋?

2、甲、乙两筐香蕉共重60千克,如果从甲筐中取5千克放到乙筐,结果甲筐比乙筐还多2千克,问两筐原来各有多少千克香蕉?

【※例7】小东的图书中有58本不是故事书,有42本不是科技书。小东故事书和科技书共有60本,小东科技书有多少本?

练习:1、一片树林里有很多种树,有1500棵树不是松树,1200棵树不是杨树,松树、杨树共700棵。杨树多少棵?

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第14讲 巧算年龄

【专题导引】

年龄问题是一类与计算有关的问题,它通常以和倍、差倍、或和差等问题的形式出现,有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合,需要灵活的加以解决。

解答年龄问题,要灵活运用以下三条规律:

1、无论是哪一年,两人的年龄差总是不变的。

2、随着时间的向前或向后推移,几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量;

3、随着时间的变化,两人年龄之间的倍数关系也会发生变化。

【典型例题】

【例1】今年妈妈30岁,小强12岁。10年后,妈妈比小强大多少岁?

练习:1、奶奶今年54岁,小红今年9岁。3年后,小红比奶奶小多少岁?

2、4年前,哥哥比弟弟大4岁。今年哥哥比弟弟大多少岁?

【例2】妈妈和女儿的年龄和是45岁,2年后,妈妈和女儿的年龄和是多少岁?

练习:1、爸爸、小刚的年龄和是38岁,4年前,他们的年龄和是多少岁?

2、一家三口人,年龄之和是72岁,5年后,他们的年龄和是多少岁?

【例3】爸爸今年43岁,儿子今年11岁,几年后爸爸的年龄是儿子的3倍?

练习:1、妈妈今年36岁。儿子今年12岁,问几年后妈妈的年龄是儿子的2倍?

2、小强今年15岁,小亮今年9岁,问几年前小强的年龄是小亮的3倍?

【例4】妈妈今年的年龄是女儿的4倍,3年前,妈妈和女儿的年龄和是39岁。 - 29 -

问妈妈、女儿今年各是多少岁?

练习:1、今年爸爸的年龄是儿子的4倍,3年前,爸爸和儿子的年龄和是44岁。问爸爸、儿子今年各是多少岁?

2、今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁,4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍,小丽和爸爸今年各是多少岁?

【例5】今年小红的年龄是小梅的5倍,3年后小红的年龄是小梅的2倍,小红和小梅今年各有多少岁?

练习:1、今年小明的年龄是小娟的3倍,3年后小明的年龄是小娟2倍,小明和小娟今年各有多少岁?

2、今年小亮的年龄是小英的2倍,6年前小亮的年龄是小英的5倍,小英和小亮今年各有多少岁?

【※例6】甜甜的爸爸今年28岁,妈妈今年26岁,再过多少年,她的爸爸和妈妈的年龄之和为80岁?

练习:1、蜜蜜的爸爸今年27岁,妈妈今年26岁,再过多少年,她的爸爸和妈妈的年龄之和为73岁?

2、爸爸今年56岁,儿子30岁,当父子年龄和为46岁时,爸爸和儿子各是多少岁?

第15讲 还原问题

【专题导引】

一个数量经过若干次变化成了另一种结果,我们从结果出发根据每一次变化情况,一步步地倒着想,把结果还原成开始状态,这类问题叫还原问题,又叫逆运算问题。

对于简单的,每一次变化不太复杂的还原问题,可直接列式一步步倒着推算; - 30 -

对于变化较复杂的,可借助列表和画图来帮助解决问题。

【典型例题】

【例1】某数加上5,再增加7,结果等于61,这个数是?

1、某数减去4,再减少6,结果为2,这个数是?

2、小明把某数减去5,再增加6,结果是12,这个数是多少?

【例2】某数扩大3倍,再缩小4倍,正好是6,这个数是?

1、一捆电线,第一次用了一半,第二次又用了剩下的一半,还有6米,这捆电线长多少米?

2、小红对小明说:“你的年龄是11岁,你的年龄是我的2倍少9岁,你知道我的年龄吗?”

【例3】小刚的奶奶今年年龄减去7后,缩小9倍,再加上2之后,扩大10倍,恰好是100岁,小刚的奶奶今年多少岁?

1、 在□里填上适当的数。

20×□÷8+16=26

2、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘以2,结果得60,求这个数。

【例4】某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多20台,还剩95台,这个商场原来有洗衣机多少台?

1、粮库内有一批大米,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多5吨,还剩下4吨,问粮库原有大米多少吨?

2、爸爸买了一些橘子,全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个,第二天吃了剩下的一半多1个,第三天又吃了剩下的一半多1个,还剩下1个,问爸爸买 - 31 -

了多少个橘子?

【例5】小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后,又借给小勇5本,结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本?

1、甲乙丙三个小朋友共有贺年卡90张,如果甲给乙3张后,乙又送给丙5张,那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问甲乙丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张?

2、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张,小丽给小敏23张,小敏给小红3张,那么她们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张?

【※例6】甲乙两桶油各有若干千克,如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶,再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶,这时两桶油恰好都是36千克,问两桶油原来各有多少千克?

练习:1、王亮和李强各有画片若干张,如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强,李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮,这时两个人都有24张,问王亮和李强原来各有画片多少张?

2、甲乙丙三个小朋友各有玻璃球若干个,如甲按乙现有的玻璃球个数给乙,再按丙现有的个数给丙之后,乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后,丙也按同样的方法给甲和乙,这时,他们三个人都有32个玻璃球,问原来每个人各有多少个?

【※例7】两只猴子拿26个桃,甲猴眼疾手快,抢先得到,乙猴看甲猴拿得太多,就去抢一半,甲猴不服,又从乙猴那儿抢走一半,乙猴不肯,甲猴就还给乙猴5个,这时乙猴比甲猴多2个,问甲猴最初准备拿几个?

练习:1、学校运来36棵树苗,小强和小平两人争着去栽,小强先拿了树苗若干棵,小平看到小强拿太多了就抢了10棵,小强不肯,又从小平那里抢了6棵,这时小强拿的棵数是小平的2倍,问最初小强准备拿多少棵?

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2、李辉和张新各搬60本图书,李辉抢先拿了若干本,张新看李辉拿了太多,就抢了一半,李辉不肯,张新就给了他10本,这时李辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本?

第16讲 定义新运算

【专题导引】

我们学过常用的运算有加、减、乘、除等。如6+2=8,6×2=12等。都是2和6,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实质上是对应法则不同。由此可见,一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然,这个对应法则应该是对任意两个数。通过这个法则都有一个惟一确定的数与它们对应。

这一周,我们将定义一些新的运算形式,它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。

【典型例题】

【例1】有a、b两个数,规定a◎b=a+(b-2)。那么5◎2= ?

练习1、有a、b两个数,规定a※b=a+2-b。那么2※3= ?

2、有a、b两个数,规定a#b=a+2-b+9。那么6#8= ?

【例2】如果规定a◎b=a-b×2 ,那么a=8、b=3时,求8◎3= ?

1、如果规定a△b=a×3+b ,那么a=3、b=10时,求3△10= ?

2、如果规定a△b=(a+b)÷4 ,那么a=1、b=7时,求1△7= ?

【例3】设a、b都表示数,规定是a△b表示a的3倍减去b的2倍,a△b=a×3-b×2。试计算:①5△6,②6△5。

练习:1、设a、b都表示数,规定a○b=6×a-2×b。试计算3○4。

2、设a、b都表示数,规定a*b=3×a+2×b。试计算①(5*6)*7,②5*(6*7)。

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【例4】对于两个数a与b,规定a※b= a×b + a+b。试计算6※2。

1、对于两个数a与b,规定a※b=a×b-(a+b)。试计算3※5。

2、对于两个数A与B,规定A※B=A×B÷2。试计算6※4。

【例5】如果2△3=2+3+4,5△4=5+6+7+8,按此规律计算:3△5。

练习:1、如果5◎2=5×6,2◎3=2×3×4,按此规律计算:3◎4= ?

2、如果2◎4=24÷(2+4),3◎6=36÷(3+6),按此规律计算:8◎4= ?

【※例6】对于两个数a与b,规定a□b=a+(a+1)+(a +2)+??(a+b-1)。已知x□6=27,求x.

练习:1、如果2□3=2+3+4=9,6□5=6+7+8+9+10=40,已知Х□3=5973,求Х= ?

2、对于两个数a与b,规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+??(a+b-1)。已知95□x=585,求x。

【※例7】有一个数学运算符号“◎”,使下列算式成立:2◎4=8,5◎3=13,3◎5=11,9◎7=25。按此规律计算:7◎3。

练习:1、有一个数学运算符号“◎”,使下列算式成立:6◎2=12,4◎3=13,3◎4=15,5◎1=8。按此规律计算:8◎4。

2、有一个数学运算符号※,使下列算式成立:2※3=9,7※2=15,3※5=25。按此规律计算:16※4。

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