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自测题四

发布时间:2014-01-02 14:40:06  

自测题四

一、 解:(1)

??11???10???21?(E1)?E1?E?????10???10??E1?E2,

00??????T1

??10???11???21?T(E2)?E2?E2???????E1?E2,

????10??00??10?

?00??00??00?T(E3)?E3?E3?????01???02??2E3, 01??????

所以在E1,E2,E3下的矩阵为

?110??. A??110????002??

(2) 设有一组基e1,e2,e3,从E1 ,E2 ,E3到e1 ,e2 ,e3的过渡矩阵设为C ,即

(e1,e2,e3)?(E1,E2,E3)C

再设A在e1 ,e2 ,e3下的矩阵为B, 则 B?CAC.

要使B为对角阵,即找一个可逆矩阵C,使CAC为对角阵. 因为 ?1?1

??1

?I?A??1

0?100??(??2)2, ??10??2

(0,0,1)T. 对??0,求得特征向量??1,1,0?T,对λ=2,求得两个线性无关的特征向量?1,1,0?T,

令 ??110???C??110? ,得 C?1

?001????1??2?1???2

?0

??12120?0??0? ,则B?C?1AC为对角阵. ?1???

由 ??110??? ?e1,e2,e3???E1,E2,E3?110 ,可得 ????001??

?1?1???10??0?1? 1??E1?E2?????10???10? 00??????

??11???10???21?e2?E1?E2?????10???10? 00??????

?00?3?E3???. 01??

二、证: 易得

??1,?1??1,

??1,?2????2,?1??0, ??1,?3????3,?1??0,

??2,?3????3,?2??0,

(e2)??2,??2,?2?1,???3,?3??1, 即

(e1)??1,(e3)??3也是标准正交基,故是正交变换.

T三、解:(1)令Y?(?1,?2,0,?,0),由HX?Y ,知?HX?X;

取 ??X?XY0

X?XY0?X?Y1Y,构造初等反射矩阵 ; Y0?X?YH?I?2??T ,

则有HX?XY0?Y.

(2)?I?A???1

28??1?(??1)2?16?(??5)(??3).

因此 ?1?5,?2?3 , 所以?(A)?max?i?5; i

因为?(A)?5?6,故矩阵幂级数收敛.

四、解: 由正交矩阵行(列)向量组标准正交,得

???a2?1 2?2

?1????b2?1 ?2?

2

四组解是:

a2

?bc?0

1?a??

2?

1?b?, ?

2??1c???

2?1?

a??

2?

1?b??, ?

2?

?1c??

2?

1?

a???

2?

1?b?, ?

2??1c??

2??

?a????

?b????

?c???

121212

.

五、解: (1)

A1?max?aij?max?6,4,2??6;A

j

i?13

?

?max?aij?max?5,4,3??5 ;

i

j?1

3

A

m?

?n?maxaij?9.

?

2

因为 ?I?A????1????2? ,?1?1,?2??3?2 , 故

?(A)?max?i?2.

i

(2)

?1?3?0 , ?2?

3112

?5?0 ,故可以进行LU分解 .

(3)

易得R(A)?3,R(B)?2

,所以R(A?B)?6,B的特征根为

?1?1,?2?2 ,故A?B的特征根为

?1?1?1,?1?2?2,?2?1?2,?2?2?4,?3?1?2,?3?2?4.

(A?B)2的特征根为:1,4,4,16,4,16.

(4)∵B?2?0 ∴B可逆,且 B?1?

1?2?3??? , 2?01?

所以B?,B?,Br?均可取为:B?1?

1?2?3???. 2?01?

?1??. (5)A的Jordan标准形为:J??21???2???

(6)对应于?1?1的特征向量(0,1,1)T ,对应于?2?2的线性无关的特征向量只有一个(1,0,1)T,再求一个广义特征向量(1,1,1)T.

1??011???11????1 T???101?, T??0?11?.

??1?1??111???1?T令

令 f(A)?1 , A则

1???4. 1??2? ?1? f(J1(?1))?1;f(J2(?2)??2??

f(A)?T?diay(J1(?1),J2(?2))?T?1

??1??0??0???0?1???4?1?2?? ?011????101????111??01201??11?1???11?0?11??1?22?2?. ???4???1?1???335???1?

六、解:(1)由AX??X,即(A??I)X?0,若λ不是A的特征根,则A??I?0 ,所以(A??I)X?0只有零解,故dimV??0.

若λ是A的特征根,则A??I?0,所以(A??I)X?0有非零解. 设R(A??I)?r,则dimV??n?r.

(2)

则 设A?I?2?? 其中?为单位向量???1. TT

A2?(I?2??T)(I?2??T)?I?2??T?2??T?4??T?w?T

?I?4??T?4??T?I.

七、 证:(1)设X?R

TTm??0?,由于二次型 T XBX?XAAX??AX?T?AX??0,

所以B为半正定矩阵.

(2)当A的列向量组线性无关时,若X≠0,则AX≠0, 故XBX??AX?(AX)>0 ,即A为正定矩阵. TT

八、证:(1)λ为非奇异,λ为A的特征值,故λ≠0 , 而1为A?1的特征值,据特征值上界原理, 有 ?

1

??A?1,即??1. ?1A

(2) 对?X?0,由已知有

A?1(A?B)X?X?A?1BX

?X?A?1BX

由已知 B?1

A?1?X?A?1BX?(1?A?1B)X , 即 BA?1?1, 故知

?X

?0,

即对?X?0 , 有 A?1(A?B)X?(1?A?1B)X?0;

A?1(A?B)X?0,即A?1(A?B)X?0无非零解. 故A?1(A?B)?A?1A?B?0 , 从而A?B?0 ,即A+B可逆.

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