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04--05(下)期末试题

发布时间:2013-12-21 13:40:11  

04 ? 05高数(下)期末试卷
一、填空(3分 ? 6=18分)
1.若f (u, v, w) ? u ? v ? wu?v , 则f ( x ? y, x ? y, xy ) ?

2.若z ? ln(1 ? x y ), 则dz |(1,1) ?
2 2

3.曲面2 x2 ? y ? 3z 2 ? 14在点(-1,0,2)处的切平面方程

4.幂级数?
n=0

?

的收敛域 n2 ? 3

xn

5.微分方程y?? ? 2 y? ? y ? 0的通解

6.D是曲线y ? x , y ? x 2围成的区域,则?? f ( x, y )d?
D

在直角坐标系下的二次积分是

二、解下列各题(6分 ? 7=42分) 1.设z ? f ( x, y )的所有一阶偏导数连续,u ? xy, x ?z ?z v ? , 将方程x ? y ? 0变换成以u, v为自变 y ?x ?y 量的方程

2.验证式子(3x 2 y ? 8 xy 2 )dx ? ( x3 ? 8 x 2 y ? 12 ye y )dy 在整个xOy平面内是某一函数u ( x, y )的全微分,并 求出这样的一个u ( x, y ).

3.将函数f ( x) ? 1 ? x (0 ? x ? ? )展成正弦级数, 并指出展开式成立的范围.

4.求半球面z ? 6 ? x 2 ? y 2 被抛物面z ? x 2 ? y 2 所截部分的面积.

5.求u ? x 2 ? y 2 ? z 2 在点P (1,1,1)处沿曲线x ? t , y ? t 2 , z ? t 3在该点的切线正方向(对应于t增大 的方向)的方向导数.

6.化学反应中某物质的含量随时间的变化率与其 当时的含量成正比,比例系数k ? ?0.6,时间以 小时为单位,初始时刻该物质含量为100克,求 多少时间后该物质含量仅为初始量的10%。

7.金属板上点( x, y )处的温度T ( x, y ) ? xy, 一个蚂蚁 在板上沿中心在原点半径为1的圆周上漫步,蚂蚁 遇到的最高与最低温度是多少?

三、解下列各题(8分 ? 5=40分) 1 1.将函数y ? 展成x的幂级数,并指出展 2 (2 ? x) 开式成立的范围。

2.求微分方程y?? ? y ? e? x cos x的通解

? ? ? 4 2 3 3.求力F ? (2 xy ? y ? 3)i ? ( x ? 4 xy ) j 将质点沿 曲线y ? ? x 2 ? 4, 从点(?2, 0)移动到(2, 0)所作的功。

4.计算三重积分??? ( x 2 ? y 2 )dv, 其中?:由曲面
?

2 z ? x ? y , z ? 2, z ? 8围成。
2 2

5.设对于半空间x ? 0内任意的光滑有向闭曲面S, 都有

? xf ( x)dydz ? xyf ( x)dzdx ? e ??
S

2x

zdxdy ? 0

其中S 方向为外侧,函数f ( x)在(0, ??)内有连续 一阶导数,且f (1) ? 0, 求f ( x).


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