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好题集锦第四组

发布时间:2013-12-22 09:42:26  

好题四
谢谢支持了



一题
如图 6,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E 是正方形 BCC1 B1 的中心,点

F 、 G 分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点 E , G 在平面 DCC1 D1 内的正投
影. (1) 求以 E 为顶点, 以四边形 FGAE 在平面 DCC1 D1 内的正投影为底面边界的棱锥的 体积; (2)证明:直线 FG1 ? 平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值.

第一题答



解: (1) 依题作点 E 、G 在平面 DCC1 D1 内的正投影 E1 、G1 , E1 、 1 分别为 CC1 、DD1 则 G 的中点, 连结 EE1 、 1 、 其底面 DE1 FG1 EG ED 、 1 , DE 则所求为四棱锥 E ? DE1 FG1 的体积, 面积为

1 1 ? 2 ? 2 ? ? 1? 2 ? 2 , 2 2 1 2 又 EE1 ? 面 DE1 FG1 , EE1 ? 1 ,∴ VE ? DE1FG1 ? S DE1FG1 ? EE1 ? . 3 3
S DE1FG1 ? S Rt ?E1FG1 ? S Rt ?DG1E1 ?
(2) D 为坐标原点,DA 、DC 、DD1 所在直线分别作 x 轴,y 轴,z 轴, E1 (0,2,1) 、 以 得

G1 (0,0,1) ,又 G(2,0,1) , F (0,1,2) , E (1,2,1) , 则 FG1 ? (0,?1,?1) , FE ? (1,1,?1) ,
FE1 ? (0,1,?1) ,
∴ FG1 ? FE ? 0 ? ( ?1) ? 1 ? 0 ,FG1 ? FE1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , FG1 ? FE , 1 ? FE1 , 即 FG 又 FE1 ? FE ? F ,∴ FG1 ? 平面 FEE1 . (3) E1G1 ? (0,?2,0) ,EA ? (1,?2,?1) ,则 cos ? E1G1 , EA ??

E1G1 ? EA E1G1 EA

?

2 6

, 设异面

直线 E1G1与EA 所成角为 ? ,则 sin ? ?

1?

2 3 ? . 3 3

第二题
2 已 知 曲 线 C : y ? x 与 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 交 于 两 点 A( xA , y A ) 和 B( xB , yB ) , 且

x A ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为

D .设点 P(s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

第二题答



解: (1)联立 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ 的

1 5 2 2

1 5 ?s ?t 1 5 2 2 中点 M 坐标为 ( x, y ) , x ? 则 , s ? 2x ? , t ? 2 y ? , 即 又点 P 在曲线 ,y ? 2 2 2 2

C 上,
5 1 11 ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和 2 2 8 1 1 5 11 2 点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? , ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ? 2 4 4 8 1 5 ( ? ? x ? ). 4 4 51 2 2 2 y ?0, (2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 49 7 2 2 即圆 E : ( x ? a) ? ( y ? 2) ? ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 25 5 51 2 2 2 ?0 由图可知, 0 ? a ? 2 时, 当 曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? xA D 25

o 与点 D 有公共点;
∴ 2y ?

xB

x

当 a ? 0 时, 要使曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

51 只需圆心 ? 0 与点 D 有公共点, 25
7 2 7 ,得 ? ? a ? 0 ,则 a 的最 5 5

E 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?
7 2 . 5

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

小值为 ?



三题
已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处 取得极小值 m ? 1(m ? 0) .设 f ( x) ?

g ( x) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.

第三题答案
解: (1)依题可设 g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? m ? 1 ( a ? 0 ),则 g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ; 又 g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行

? 2a ? 2

a ?1
g ? x? x ? x? m ?2 , x

? g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? m ? 1 ? x 2 ? 2 x ? m , f ? x ? ?

2 2 设 P xo , yo ,则 | PQ | 2 ? x0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? x0 ? ( x0 ?

?

?

m 2 ) x0

m2 ? 2 x ? 2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m x0
2 0

m2 2 当且仅当 2 x ? 2 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 x0
2 0

当 m ? 0 时, (2 2 ? 2)m ? 当 m ? 0 时, ( ?2 2 ? 2) m ?

2 2

解得 m ?

2 ?1

解得 m ? ? 2 ? 1

m 2 ? 2 ? 0 ( x ? 0 ),得 ?1 ? k ? x ? 2 x ? m ? 0 x m m 当 k ? 1 时,方程 ? *? 有一解 x ? ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2
(2)由 y ? f

? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

? *?

当 k ? 1时,方程 ? *? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0, k ? 1? 函数 y ? f

1 , m
?2?

? x ? ? kx 有两个零点 x ?
1 , m

1 ? 1 ? m(1 ? k ) 4 ? 4m(1 ? k ) , x? 即 ; k ?1 2(1 ? k )

若 m ? 0 , k ? 1? 函数 y ? f

? x ? ? kx 有两个零点 x ?

?2?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) 4 ? 4m(1 ? k ) , x? 即 ; k ?1 2(1 ? k )
k ? 1? 1 , m

当 k ? 1时,方程 ? *? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f

? x ? ? kx 有一零点 x ?

1 ? ?m k ?1 2

综上,当 k ? 1 时, 函数 y ? f 当 k ? 1?

? x ? ? kx 有一零点 x ? ? m ;

1 1 ( m ? 0 ),或 k ? 1 ? ( m ? 0 )时, m m

函数 y ? f 当 k ? 1?

? x ? ? kx 有两个零点 x ?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1

1 1 ? ?m . 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? m k ?1



四题
已 知 曲 线 Cn : x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0(n ? 1, 2,?) . 从 点 P(?1, 0) 向 曲 线 Cn 引 斜 率 为

kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5

?? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

第四

题答案

解 :( 1 ) 设 直 线

ln : y ? k n ( x ? 1) , 联 立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得

2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 , 则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 , ∴

kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 kn n2 n 2n ? 1 n x ? ? , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( x n ? 1) ? 2 n ?1 1 ? k n (n ? 1) 2 n ?1 2 n

n 1 ? xn n ?1 ? ? ( 2) 证 明 : ∵ n 1 ? xn 1? n ?1 1?
x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

1 2n ? 1

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1
1 ? xn 1 ? xn

1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x 2 n ?1 ?

知识改变命运,学习成就未来
xn ? yn 1 ? xn 1 ? ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ' ( x) ? 1 ? 2 cos x , 2n ? 1 1 ? xn
2 ? ? ,给定区间 (0, ) ,则有 f ' ( x) ? 0 ,则函数 f (x) 在 (0, ) 2 4 4

由于

令 f ' ( x) ? 0 ,得 cos x ?

上 单 调 递 减 , ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 x ?

? 2 sin x 在 (0, ) 恒 成 立 , 又 4

0?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4
1 ? xn x 1 1 ? 2 sin n . ? 2 sin ,即 1 ? xn yn 2n ? 1 2n ? 1

则有

第五题
已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x 2 ? ax ? b)e? x 如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; 若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), (? , ??) 单调减少,证明

? ? ? <6.

第五题答案
Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x3 ? 3x 2 ? 3x ? 3)e ? x ,故

f '( x) ? ?( x3 ? 3x 2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x 2 ? 6x ? 3)e? x ? ?e? x ( x ?3 ? 9 x) ? ? x( x ? 3)( x ? 3)e? x
当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0. 从而 f ( x)在(??, ?3), (0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少. 0),(3, ?) ? (Ⅱ) f '( x) ? ?( x3 ? 3x 2 ? ax ? b)e? x ? (3x 2 ? 6 x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a]. 由条件得: f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x 2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 ( ? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.


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