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小学期 Maple 上机报告 第四次

发布时间:2013-09-21 19:01:49  

数学软件Maple实验报告(四)

学 院 数理学院

专业班级 信计1002班

姓 名

学 号 41064053 指导教师

~ 1 ~

实验目的:

学习并掌握计算机代数系统Maple下进行多项式的各种运算,包括合并、分解因式、排序等,学习并掌握行列式、矩阵的各种符号计算,包括特征矩阵、特征值、特征向量等,学习并掌握线性方程组求解的符号计算方法。

实验内容:

?x1?8x2?10x3?2x4?0?1、求齐次线性方程组?2x1?4x2?5x3?x4?0的通解。 ?3x?8x?6x?2x?0234?1

解:代码及运行结果如下:

eqns:={x1-8*x2+10*x3+2*x4=0,2*x1-4*x2+5*x3-x4=0,3*x1+8*x2+6*x3-2*x4=0};

eqns := {

x1???8x2???10x3???2x4???0,2x1???4x2???5x3???x4???0,3x1???8x2???6x3???2x4???0 }

> A:=genmatrix(eqns,[x1,x2,x3,x4],'flag');

?42-102????A := ?3-12010?? ??113008????

> gausselim(%);

?4???0????0?

> ffgausselim(%%); 2-520-111400002??17??2?? ?-6??

2-102??4???0-1011034??? ???0?00060??

~ 2 ~

?4x1?2x2?x3?2??3x1?x2?2x3?10

?11x?3x?8122、求非齐次方程?的解。

解:代码及运行结果如下:

> eqns:={4*x1+2*x2-x3=2,3*x1-x2+2*x3=10,11*x1+3*x2=8};

eqns := {4x1???2x2???x3???2,3x1???x2???2x3???10,11x1???3x2???8} > A:=genmatrix(eqns,[x1,x2,x3],'flag');

?42-12????A := ?3-1210?? ??11308????

> gausselim(%);

?4???0????0?

> ffgausselim(%%); 2-520-111402??17??2?? ?-6??

2-12??4???0-101134? ?????0?0060??

?211??A??121???112???的特征多项式、特征值、特征向量。 3、求矩阵

解:代码及运行结果如下:

> A:=matrix(3,3,[2,1,1,1,2,1,1,1,2]);

?2?A := ??1??1?

> charpoly(A,lambda);

> eigenvalues(A); 1211??1???2?? ?3??6??2??9????4?(特征多项式)

4,1,1 (特征值) ~ 3 ~

> eigenvectors(A);

[4,1,{[1,1,1]}],[1,2,{[-1,0,1],[-1,1,0]}](特征向量)

?2?20???21?2????0?20??化为对角矩阵。 4、试求一个正交的相似变换矩阵P,将对称矩阵?

解:代码及运行结果如下:

> with(linalg,matrix,issimilar,eigenvalues,diag):

> A:=matrix(3,3,[2,-2,0,-2,1,-2,0,-2,0]);

?2-20???? A := ?-21-2????0-20????

> B:=diag(eigenvalues(A));

?100????B := ?0-20?? ??004????

> issimilar(A,B,P);

true

> print(P);

?? ????????????49-194929-29-49-49-2929??????? ???????(即为所求的矩阵P)

> map(normal,evalm(P^(-1)&*B&*P));

?2-20????-21-2? ?????0-20???(验算,说明P确实能将A化为对角阵B)

5、在平面上任意移动一点P(x,y)使得P(x,y)与(3,2)和(2,?4)这两点的距离的平方和永远保持为36。

~ 4 ~

(1) 试证明点P(x,y)是沿着一个圆移动的;

(2) 试求此圆的圆心和半径。

解:代码及运行结果如下:

> with(plots):

> implicitplot(2*x^2-10*x+2*y^2+4*y-3=0,x=-1..6,y=-5..2);

> completesquare(2*x^2-10*x+2*y^2+4*y-3=0,{x,y});

2 355?2(y???1)2??????2?x????????0?22???(由图易知,点P的轨迹为圆,即P是沿着一个圆移

动的。)

> r=sqrt(35/4); r???11535r???35 (?1,)222,半径是(圆心坐标是)

6、试求出直线y?4x?3与y?3x?2的交点,并作图来验证。 解:代码及运行结果如下:

> with(student):

> intercept(y=4*x-3,y=3*x+2,{x,y});

{y???17,x???5}(交点坐标)

> plot({4*x-3,3*x+2},x=4.9..5.1);

~ 5 ~

7、某药剂在人体的浓度k(t)与时间t的关系可用方程k(t)?0.04t(1?t2)来表示,试问时间为多少时,此药剂在人体内有最大浓度。

解:代码及运行结果如下:

> k:=0.04*t/(1+t^2);

k := .04t

1???t2

> plot(k,t=0..5);

> maximize(0.04*t/(1+t^2),location);

~ 6 ~

.02000000000,{[{t???1},.02000000000]}

(上式表示图像最大值点坐标是(1,0.02),即在t=1时,在人体内有最大浓度0.02)

1

?8

、试用矩形法、梯形法和辛普森方法估算定积分?1

估计与精确值的误差。 的值,并绘图说明,

解:原积分的精确值为:>

Int(2*sqrt(1-x^2),x=-1..1)=int(2*sqrt(1-x^2),x=-1..1);

?21???x2dx????? ??-11> plot(2*sqrt(1-x^2),x=-1..1);

(1) 用矩形法,代码及运行结果如下:

> with(student):

> leftbox(2*sqrt(1-x^2),x=-1..1,50,color=RED);

~ 7 ~

> b:=leftsum(2*sqrt(1-x^2), x=-1..1,50);

?1??b := ????2?i???0???491?1?????1???i??????2???? ??????

> evalf(Pi-b);

.009396343

(矩形法结果误差分析)

(2) 用梯形法,代码及运行结果如下:

> with (student):

> rightbox(2*sqrt(1-x^2),x=-1..1,50,color=MAGENTA); > a:=rightsum(2*sqrt(1-x^2), x=-1..1,50);

> evalf(Pi-a);

50?1??a := ????225?i???1???1?1?????1???i????25??2???? ??????

.009396343(梯形法结果误差分析)

(2) 用辛普森法,代码及运行结果如下:

> with(student):

> c:=simpson(2*sqrt(1-x^2), x=-1..1,50);

?4??c := ????275?i???1???

> evalf(Pi-c); 25262?1???????25???25i????2??2?24????????2???????75?????i???1?2?1?????1???i????25??2???? ??????

.003680319(辛普森法结果误差分析)

综上可知,在相同的精度下,辛普森法所得误差最小。

~ 8 ~

?x2?sin2x,x?0f(x)????2x?1,x?0, 9、设

(1) 试绘出f(x)的图形,绘图区间取[?3,3]

(2) 试计算x?0limf(x)。

解:代码及运行结果如下:

> with(plots):

> g1:=plot(x^2-(sin(x))^2,x=-3..0):

> g2:=plot(-2*x+1,x=0..3):

> display(g2,g1);

> limit(x^2-(sin(x))^2,x=0,left);

> limit(-2*x+1,x=0,right);

1

limf(x)由上计算可知,在0点附近原函数没有极限,所以x?0不存在。

10、有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千克含氮70克,磷8克,钾2克,乙种化肥每千克含氮64克,磷10克,钾0.6克,丙种化肥每千克含氮70克,磷5克,钾1.4克。若把此三种化肥混合,要求总重量23千克且含磷149克,钾30克,问三种化肥各需多少千克?

~ 9 ~

解:设需甲种化肥x1,乙种化肥x2,丙种化肥x3,可得如下不等式:

x1?x2?x3?0???8x1?10x2?5x3?149 ?2x?0.6x?1.4x?3023?1

解该方程组,代码及其运算结果如下:

> eqns:={x1+x2+x3=23,8*x1+10*x2+5*x3=149,2*x1+0.6*x2+1.4*x3=30};

eqns := {x1???x2???x3???23,2x1???.6x2???1.4x3???30,8x1???10x2???5x3???149}

> A:=genmatrix(eqns,[x1,x2,x3,x4],'flag');

1023??11??? A := ?2.61.4030.????81050149????

> gausselim(%);

10.?8.??0-1.900000000???00?5..150000000.35526315790.149.??0.-7.25000000?? ?0.5.328947369??

> x3:=5.328947369/0.3552631579;

>

即需甲种化肥3kg,乙种化肥5kg,丙种化肥15kg;

~ 10 ~

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