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中考数学每天2题(44)

发布时间:2014-06-04 14:23:56  

每天2题 (44)

命题者 吴剑宇

1.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).

⑴△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______; ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求

①当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;

②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;

⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时,存在最大值,并求出最大值.

2.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一点(与A、B不重合),EF⊥CE交AD于点F,过点E作∠AEH=∠BEC,交射线FD于点H,交射线CD于点N.

(1)如图1,当点H与点F重合时,求BE的长;

(2)如图2,当点H在线段FD上时,设BE=x,DN=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)连接AC,当△FHE与△AEC相似时,求线段DN的长.

B

F (H

N

D C

图1

A B F N D C 图2 A B F D 备用图

1解:⑴ x,D点

⑵ ①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=

②分两种情况:

Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,

△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,

∵∠FNC=∠FCN=30°,∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-6. 由于在Rt△NMG中,∠G=60°,

所以,此时 y=2x; 4272939x-(3x-6)2=?. x?x?82248

Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上, △EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,

∵EC=6-x,

∴y=239(6-x)2=. x?x?8228

2x在x>0时,y随x增大而增大, 4⑶当0<x≤2时,∵y=

∴x=2时,y最大=3;

当2<x<3时,∵y=?

当3≤x≤6时,∵y=

∴x=3时,y最大=

综上所述:当x=18729399在x=时,y最大=; x?x?77822239在x<6时,y随x增大而减小, x?x?8229. 81893时,y最大=. 77

B E F 图2 图1

C

2解:(1)∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠BEC=90° ∵∠AEH=∠BEC,∴∠BEC=45° ∵∠B=90°,∴BE=BC ∵BC=3,∴BE=3

(2)过点E作EG⊥CN,垂足为点G ∴BE=CG

∵AB∥CN,∴∠AEH=∠N,∠BEC=∠ECN ∵∠AEH=∠BEC,∴∠N=∠ECN,∴EN=EC ∴CN=2CG=2BE

∵BE=x,DN=y,CD=AB=4 ∴y=2x-4(2≤x

≤3)

(3)∵∠A=90°,∴∠AFE+∠AEF=90° ∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠BEC=90° ∴∠AFE=∠BEC,∴∠HFE=∠AEC 当△FHE与△AEC相似时 ①若∠FHE=∠EAC

∵∠BAD=∠B,∠AEH=∠BEC ∴∠FHE=∠ECB,∴∠EAC=∠ECB

∴tan∠EAC=tan∠ECB,∴

BC

BE

AB

BC

3

BE

BE=

9

14

3

,∴

4

,∴DN=

2

②若∠FHE=∠ECA,作EG⊥CN于G,交AC于O ∵EN=EC,EG⊥CN,∴∠1=∠2

∵AH∥EG,∴∠FHE=∠1,∴∠FHE=∠2 ∴∠2=∠ECA,∴OE=OC

设OE=OC=3k,则AE=4k,AO=5k ∴AO+OC=8k=5,∴k=5

8

∴AE=

5

BE=

3

2

2

,∴CN=3,∴DN=1

综上所述:线段DN的长为1

2 或1

A B

F N D

G C

B

F N D

C

A B

F

D

N

G

C

H

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