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【南京一轮复习】课时8 余弦定理

发布时间:2013-11-09 11:39:26  

第8课时 余弦定理

【课前自主探究】

※考纲链接

掌握余弦定理,能用余弦定理解三角形.

※ 教材回归

◎基础重现:

1.余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍第一形式: = = ; 第二形式: = = ;

2.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1) ;

(2) .

基础重现答案:

◎思维升华:

(1)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(2)已知三边,求三个角.

1.用坐标法证明余弦定理.

2.用正弦定理和两角和与差的三角函数证明余弦定理.

思维升华答案:1.证明:如图,建立直角坐标系,则A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0).

则a?(ccosA?b)?(csinA)?ccosA?csinA?b?2bccosA

所以a?b?c?2bccosA,同理可证: 22222222222

b2=a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC.

2.设abc???2R,则有a?2RsinA?2Rsin(B?C),所以a2?4R2sin2(B?C) sinAsinBsinC

?4R2(sin2Bcos2C?cos2Bsin2C?2sinBsinCcosBcosC)?4R2[sin2B(1?sin2C)?(1?sin2B) sin2C?2sinBsinCcosBcosC)]?4R2[sin2B?sin2C?2sinBsinCcos(B?C)]

?4R2sin2B?4R2sin2C?2(2RsinB)(2RsinC)cosA?b2?c2?

2bccosA.

同理可证:b=a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC. 222222

※ 基础自测

1.在△ABC

中,a?2,b?C?30?,则c?________

?222答案:1 解析:由余弦定理得c?a?

b?2abcosC?4?3?2?2cos30?1.

2.在△ABC

中,a?2,b?

?c?1,则A?b2?c2?

a2

?答案:45 解析:由余弦定理,得cosA?,∴A=45. ?22bc

3.(2010江西理数改编)E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则

tan?ECF?34答案: 解析:约定

AB=6,AC=BC=由余弦定理

再由余弦定理得cos?ECF?,则可得45

3tan?ECF?. 4

4.已知△ABC的三边长的比是2∶3∶4,则此三角形的形状是

a2?b2?c21答案:钝角三角形 解析:设最大角为C,则由余弦定理,得cosC????0,故此三角形为2ab4

钝角三角形.

5.在?ABC中,角A、B、C对应边分别是a、b、c,若a?1,b?2,则角A的取值范围是 b2?c2?a2c2?313???(c?)??0?A?. 答案:(0,]

解析:cosA?2bc4c4c266?

【课堂师生共探】

※ 经典例题

○题型一 余弦定理在解三角形中的应用

例1 (2010安徽理数)设?ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且

sin2A?sin(?B)sin(?B)?sin2B. 33

???????? (1)求角A的值; (Ⅱ)AB?AC?12,

a=b,c(其中b?c).

分析:先由题中所给的三角函数关系求出A,再利用已知的向量条件和余弦定理联立方程组来解. ??

点评:本题中的解三角形,综合用到了两角和与差的三角函数、向量的数量积以及余弦定理等知识,我们要把握好它们之间的关系来能更好的解题.

变式训练:已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,求x的取值范围.

222?x2?3?0,

解析:若3为最大边的长,则3?2?x?3,设长为3的边所对的角为?,则cos??2?2x

解得x?

x?

?x?3.

22?32?x2

?0,解得若x为最大边的长,则3?x?3?2,设长为x的边所对的角为?,则cos??2?2?

3

?x?

,故3?x?.

综上所述,x

?x?

○题型二 利用余弦定理判断三角形的形状

例2在?ABC中,满足a(bcosB?ccosC)?(b?c)cosA,试判断此三角形的形状. 22

分析:本题中既有边也有角,可利用正弦定理化成角,也可用余弦定理化成边,但化成角较为困难,故可向边转化.

解:?a(bcosB?ccosC)?(b?c)cosA, 222a2?c2?b2a2?b2?c2

22b?c?a∴ab, ?ac?(b?c)2ac2ab2bc22

化简整理,得ab?b?ac?c?0,即(b?c)(a?b?c)?0,

即b?c或a?b?c,故此三角形为等腰三角形或直角三角形.

点评:判断三角形的形状,既可以从角入手,也可以从边入手,因而可把题中的条件都化为角,也可把题中的角都化成边,当然也可能同时兼顾.

变式训练:在△ABC中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.

解一:利用余弦定理将角化为边, 22222422422222

b2?c2?a2a2?c2?b2

∵bcosA=acosB,∴b, ?a?2bc2ac

∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,∴a2=b2,∴a=b

解二:利用正弦定理将边转化为角,

∵bcosA=acosB,又b=2RsinB,a=2RsinA,∴2RsinBcosA=2RsinAcosB,

∴sinAcosB-cosAsinB=0,∴sin(A-B)=0.

∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π,∴A-B=0即A=B,故此三角形是等腰三角形.

○题型三 余弦定理在与其它知识的综合应用

例3如图,四边形AMBC内接于⊙O,在△ABC中a,b,c分别是内角A,B,C

所对边长,并且a?b?c?ab,BM=11,AM=2,求AB的长.?AB 222

分析:由题中所给式的特点可求出?ACB,从而可求出?AMB,再利用

余弦定理求出AB的长.

a2?b2?c2ab1??, 解:由余弦定理知cos?ACB?2ab2ab2

∴?ACB?60,则有?AMB?120.

在ABM中,由余弦定理,得 ??

1AB2?BM2?AM2?2BM?AMcos?AMB?121?4?2?11?2?(?)?147,

2

∴AB?点评:余弦定理在平面几何中的应用,只要在用好平面几何知识的基础上,把所要求的问题转化到三角

A形中即可.

变式训练:如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,D在边AC上,已知BC=2,CD=1,

∠ABD=45°,则AD=

D

CB

答案:5 解析:设AD?

x,则AC?1?x,AB?(1?x)?4,BD?

2222又∠ABD=45°

,∴由余弦定理,得x?5?(1?x)?4?2即3x?10x?25?0,解得x?5或x??(舍去),∴AD=5. 2 5

3

※高考新题零距离

(2010·辽宁高考题)在?ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC

(Ⅰ)求A的大小;

(Ⅱ)若sinB?sinC?1,试判断?ABC的形状.

解析:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c,即a?b?c?bc

由余弦定理得a?b?c?2bccosA,故cosA??

22222222221,A?120? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sinA?sinB?sinC?sinBsinC.

又sinB?sinC?1,得sinB?sinC?

所以?ABC是等腰的钝角三角形. 1,因为0??B?90?,0??C?90?,故B?C 2

※典型错误警示

1.在利用余弦定理研究三角形三边关系时,错误主要是对于给定三角形如锐角三角形或钝角三角形中的条件使用不到位,如例1变式.

2.在利用余弦定理判断三角形形状时,错误主要是条件不能完全用到位,不能给出最终结论,如应该是等边三角形的,只判断出是等腰三角形;是等腰直角三角形的,只判断出是直角三角形.

3.在利用余弦定理解其它方面的问题时,主要错误在于不能准备转化为三角形内的问题,如例3及其变式.

◎典型错题反思

反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程,是一种自我挑战、自我完善和自我超越,是优化解法、深化思维的有效手段,是高效的学习方法、最佳的纠错手段,是走出“题海”的最有效途径.

请整理出本课时的典型错误,找出错因,并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思!

我的错题:

错因:

反思:

※学以致用

第8课时 余弦定理

[基础级]

1.在△ABC

中,a?4,b?c?5,则最大的内角余弦值是

答案: 80

222.在△ABC

中,已知a?b??c2,则角C的大小是a2?b2?c2????答案:2

解析:cosC?,∴C?135. 2ab2ab2

3.在△ABC中,若a?b?c,则此三角形是三角形. 222

b2?c2?a2

答案:钝角 解析:cosA??0. 2bc

4.在△ABC中,已知a?5,c?4,A?60,则b?

2222答案:2? 解析:由余弦定理,得a?b?c?2bccosA,则25?b?16?2b?4??1,即2

b2?4b?9?0,解之得b

?2?.

5.在△ABC中,a?5,b?6,c?7,则abcosC?bccosA?accosB?a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b212?bc?ac?(a?b2?c2)?55. 答案:55 解析:原式ab2ab2bc2ac2

6.在平行四边形ABCD中,B?120,AB?6,BC?4,则两条对角线的长分别是

222?

答案:解析:AC?6?4?2?6?4?cos120?76,∴AC? ?

BD2?62?42?2?6?4?cos60?

?28,BD?7.在△ABC中,∠C=60°,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边,则ab________ b+cc+a

ab答案:1 解析:?∠C=60°,∴a2+b2=c2+ab,∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(c+a),∴+1. b+cc+a

8.钝角三角形的三边长为连续自然数,则这三边长分别为

答案:2,3,4 解析:设此三角形三边长分别为n?1,n,n?1,n?1?N?,由题意可得

(n?1)2?(n?1)2?n2?0,即n2?4n?2?

0,解得0?n?2?当n?2即三边长为1,2,3时不能构成三角形;当n?3即三边长为2,3, 4时满足题意;当n?4即三边长为3,4,5时三角形为直角三角形不满足题意.

[升华级]

9.(2010·湖南高考文)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,

a,则a,b的大小关系是答案:a>b 解析:

10.?ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,已知a2?b2?c2?absin2C. ⑴求角C; ⑵若c?a?1,AB ?AC ?9,求c.

解析:⑴根据余弦定理和倍角公式,a2?b2?c2?2abcosC?absin2C?2absinCcosC,所以sinC?1或cosC?0,即C??

2. 2⑵由AB?AC?9得|AB|?|AC|?cosA?c?b?cosA?b?9,

?c2?a2?9即c?a?9,解?,得c?5.

?c?a?122

☆11.在△ABC中,AB?5,AC?3,D为BC边的中点,且AD=4,求BC有长.

解析:D为BC边的中点,设BD?CD?x,

AD2?BD2?AB242?x2?52

?在△ABD中,cos?ADB?, 2?AD?BD2?4x

AD2?CD2?AC242?x2?32

?在△ACD中,cos?ADC?. 2?AD?DC2?4x

??ADB??ADC?180?,

42?x2?3242?x2?52

??0,解得x?1. ∴cos?ADB?cos?ADC?0,即2?4x2?4x

∴BC有长为2.

我的错题:

错因:

反思:

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