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1.4.3《正余弦函数的性质》第二课时 2

发布时间:2013-12-14 13:44:58  

1.4.3《正余弦函数的性质》

教学目标
? 1、理解正弦函数的定义域、值域、最值、 周期性、奇偶性的意义; ? 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正 周期和单调区间; ? 教学重点:正弦函数的性质 ? 教学难点:正弦函数性质的理解与应用

第一课时 正余弦函数的定义域、值域

正弦、余弦函数的图象和性质(1)
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R)

定义域 x?R 值 域 y?[ - 1, 1 ]

y=cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

例1、下列各等式能否成立?为什么? (1)2sinx=3; (2)sin2x=0.5

?1 ? sin x ? 1
例2、设sinx=t-3,x∈R,求t的取值范围。

例3、求下列函数的定义域

1 ?1?y ? 9 ? x ? sin x
2

?? 3,0? ? ?0,3?

1 ?2? y ? sin x ? ? lg cos x 2 ? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ??k ? Z ? ?6 2 ? ?

例4、求下列函数的值域
?? ? ?? ? ? ?1?y ? 2 sin? x ? ?, x ? ? , ? 3? ? ?6 2?
2

?1,2?
? 13 19 ? ? , ? ? 4 4 ? ?

7 ?2?y ? ? sin x ? 4 sin x ? 4

?3?y ? 2 cos

2

3 sin x ? 1 ?4?y ? 3 sin x ? 2

x ? 5 sin x ? 4 ?? 9,1?
4 (??, ] ? [2,??) 5

点滴积累 丰富人生

王新敞 特级教师 源头学子小屋
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第二课时 正余弦函数的周期性、奇偶性

生活中有哪些周期现象?
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 如日出日落、月圆月缺、四季交替 ,人的脉搏大约每 隔0.85秒跳一跳,眼睛大约每隔4秒眨一眨,人的体

力从弱到强又从强到弱存在着23天的变化周期,人的
情绪从低到高又从高到低存在着28天的变化周期,人 的智力则存在着33天的变化周期。

相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象 数学中又有哪些周期现象呢?

思考:y=sinx,x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢? 你能用三角函数线解释吗?
y
1

?4?
? 7? 2

?3?
? 5? 2

?2?
? 3? 2

??
?

?
? 2
-1

2?
3? 2 5? 2

3?
7? 2

4?

? 2

x

sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)
将其抽象成一般的函数表达式?

f(x ? 2k?) f(x),(k ? Z) ?
在正弦函数中,当任意一个自变量x的值增加 2? 的整数倍时,函数值重复出 现,数学中用周期性刻画这种周而复始的变化规律

思考:能否依据正弦函数的周期 性变化,定义一般的周期函数?

周期函数定义
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非


零常数T,使得定义域内的 每一个x值,都满
足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做

周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。

等式 sin ( ? ) sin 能否说明 ? 4 2 4 sin x ? 2kπ ) sin x,x ? R,k ( ?

?

?

?

?

?0

2

是正弦函数y ? sin x的周期?为什么?

定义中需要把握的关键点:

(1)自变量的任意性
(2)周期是非零常数 (3)周期函数的周期不止一个

周期性
对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周 期中存在一个最小的正数,那么这个最小的 正数就叫做它的最小正周期。无特殊说明,教材所指周期
都是最小正周期

判断下列说法的正确性
1、周期函数的周期唯一 2、常数函数f(x)=5是周期函数
问:该函数的周期是? 非零实数

3、周期函数一定有最小正周期 4、周期函数的定义域一定是无限集
不是R

sin x的周期: ? 4?、 2?、?、?、? ...... ...... ? 2 4 6

1.周期函数的定义域就应是无限集。 对于定义域内的任意x,依周期函数性质, 当然有f(x)=f(x+T),所以,x+T当然也在 定义域内。 2.定义域的无限性,并不是说它取到所有数。 举个例子,正数也是无限的,里面没有负 数吧,它就不是全体实数。 再比如说,正切函数,它的定义域是 :(-π/2+kπ,π/2+kπ) ,它当然也是无限集了,并且是周期 为π的周期函数,它定义域就不是全体实数。

理解了周期函数的概念,接下 来进一步研究三角函数的周期性

一、 正弦、余弦函数的周期性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R)

周期性
y=cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

T = 2?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

例1、利用定义求下列函数的周期:

( )y ? sin 3x 1
x (2)y ? sin 4

2? T? 3

T ? 8?
T

f(x ?

) f(x) ?

问:有无快速求解的方法?

例2、分析下列函数是否为周期函数,若 是,求出周期

?1? y ? sin x ?2? y ? sin x

T ??

非周期函数

1 ?3? y ? cos x ? 1 2

T ? 4?
)

?4? y ? sin(2 x ?

?
3

T ??

1 T ? 4? (5) y ? sin(? x ) 2 y ? A sin(?x ? ? )以及 y ? A cos(?x ? ? ) 结论: 2? 的周期为 T ? (A ? 0,? ? 0) ?
加绝对值的原因?

求周期的方法:1、定义法 2、图像法

三角函数第三课时 ______三角函数的
奇偶性对称性

思考:证明函数奇偶性的方法? 1.定义法 2.图像法

二、 正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)= - sinx (x?R) cos(-x)= cosx (x?R)

y=sinx (x?R) 是奇函数 定义域关于原点对称 y=cosx (x?R) 是偶函数

判断奇偶性的前提 y
1 -2? -?

-4?

-3?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x


例1、分析下例函数的奇偶性

?1? f ( x) ? sin(2 x ? 3? ) ?2? f ( x) ? sin(3x ?
?
2 ) 1 ? sin x
2

奇函数

偶函数

?3? f ( x) ? lg ?sin x ?

?

奇函数 非奇非偶函数

1 ? sinx - cos2 x ?4? f ( x) ? 1 ? sin x 定义域 ?5? f ( x) ? 1 ? cos x ? cos x ? 1 e ?e ?6? f ( x) ? sin x ?sin x e ?e
sin x ?sin x

既奇又偶函数
奇函数

三角函数的对称性

正弦、余弦函数的图象
y
1

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象

y
1

余弦曲 线
? 2? 3? 4? 5? 6?

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

x

y ? sin x, x ? R 的对称轴为x ? ? k? , k ? Z ,
对称中心为

?

?k? ,0?(k ? Z )


2

x ? k? , k ? Z y ? cos x, x ? R 的对称轴为
?? ? ? k? ,0 ?(k ? Z ) 对称轴是对应函数图像 对称中心为 ? 2 ? ?
的最高点或者最低点

练:导学案

对称中心是 与x轴的交点
在此处f ( x) ? 0

函数A sin( ?x ? ? )对称轴的求法:
令sin (?x ? ? ) ? ?1, 得到?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z )

2k? ? ? ? 2? 所以函数的图像的对称轴就为x ? 2?

函数A sin( ?x ? ? )对称中心的求法:
令sin (?x ? ? ) ? 0, 得到?x ? ? ? k? (k ? Z ) 所以函数的图像的对称中心就为( k? ? ?

?

, 0)

思考: 1.函数A cos(?x ? ? )对称轴的求法?

2.选择题如何解决更加简单?

例1、函数 y ? sin( 2 x ? 6 ) 图象的一条对称轴方程是


?

B



对称轴处取得最值(最小或者最大)

f ( x) ? ?1

( A) x ? 0
(C ) x ? ?

?
6

2 ( B) x ? ? 3

( D) x ?

?

3

练1:导学案拓展案1

例2.函数y ? cos( 2 x ? )的图像的一个对称中心 6 ( B )
在此处f ( x) ? 0

?

( A)( ,0) 12

?

( B )( ,0) 3
( D )( ,0) 6

?

(C )( ?

?
6

,0 )

?

提炼升华

奇函数关于原点对称 (对称中心为原点)

为奇函数 ? ? k? (k ? Z ) ? f ( x) ? sin( ?x ? ? ) ? f ( x) ? sin( ?x ? ? ) 为偶函数 ?? ? k? ? (k ? Z ) 2 f ?0? ? 0 ?sin ? ? 0 ?? ? k? ?k ? z ? ? f ?0? ? ?1? sin ? ? ?1?? ? k? ? ?k ? z ? ? 2 f ( x) ? cos(?x ? ? )为奇函数 ?? ? k? ? 2 (k ? Z ) f ( x) ? cos(?x ? ? )为偶函数 ? ? ? k? (k ? Z )
记忆方法:由于正弦函数为奇函数,故要其为奇函数,应该使其函数名不变 练

拓展练习:
已知 f (x) 是定义在 - 3,3 上的奇函数,当 ( )

0? x?3
?

时的图像如图所示,那么不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集是( B )

A.( ?3,? ) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2 ,?1) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2 C.( ?3,?1) ? (0,1)

? (1,3) D.( ?3,? ) ? (0,1) ? (1,3) 2 B.( ?

?

y

?

?

1

2

3

x

?

第三课时 正余弦函数的单调性

y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1
y=sinx (x?R)

1

-1

? ? ?? ? ? 增区间为 [[ +2k?, 2 +2k?],k?Z , ] 2 2 2 3? ? ? 3? 减区间为 [[ +2k?, +2k?],k?Z , ] 2 2 2

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象

y ? sin x的增区间: [?

?

? 2k?, ? 2k? ] 2 2
y
1

?

(k ? Z)

?4?
? 7? 2

?3?

?2?
? 5? 2 ? 3? 2

??
?

?
? 2

2?
3? 2 5? 2

3?
7? 2

4?

0
-1

? 2

x

3? y ? sin x的减区间: ? 2k?, ? 2k? ] [ 2 2

?

(k ? Z)

余弦函数的单调性

y
1

-3?

5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
cosx

-? -1



?

?
2



0
1



? 2



?
-1

0

0

y=cosx (x?R) 增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z 减区间为 [2k?, 2k? + ?], k?Z , 其值从-1增至1 其值从 1减至-1

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0: (1) sin( ?
?

? ? ) – sin( ? ) 18 10
? ? ?
2

解:? ? 2 ? ? 10 ? ? 18 ? sin( ?
5

又 y=sinx 在[?

?
10

) < sin(?

? ) 18

即:sin(? 18 ) – sin(? 10 )>0
17? cos( ? 17? )=cos 4 4

, ]上是增函数 2 2 ? ?

? ?

(2) cos(? 23? ) - cos(? 解: cos( ? 23? )=cos 23? 5 5 ?
0?

从而 cos(? 23? ) - cos(? 5

?

?

17? ) 4

=cos

?

cos

3? 5

4

?

? <cos 4

3? ?? 5

3? 5

=cos

? 4

又 y=cosx 在 [0,? ]上是减函数 即: cos
17? ) 4

3? 5

– cos

?

4

<0

<0

比较三角函数值大小的方法: 1.先将不同名的转换为同名的三角函 数值 2再将单调区间不同的转换到同一单 调区间 3.最后利用单调性比较大小即可 (也可利用画三角函数线的方法,通 过比较三角函数线的数值比较大小)

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间: (1) y=2sin(-x ) 解:y=2sin(-x ) = -2sinx

函数在 [ ?
函数在 [

解: 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? ? ?

3? 4 2 8 8 3? 7? ? ? 3? k? ? ? x ? k? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 8 8 2 4 2 ? 3? 所以:单调增区间为 [k? ? , k? ? ] 8 8 3? 7? 单调减区间为 [k? ? , k? ? ] 8 8 k? ? ? x ? k? ?

(2)

? y=3sin(2x- 4

? 2 ? 2

+2k?, +2k?],k?Z 上单调递减 2 +2k?, )
3? 2

?

?

+2k?],k?Z上单调递增
?

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 9? sin2x 8 ) 解: ? 0 ? tan 9? ? 1
8

单调减区间为 单调增区间为

[k? ?

?
4

(4) y ? log1 解: 定义域
2

1 1 ? [ cos( x ? )] 2 3 4

4 ? 3? [k? ? , k? ? ] 4 4

, k? ?

?

? 1 ? ? 2k? ? ? x ? ? 2k? ? 2 3 4 2 9? 3? ? 6k? ? ? x ? 6k? ? ,k ? Z 4 4 9? 3? ? 1 ? 当 2k? ? ? x ? ? 2k? 即 6k? ? ? x ? 6k? ? , k ? Z 为减区间。 2 3 4 4 4 x ? ? 9? 3? 当 2k? ? ? ? 2k? ? 即 6k? ? ? x ? 6k? ? , k ? Z 为增区间。 3 4 2 4 4

?

]

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
? (5) y = -| sin(x+ )| 4 ? 解: 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下: 4
y 1
?2?
? 3? 2

y=|sinu|
? 2

??

?

?
2

O -1

?

3? 2

2?

u

即: 增区间为 u ? [k? ? , k? ], k ? Z 2 减区间为 u ? [k? , k? ? ? ], k ? Z
?

?

y=sinu y=- |sinu|

2 3? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z y为增函数 4 4 ? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z y为减函数 4 4

形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)求单调性的骤
1.若? ? 0, 先利用诱导公式将其转换为大于零的形式

2.转换后观察系数A,若A ? 0, 三角函数的增区间 就是该函数的增区间,若A ? 0, 三角函数的增区间 就是该函数的减区间

3.再将转换后的A sin( ?x ? ? )中的ωx+φ看成 一个整体讨论其单调性



结:

定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性、单调性
函数 奇偶性 [? 正弦函数 奇函数 单调性(单调区间)
? ? +2k?, 2 2 ? 3? +2k?, 2 2

+2k?],k?Z 单调递增

[

+2k?],k?Z 单调递减
单调递增

余弦函数

偶函数

[ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递减

求函数的单调区间: 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

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