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数学 Microsoft Word 文档 (2)

发布时间:2013-12-29 15:00:06  

第九章

立体几何

重点难点 重点:线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用 难点:定理的灵活运用 知识归纳 一、直线与平面平行 1.判定方法 (1)用定义:直线与平面无公共点.

第九章

立体几何

α∥β? ? ??a∥α (3)其它方法: a?β? ? 2.性质定理: a∥α ? ? a?β ??a∥b α∩β=b? ?

二、平面与平面平行 1.判定方法 (1)用定义:两个平面无公共点 a∥β ? ? ? b∥β ? a?α ??α∥β ? b?α ? a∩b=P? ?

(2)判定定理:

立体几何

(3)其它方法: a⊥α? α∥γ? ? ? ??α∥β; ??α∥β a⊥β? β∥γ? ? ? a∥b ? ? c∥d ? a,c?α ? ??α∥β. b,d?β ? a∩c=A ? ? b∩d=B?

立体几何

2.性质定理: α∥β ? ? γ∩α=a??a∥b γ∩β=b? ? 3.两条直线被三个平行平面所截,截得线段对应成 比例.第九章

立体几何

误区警示 1.应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时, 条件不足或条件与结论不符是常见的错误,解决的方法是 弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结 论,明确这个定理是干什么用的,具备什么条件才能 用.其中线面平行的性质定理是核心,证题时,找(或作) 出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键,另 外在证明平行关系时,常见错误是(1)“两条直线没有公共点 则平行”;(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”,不恰当 的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来,解决的 关键是先说明它们在同一个平面内.

2.注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在” 等量词的含义. 3.注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时, 教 不是两平面内的任意直线,必须找或作出第三个平面与两 个平面都相交,则交线平行. 应用二面平行的判定定理时,两条相交直线的“相交” 二字决不可忽视. 4.要注意符合某条件的图形是否惟一,有无其它情 形

一、转化的思想 解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列 转化

[例1]

已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和

ABEF不在同一个平面内,P、Q分别是对角线AE、BD上的 点,且AP=DQ. 求证:PQ∥平面CBE.

证明:方法1:如右图,作PM∥AB交BE于点M,

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作 QN∥AB交BC于点N,则PM∥QN.

∵AP=DQ,∴EP=BQ, 又∵AB=CD,EA=BD,∴PM=QN.又∵PM∥QN, ∴四边形PMNQ是平行四边形,∴PQ∥MN. 综上所述:PQ?平面CDE,MN?平面CBE,PQ∥MN, ∴PQ∥平面CBE.

方法 2:作 PR∥BE 交 AB 于点 R,连接 QR, AP AR ∵PR∥BE,∴ = ,又∵两矩形全等 DQ=AP, PE RB AR DQ ∴BQ=PE,∴ = ,∴RQ∥AD,∴RQ∥BC, RB BQ ∴平面 PQR∥平面 EBC,∴PQ∥面 EBC.

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点评:欲证PQ∥平面EBC,一种方法是用判定定理; 另一种方法是用面面平行的性质定理.用判定定理时,找 出平面内与PQ平行的直线是关键. AP DQ 由 = 可过 P、Q 作 AB 的平行线构造平行四边 AE DB 形(如证法 1). ( 1) 也可由直线 AE 与 PQ 相交确定一个平面与平面 EBC 有公共点 E,故必有一条交线,连结 AQ,并延长交 BC 于 G,则只须证明 PQ∥EG,也可由异面线段 AE,BD 上 的比例关系,找一条与二者均相交的线段,取相同的比例 AR 点构造相似关系得出平行关系,如取 AB 上点 R,使 = AB AP AE,则平面 PRQ∥平面 EBC(即证法 2)等等.

二、解题技巧 要能够灵活作出辅助线、面来解题,作辅助线、面一 定要以某一定理为理论依据.

[例1]

(08·湖南)若有直线m、n和平面α、β,下列四

个命题中,正确的是 ( A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β C.若α⊥β,m?α,则m⊥β D.若α⊥β,m⊥β,m?α,则m∥α )

解析:如图(1),β∥α,m?β,n?β,有m∥α,n∥α, 但m与n可以相交,故A错; 如图(2),m∥n∥l,α∩β=l,有m∥β,n∥β,故B错; 如图(3),α⊥β,α∩β=l,m?α,m∥l,故C错.故选 D.

答案:D 点评:1.D选项证明如下: 设α与β的交线为l,在α内作n⊥l,∵α⊥β,∴n⊥β, ∵m⊥β,∴m∥n,∵n?α,m?α,∴m∥α. ? ?

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2.解决这类问题首先要熟悉线面位置关系的各个定理, 无论是单项选择还是多项选择,都可以从中先选最熟悉最 容易作出判断的选项先确定或排除,再逐步考察其余选 项.要特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有 特殊情形等.

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(2010·浙江理)设m,l是两条不同的直线,α是一个平 面,则下列命题正确的是 A.若l⊥m,m?α,则l⊥α ? B.若

l⊥α,l∥m,则m⊥α C.若l∥α,m?α,则l∥m ? D.若l∥α,m∥α,则

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l∥m 解析:两平行线中一条垂直于一个平面,另一条边垂 直于这个平面,故选B. 答案:

[例2]

(文)在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,

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且E,F分别是AB,BD的中点.求证: (1)直线EF∥平面ACD; (2)面EFC⊥平面BCD.

解析:(1)在△ABD中,因为E、F分别是AB、BD的中 点,所以EF∥AD. 又AD?平面ACD,EF?平面ACD, 所以直线EF∥平面ACD. (2)在△ABD中,因为AD⊥BD,EF∥AD, 所以EF⊥BD. 在△ BCD 中 ,因为 CD= CB, F 为 BD的 中 点, 所 以 CF⊥BD. 因为EF?平面EFC,CF?平面EFC,EF与CF交于点F, 所以BD⊥平面EFC. 又因为BD?平面BCD,所以平面EFC⊥平面BCD.

(理)如图,四边形ABCD为矩形,BC⊥平面ABE,F为 CE上的点,且BF⊥平面ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点,求 证:MN∥平面DAE.

证明:(1)因为BC⊥平面ABE,AE?平面ABE, 所以AE⊥BC. 又BF⊥平面ACE,AE?平面ACE, 所以AE⊥BF. 又BF∩BC=B, 所以AE⊥平面BCE. 又BE?平面BCE,所以AE⊥BE. ?

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(2)证法一:取 DE 的中点 P,连结 PA,PN,因为点 1 N 为线段 CE 的中点,所以 PN 綊 DC. 2

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又四边形 ABCD 是矩形,点 M 为线段 AB 的中点, 1 所以 AM 綊 DC.所以 PN 綊 AM. 2

故四边形 AMNP 是平行四边形.所以 MN∥AP, 而 AP?平面 DAE,MN?平面 DAE,所以 MN∥DAE.

证法二:取BE中点G,连结GM、GN,∵GN∥BC, BC∥DA,∴GN∥DA,又∵GM∥AE,∴平面MGN∥平面 DAE,从而证明MN∥平面DAE.

(2010·北京文,17)如图,正方形ABCD和四边形ACEF 所在平面互相垂直,EF∥AC,AB= (1)求证:AF∥平面BDE;

(2)求证:CF⊥平面BDF. ,CE=EF=1.

证明:(1)设AC∩BD=G,∵EF∥AG, 又∵EF=1,AG= AC=1,

∴四边形AGEF为平行四边形, ∴AF∥EG, ∵EG?平面BDE,AF?平面BDE, ? ? ∴AF∥平面BDE.

(2)连结FG. ∵EF∥CG,EF=CG=1且CE=1, ∴四边形CEFG为菱形, ∴EG⊥CF. ∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD. 又∵平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD =AC,∴BD⊥平面ACEF,∴CF⊥BD. 又∵BD∩EG=G,∴CF⊥平面BDE.

[例3]

(2010·山东青岛)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中,AA1=2,底面是边长为1的正方形,E、F、G分别是棱 B1B、D1D、DA的中点. (1)求证:平面AD1E∥平面BGF; (2)求证:D1E⊥平面AEC.

证明:(1)

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∵E,F分别是棱BB1,DD1的中点, ∴BE綊D1F.∴四边形BED1F为平行四边形. ∴D1E∥BF. ? ? 又D1E?平面AD1E,BF?平面AD1E, ∴BF∥平面AD1E. 又G是棱DA的中点,∴GF∥AD1. 又AD1? ?平面AD1E,GF?平面AD1E, ? ∴GF∥平面AD1E. 又BF∩GF=F,∴平面AD1E∥平面BGF.

(2)∵AA1=2,∴AD1= A1A2+A1D2= 5. 1 同 理 , AE = AE2.∴D1E⊥AE. ∵AC⊥BD,AC⊥D1D,∴AC⊥平面 BDD1B1. 又 D1E?平面 BDD1B1,∴AC⊥D1E. 又 AC∩AE=A,∴D1E⊥平面 AEC.

2 2 , D1E = 3 .∴AD 1 = D1E2 +

[例4] (文)如图,平面α∥平面β,线段GH与α、β分别 交于A、B,线段HF与α、β分别交于F、E,线段GD与α、β 分别交于C、D,且GA=9,AB=12,BH=16,S△ACF=72. 求△BDE的面积.

解析:因为 α∥β, 所以 AC∥BD, AF∥BE.所以∠FAC 与∠EBD 相等或互补. 因为 AC∥BD, 故△GAC∽△GBD. AC GA 3 从而有,BD=GB=7. AF AH 7 同理△HEB∽△HFA.有BE=BH=4 , HEB HFA. 1 S△AFC 2AC·AFsin∠FAC AC·AF 所以 = =BE·BD . S△BED 1 2BF·BDsin∠EBD 37 4 即 = · ,所以 S△BED=72×3=96. S△BED 7 4 72

(理)如图,已知平面 α∥平面 β∥平 面 γ, β 位于 α 与 γ 之间. A、 且 点 D∈α, C、F∈γ,AC∩β

=B,DF∩β=E. AB DE (1)求证:BC= EF ; (2)设 AF 交 β 于 M, 与 CF 不平 AD 行,α 与 β 间距离为 h′,α 与 γ 间距离 h′ 为 h,当 h 的值是多少时,S△BEM 的面 积最大?

解析:考查线线平行、线面平行、面面平行的相互转 化能力以及分类讨论思想的应用. (1)证明:∵β∥γ,平面 ACF 分别交 β、γ 于 BM、CF, AB AM ∴BM∥CF,∴ = , BC MF AM DE AB DE 同理: = ,∴ = . MF EF BC EF BM AB h′ (2)由(1)知 BM∥CF,∴ CF =AC= h , 1 ME h-h′ 同理: AD = h ,∴S△BEM=2BM·MEsin∠BME

h′? h′? 1 ? = CF·AD ?1- ?sin∠BME. 2 h ? h ? ?据题意知, AD 与 CF 异面,只是 β 在 α、γ 间变化位 置,故 CF、AD 是常量,sin∠BME 是 AD 与 CF 所成角的 正弦值,也是常量,令 h′h=x 只要考查函数 y=x(1- h′ 1 1 x)的最值,显然当 x= 时,即 = 时,y=-x2+x 有最 2 h 2 大值. h′ 1 所以当 = 时, β 在 α、 两平面的中间时△BEM 即 γ h 2 面积最大.

如图所示,平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D 均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外,且AA′、BB′、 CC′、DD′互相平行.求证:四边形ABCD是平行四边形.

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析:欲证四边形ABCD为平行四边形,须证其两组 对边分别平行,欲证AD∥BC,从图中可见AD、BC是平面 ABCD 与 平 面 AA′D′D 和 BB′C′C 的 交 线 , 故 只 须 证 平 面 AA′D′D∥平面BB′C′C.AB∥CD同样可找到证明思路. 解 析 : ∵ 四 边 形 A′B′C′D′ 是 平 行 四 边 形 , ∴A′D′∥B′C′.∵AA′∥BB′,且AA′、A′D′是平面AA′D′D内的两 条相交直线,BB′、B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线, ∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD、BC分别是平面ABCD 与平面AA′D′D、平面BB′C′C的交线,故AD∥BC.同理可证 AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.

[例5]

(文)如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中, a,点E在PD上, 教

∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD= 且PE ∶ ED=2∶1. (1)证明:PA⊥平面ABCD;

(2)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?如果 存在,请求出此时PF ∶ FC的值;如果不存在,请说明理 由.

解析:(1)因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所 以AB=AD=AC=a. 在△PAB中,由PA2+AB2=2a2=PB2,知PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD. (2)连结BD,则平面PBD与平面AEC的交线为EO,在 △ PBD

中 作 BM∥OE 交 PD 于 M , 则 BM∥ 平 面 AEC , 在 △PCE中过M作MF∥CE交PC于F,则MF∥平面AEC,故 平面BFM∥平面AEC,所以BF∥平面AEC,F点即为所求 的满足条件的点.由条件O为BD的中点可知,E为MD的中 点. 又由PE:ED=2∶1,∴M为PE的中点,又FM∥CE, 故F是PC的中点,∴此时PFFC=1.

(理)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为 AA1的三等分点,即AM= AA1,P在棱CC1上移动,过DM 和P作正方体的截面,当截面为四边形时,求截面面积的最 大值,并求出截面面积最大时P点的位置. 解析:如图,∵M为AA1的三等分点,P是棱CC1上任 一点,

∴当P与C点重合时,截面为矩形DMNC,将P点由C向 C1 运 动 , 到 Q 点 (C1Q = CC1) 时 , 截 面 为 平 行 四 边 形

MB1QD,当点P在QC1上时,截面不是四边形. 易知截面DMNC⊥平面BB1C1C,因此在平面BB1C1C内 到直线CN距离越远的直线到DM距离越大, ∴当P与Q重合时,截面面积最大易求最大值为

)如 图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是 菱 形 , ∠ ABC = 60° , PA⊥ 平 面 ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点, 且PA=AB=2. (1)证明:BC⊥平面AMN; (2)求三棱锥N-AMC的体积; (3)在线段PD上是否存在一点E,使 得NM∥平面ACE;若存在,求出PE的 长,若不存在,说明理由.

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