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三角形专题2011年5月

发布时间:2013-11-28 10:27:20  

人教版

图形与几何—三角形专题

天津市北辰区普育学校 苗红英

人教版《义务教育课程标准实验教科书· 数学(七~九年级)》

圆 四边形

图形与变换 投影与视图

三角形
线与角

图形与几何

统计与概率

数与代数 四大领域

实践与综合应用

初 中 数 学

编写意图 体例安排 内容标准

内容结构 立体整合 教学建议

说教材 说教材内容

说课标
课标要求

说建议

评价建议

三 角 形 专 题

课程资源 开发利用

一、说课标

1、新课程标准对三角形专题 的基本要求

在探索图形的性 质中,初步建立 空间观念,发展 几何直觉。

数学思考

解决问题

尝试从不同角度 寻求解决问题的 方法并能有效地 解决问题;体会 在解决问题的过 程中与他人合作 的重要性。

知识与技能 课标要求
经历探索三角形基本性质的 过程;掌握三角形的基本性 质;掌握基本的识图、作图 等技能;体会证明的必要性, 能证明三角形的基本性质; 掌握基本的推理技能。

情感与态度

三 角 形 专 题

认识通过观察、实验、 归纳、类比、推断可以 获得数学猜想;体验数 学活动充满着探索性和 创造性;感受证明过程 的严谨性以及结论的确 定性。

一、说课标

2、三角形专题的内容标准

体验勾股定理的探索 过程,会用勾股定理 解决边长问题;会用 勾股定理的逆定理判 定直角三角形。

了解等边三角形的概念并探索其性质; 探索并掌握等腰三角形的性质和判定。 了解等腰三角形的有关概念; 了解全等三角形的概念 和性质;探索两个三角 形全等的条件。

探索并掌握直角三角形的性质和判定
了解直角三角形的有关概念;

三角形
了解三角形的有关概念和性质;

三角形之间 的关系

内容标准

会画任意三角形的中线、高、角平分线; 了解三角形的稳定性; 探索并掌握三角形中位线的性质。

三 角 形 专 题

了解两个三角形相似的概念; 探索两个三角形相似的条件。 了解图形的位似;能够利用 位似将一个图形放大或缩小。

二、说教材

3、编写意图

教材设置了思考、探究、 讨论等栏目引导学生自主 探索,激发学生进行思考, 促进合作交流。

如介绍勾股定理的几个著名证 法,使学生感受数学证明的灵 活、优美与精巧,感受勾股定 理的丰富文化内涵。

通过让学生观察 实际生活中的图 形,加强对图形 的直观认识和感 受,从中“发现” 几何图形,归纳 出几何图形的基 本特征,从而更 好地“把握图 形”。

编写意图

老教材偏重于逻辑 推理,纯理论题占 大多数;新教材对 于推理能力的培养, 按照“说点儿 理”“说理” “简 单推理”“符号表 示推

理”等不同层 次分阶段地安排, 逐步达到《课标》 要求。在七年级主 要采取渗透说理的 方式,从八年级上 学期的“全等三角 形”开始正式出现 “证明”。

二、说教材

4、体例安排

小贴士 和云朵 观察、思考、探究、 讨论、归纳等栏目

选学栏目

正 文
章前图 引言

小结

章 前

章 末 体例安排 三 角 形 专 题
习题

二、说教材

5、知识内容及立体整合

三角形之间 的关系 三角形与其它 图形的关系

三角形

知识内容

三 角 形 专 题

三角形知识内容之间的关系 等边三角形

相似三角形
拓展 和 延伸 相似比 为1时

解直角三角形

等腰三角形

锐角三角函数 勾股定理

全等三角形

特殊三角形

三角形
领域间的

函数 联系和综合

三 角 形 专 题

八上 第11章全等三角形 第12章轴对称 等腰三角形

八下第18章勾股定理

论证几何开始 实验为主 出现推理
七下 第7章三角形

论证几何向 计算几何过渡 淡化证明 回归自然
九下第27章相似 第28章锐角三角函数

各年级的 侧重点不同

三 角 形 专 题

七年级下册 第七章三角形 七下第五章相交线平行线 平行线性质与平角定义 七上第四章图形认识初步 “两点之间线段最短”

定义
实验

两边之和大 于第三边
三角形的 稳定性

与三角形有关的角

多边形及 其内角和
应用

与三角形有 关的线段
三角形的 主要线段 中线
概念

第7章三角形

镶嵌 七 年 级 下 册
经历从实际问题抽象出 数学模型进而解决问题 的过程。



角平分线

八年级上册 第十一章全等三角形
A B 在三角形ABC和A’B’C’中, AB=A’B’ BC= B’C AC=A’C’ ∴ △ABC≌△ A’B’C’ (SSS).

A’

C

任意三角形

B’

C’

对应边相等

对应角相等

三角形全等的条件

HL

全等三角形的性质

全等三角形
第11章全等三角形
全等三角形的概念

角平分线

八 年 级 上 册

性质

A 判定 C

D
AAS

P
E
B

HL

O

八年级上册 第十二章第三节等腰三角形 每 一 个 角 都 等

顶 角 和 底 角

腰 和 底 边

等 边 对 等 角

三 线 合 一

定 义

等 角 对 等 边

三 线 合 一

的三 三个 角角 形相 等

的有 等一 腰个 三角 角是 形

600

60

性质

判定

性质

判定

相关概念

等腰三角形

等边三角形
第12章等腰三角形

八 年 级 上 册

c 求斜边:? a 2 ? b 2

常见勾股数: 7、 40、41 含300角的Rt△三边 在矩形纸片ABCD中,AD=4cm, 关系: 1: 3 :2 3、4、5 8、15、17 AB=10cm,按图所示方式折叠,

求直角边:
a ? c2 ? b2

b ? c ?a
2

2

A10-X E 规律
建立方程

使点B与点D重合,折痕为EF, 含450角的Rt△三边 6、8、10 求DE的长。 关系: 1:1 : 2 5、12、13

9、12、15 9、40、41… 全等

X

知二求一 证


A

4
D

知三边定形状

B C

X
互逆定理

证明

F

勾股定理

C’

勾股定理的逆定理
A

C

B

∵Rt△ABC ∠C=90° 第18章勾股定理 ∴BC2+AC2=AB2

∵△ABC中BC2+AC2=AB2
B

C

△ABC 是Rt△,且∠C=90°

赵爽弦图 毕答哥拉斯 茄菲尔德

八 年 下 册

九年级下册 第二十七章 相似
对应角相等 对应边成比例
对应中线的比=对应高的 比=对应角平分线的比= 相似比 周长的比=相似比 面积的比=相似比的平方
A字型 X字型

相似三角形 的性质

三边对应 平行 成比例 两边成比例 相似三角形 且夹角相等 的判定

两角对 应相等

相似三角形 图形的相似
第27章相似

相似三角形 的应用举例

测量方面

位似 画法、性质 用坐标表示 位似变换
位似中心是原点 对应点的坐标比 为k或-k

相似形

相似多边形
对应角相等, 对应边成比例, 周长的比=相似比 面积的比=相似比的平方

九 年 级 下 册

两图形位似 对应顶点的连线 交于一点 对应边平行

A c

b

C

a

对边 sin a ? 斜边 邻边 cosa ? 斜边 对边 tan a ? 邻边 B

正 弦

余 弦

正 切

求 边

求 角 俯仰 角角

计算
解直角三角形

方 位 角

定义 锐角三角函数

坡 度

应用

特殊值的运算
三角函数 30° 45° 60°

第28章锐角三角函数

2010天津中考题

sin a

1 2
3 2
3 3

2 2

cosa
tan a

3 2

2 2

1 2

1

3

九 年 级 下 册

七年级-八年级-九年级

八上、12

八下、18

九下、28 八下、四边形

边角关系

七下、7

角的关系

直角三角形 七 九 年 级 —

边和其他线段 的关系

九下、27

多边形
正多边形的计算转化 为解直角三角形问题 应用三角形全等知识 证明特殊四边形性质

应用三角形内角和求 多边形的内角和 三角形的外接圆 三角形的内切圆

四边形

三角形
由平行四边形的性质证 明了三角形的中位线定 理。由三角形中位线定 理又能得到到梯形中位 线定理。 由矩形的性质得到” 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 ”。


垂径定理的计算转化为 解直角三角形问题。 利用圆周角定理、切线 长定理可得到等腰三角 形和直角三角形。

图三 形角 的形 关与 系其 他

三、说建议

6、教学建议

丰富多彩的图形世界给三角形的 以画思路图的方式说明证明题的思考方法(如: 学习提供了大量真实的素材,教 顺推、逆推、两头凑)启发学生自己说思路。 例题:已知:如图,AB=CD 学时要注意联系实际,从实际出 BC=DA E、F是AC A A′ 上两点,且AE=CF 求证:BF=DEA′ . 1、注重联系实际 A 发引入概念,并将所学知识应用 到实际生活中。如,用全等和相 分析:由已知可用SSS证△ABC≌△CDA B 似的知识解决测量问题。 B′ C C′ B C B′ D ∠DAC=∠BCA 或 ∠DCA=∠BAC
A B C′ B′

C B C B′

C

F

2、让学生经历数学知识的形成过程 E △BCF≌△DAE或△ABF≌△CDE
全等证明不容易,三组元素要齐备. A′ A 要证明BF=DE A′ 要想证明变简单,尽量找出相等边. 如等腰三角形“等边对等角”、“三线合一 A′ A A A′ 还差条件不用急,利用等角来补齐. B C ”性质的得出,可以先让学生剪出等腰三角 C′ B′ 公共边角对顶角,直接应用不用说. 3、注重分析思路,让学生学会思考问题 C 形,并进一步利用轴对称的性质思考相等的 B B B′ B′ C A′ 两边一角要正确,须是两边和夹角. 线段和相等的角,发现等腰三角形的性质。 利用边角证全等,反之全等证边角. 由操作过程得到启发:通过做出等腰三角形 的对称轴得到两个全等三角形,从而利用全 等证明等腰三角形的性质。 4、善于总结技术口决和基本图形
C′

A

B

5、关注学生的学习兴趣和参与程度

三、说建议

7、评价建议

1.确定评价内容时应注意勾股定理及其逆定理的应用等主要内容并突出重点。 2.本章涉及到数式变形和方程,要注意这些数学思想方法及建模能力考查。
对知识与技能的评 价应侧重于在三角 形全等的判定、性 质和角平分线性质 的运用上,同时还 要有一定数量的实 际问题。

十八章 勾股定理

十二章 等腰三角形

等腰三角形有关知识的 评价应该突出用轴对称 轴对称 解决实际问题这条主线

十一章 全等三角形
四大领域 评价建议

二十七章 相似

七章 三角形
1、评价时看学生是否了解与三角形 的概念、性质和公式有关的实际背 景,能否运用概念、性质和公式解 决简单的问题。

2、注意对简单的推理能力的评价。

三 角 形 专 题

二十八章 锐角三角函数
评价时要注意考查知识 的形成过程,关注锐角 三角函数与几何图形之 间的关系,重视解直角 三角形在实际问题中的 应用。

对知识评价 应侧重在三 角形相似的 判定,相似 多边形的性 质,相似三 角形的应用 和位似图形 的变换上。

三、说建议

8、课程资源的开发与利用

信息技术应用 观察与猜想

阅读与思考 实验与探究

图书馆 报刊杂志

数学课外 活动小组

选学栏目

教材 资源

数学活动

课程资源的 开发与利用

课外 资源

计算机、多媒 体、互联网

实物材料 自制教具 设备

对于巩固学生的课堂知识 和扩大知识面,对于培养 学生的理论联系实际,对 于激发学生的学习兴趣都 有好处。

三 角 形 专 题

实物模型
如:1、通过剪纸、拼图活动证明 等腰三角形性质及勾股定理。 2、利用相似三角形性质测量操场 上旗杆的长度

赵爽弦图的证明思路:
b

a

c a
b
b?a

朱实
朱实
黄实 朱实

cb 2 〓 bc 2

b a ? M a a
2

朱实

a
P

b b

N

信息技术应用 观察与猜想

阅读与思考 实验与探究

图书馆 报刊杂志

数学课外 活动小组

选学栏目

教材 资源

数学活动

课程资源的 开发与利用

课外 资源

计算机、多媒 体、互联网

实物材料 自制教具 设备

对于巩固学生的课堂知识 和扩大知识面,对于培养 学生的理论联系实际,对 于激发学生的学习兴趣都 有好处。

三 角 形 专 题

实物模型
如:1、通过剪纸、拼图活动证明 等腰三角形性质及勾股定理。 2、利用相似三角形性质测量操场 上旗杆的长度


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