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变换和操作

发布时间:2014-01-19 11:53:51  

变换和操作

例题1、 黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1。例如,擦掉9和13,要写上21。经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____。

答案:71。

解析:所剩之数等于原来的七个数之和减6,故这个数是(8+9+10+11+12+13+14)-6=71。

例题2、口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99。从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____。

答案:50。

解析:每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数,所以最后一张纸片上的数等于1~99的和除以100的余数。

(1?99)?99?100 2

=4950?100

=49?100+50 (1+2+?+99)?100=

故这张纸片上的数是50。

例题3、 用1~10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置。如此操作直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换。最多要实行_____次交换。

答案:4次;40次。

解析:当排列顺序为1,2,3,4,5,10,6,7,8,9时,交换次数最少,需交换4次;当排列顺序为9,8,7,6,5,10,4,3,2,1时,交换次数最多,需交换40次。

例题4、 5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上2,找出一个最大数减2。连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的5个数可能是_____。 答案:20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21或19,19,20,21, 21。

解析:5个数的差距会越来越小,最后最大与最小数最多差2。最终的5个数可能是20,20,20,20,20,或者19,20,20,20,21或19,19,20,21,21。

例题5、 在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)作这样的连续变换: 。

对(1024,111?1)作这样的连续变换,最后得到的两个相同的数是什么?

20个1

答案:1。

解析:变换中的两个数,它们的最大公约数始终末变,是后得到的两个相同的数即为它们的最

10大公约数.因为1024=2,而

11?1

1没有质因子2,它们是互质的。所以最后得到的两个相同的数是1。

例题6、 在一块长黑板上写着450位数123456789123456789?(将123456789重复50次)。删去这个数中所有位于奇数位上的数字;再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字;再删去?,并如此一直删下去,最后删去的数字是_____。

答案:4。

解析:事实上,在第一次删节之后,留下的皆为原数中处于偶数位置上的数;在第二次删节之后,留下的数在原数中所处的位置可被4整除;如此等等。于是在第八次删节之后,原数

8中只留下处于第2?k=256k号位置上的数,这样的数在所给的450位数中只有一个,即第256

位数。由于256=9?28+4,所以该数处于第29组“123456789”中的第4个位置上。即为4。

例题7、 一个三角形全涂上黑色,每次进行一次操作,即把全黑三角形分成四个全等的小三角形,中间的小正三角形涂上白色,经过5次操作后,黑色部分是整个三角形的_____。

答案:234 1024

333333

243,所以5次变换为????=。 4444441024解析:每一次黑三角形个数为整个的

练习题

1.请说明例1中,对1980的连续变换中一定会出现重复.对其它的数作连续变换是不是也会如此?

2. 将3?3方格纸的每一个方格添上奇数或偶数,然后进行如下操作:将每个方格里的数换成与它有公共边的几个方格里的数的和,问是否可以经过一定次数的操作,使得所有九个方格里的数都变成偶数?如果可以,需要几次?

3. 在左下图中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1算作一次操作,经过若干次操作后变为下图.问:下图A格中的数字是几?为什么?

4. 在1997?1997的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮,按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变不亮,不亮变亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

答案

1. 对1980的连续变换中,每个数都不大于1980+1991=3971,所以在3971步之内必定会出现重复,对其它的数作连续变换也会如此.

2. 如图,用字母a,b,c,d,e,f,g,h,I代表9个方格内的数字,0代表偶数.

a b c b+d a+e+c b+f g+c b+h a+i

d e f a+e+g d+b+h+f c+e+i d+f 0 d+f

g h i d+h g+e+i h+f a+i b+h g+c

d+f+b+h g+c+a+i b+h+d+f 0 0 0

g+c+a+i 0 g+c+a+i 0 0 0

d+f+b+h a+I+g+c b+h+d+f 0 0 0

可见经过四次操作后,所有九个方格中的数全变为偶数.

3. 每次操作都是在相邻的两格,我们将相邻的两格染上不同的颜色(如右下图),因为每次操作总是一个黑格与一个白格同时加1或减1,所以无论进行多少次操作,白格内的数字之和减去黑格内的数字之和总是常数.由原题左图知这个常数是8,

由此解得A=9.

4. 1997次

将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态,由不亮变亮.而第一列每格的灯都改变1997次状态,由不亮变亮.

如果少于1997次,则至少有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态.

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