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【南京一轮复习】课时7 正弦定理

发布时间:2013-11-09 11:39:26  

第7课时 正弦定理

【课前自主探究】

※考纲链接

掌握正弦定理,能用正弦定理解三角形.

※ 教材回归

◎基础重现:

1.正弦定理:

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径,

即 .

利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角

(2) .

2.三角形的面积:

△ABC的面积用S表示,则(1) ; (2) .

3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:

基础重现答案:1.

2.(1)S?abc???2R 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角sinAsinBsinC11a?ha??; (2)S?bcsinA??. 22

3.

◎思维升华:

1.如何利用三角形的面积公式证明正弦定理?

2.如何用正弦定理判断三角形形状?

思维升华答案:1.如图,在△ABC中,

111S?ABC?AB?AD?AB?ACsinA?bcsinA,同理可得222

111S?ABC?absinC,则有absinC?bcsinA,可得asinC?csinA. 222

acab即,同理可证,所以正弦定理成立. ??sinAsinCsinAsinB

2.判断三角形的形状,实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系.由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系,所以,可利用正弦定理实现边角的统一,便于寻找三边或三角具备的关系.利用正弦定理判定三角形的形状.常运用正弦定理的变形形式,将边化为角,有时结合三角函数的有关公式(如诱导公式,和差公式)得出角的大小或等量关系.

※ 基础自测

1.△ABC中,(b+c)∶(a+c)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于________

753答案:7∶5∶3 解析:设b+c=4k,a+c=5k,a+b=6k(k>0),三式联立可求得a=k,b=,c=k,∴a∶b∶c222

=7∶5∶3,即sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3.

2.(2010湖北理数改编)在?ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB

ab1510解析:根据正弦定理可得解得b?a,则B?A,sinB???

sinAsinBsin60sinB故B

为锐角,所以cosB?

3.(2010北京理数)在△ABC中,若b = 1,

?C?2?,则3

答案:1 解析:根据正弦定理1bc?可得?

sinBsinBsinC1?,解得sinB?,则B?,所以 26sin3

A???2?????,即a?1. 366

o4.(2009广东文改编)已知?ABC中,?A,?B,?C的对边分别为a,b,c

若a?c??A?75,

则b?

答案:2

解析:sinA?sin75?sin(30?45)?sin30cos45?sin45cos30?

00由a?c?,?C?75,所以?B?30,sinB?0000000

41 2

由正弦定理得b?a?sinB?sinA1?2. 2

5.在△ABC中,如果A=60°,c=4,a=

,则此三角形有________个解.

答案:一 解析:∵A=60°,c=4,a=

4ac?,即, ?

?sinCsin60sinAsinC

∴sin C=1..又∵0°<C<180°,∴C=90°,B=30°.因此三角形只有一个解.

【课堂师生共探】

※ 经典例题

○题型一 正弦定理在解三角形中的应用

例1 在?ABC中,根据下列条件解三角形.

(1

)C?A?45?,a?2; (2

)C?A?45?,a?2; (3)C?3,A?45?,a?2.

分析:注意到三小题都是“已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角,进一步求出其它的边和角”的题型,应先求出sinC.

解:(1)

?C?A?45?,a?2,?由ac??得sinC?,?C?60或120. ?

sinAsinC

csinB???1; 当C?60时,B?75,b?sinC??

csinB?

???1. 当C?120时,B?15,b??sinCsin60??

(2)由(1)可知sinC?

?1??,?C?30或150. 2??当C?150时,C?A?180,?C?150应舍去.

csinB??C?30,B?105,b?sinC??

?1. (3)同(1

)可得sinC??1,?此三角形无解. 4

点评:在利用正弦定理解三角形时,可能会出现多解或无解的情况:对于“已知两角和任一边,求其它边和角”的问题不可能有多个解,也不可能无解;对于“已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角,进一步求出其它的边和角”的问题,可能会出现多解或无解的情况,解题时必须给出验正.

变式训练:(2010广东理数)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,

A+C=2B,则

答案:30 解析:由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60

°.由正弦定理知,?1,即??sinAsin60sinA?1???????.由a?b知,A?B?60,则A?30,C?180?A?B?180?30?60?90,2

sinC?sin90??1

○题型二 利用正弦定理判断三角形的形状

例2在?ABC中,如果lg a-lg c=lg sin B=

lg

分析:先进行对数的运算,再将边化角即可.

解:由lg sin B=

,且B为锐角,试判断此三角形的形状. 2,可得sin B

,又B为锐角,∴B=45°. asinA?

,可得?

,∴sin C=2sin A=2sin(135°-C), 2

c2sinC2又由lg a-lg c=

lg

即sin C=sin C+cos C,∴cos C=0,所以C=90°,故此三角形为等腰直角三角形.

点评:判断三角形的形状,既可以从角入手,也可以从边入手,因而可把题中的条件都化为角,也可把题中的角都化成边,当然也可能同时兼顾.

变式训练:在△ABC中,已知2a?b?c,sinA?sinBsinC,试判断△ABC的形状. 2

abcabc ???2R得,sinA?,sinB?,sinC?sinAsinBsinC2R2R2R

a2bc2由sinA?sinBsinC得,()?即a2?bc. 2R2R2R解析:由正弦定理

又2a?b?c,∴4a?(b?c),∴ 4bc?(b?c),即(b?c)?0,∴b?c.

而由2a?b?c,得2a?b?b,即a?b,∴a?b?c,故此三角形为等边三角形. 2222

○题型三 正弦定理在求三角形面积中的应用

例3(2009安徽卷理)在?ABC中,sin(C?A)?1, sinB=

(I)求sinA的值; (II)设

,求?ABC的面积.

分析:先利用角之间的关系,求出sinA的值,再利用正弦定理求出a,进而求?ABC的面积. 解:(Ⅰ)由C?A?1. 3?BBB??B,且C?A???B,∴A??

,∴sinA?sin(?)??sin), 42222242

∴sin2A?11 (1?sinB)?,又sinA?

0,∴sinA?23

(Ⅱ)如图,由正弦定理得ACsinAACBC,∴BC???

sinBsinBsinA1

33?又sinC?sin(A?B)?

sinAcosB?cosAsinB?1????,

33333

∴S?ABC?11AC?BC?sinC??. 223

点评:求三角形面积的公式有很多,但常用的只有①S?

里用第二个较多一点. 11a?ha??; ②S?bcsinA??,在这22

变式训练:(2009北京理)在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B?

(Ⅰ)求sinC的值; (Ⅱ)求?ABC的面积.

解析:(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且B??3,cosA?4,b?5?4,cosA?, 35

∴C?2?3?A,sinA?,

35

1?2???A??A?sinA?. 32??∴sinC?sin?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知sinA?

又∵B?3,sinC?5?

3,b?ABC中,由正弦定理,得a?bsinA6?. sinB5

∴△ABC

的面积S?116absinC??? 225※高考新题零距离

1. (2010·山东高考理15)在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

若ab?

2,sinB?cosB?则角A的大小为

答案:30 解析:

?

2.(2009·山东高考文17)设函数f(x)=2sinxcos2

(1)求?的值; ?2?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.

(2)在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?

解析:(1)f(x)?2sinx?2,f(A)?,求角C. 21?cos??cosxsin??sinx 2

?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)

因为函数f(x)在x??处取最小值,所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为0????,所以??所以f(x)?sin(x??2.?

2)?cosx (2)因为f(A)??,

所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因为a?1,b?2,所以由226

正弦定理,得bsinA1ab??,

也就是sinB?, ?a22sinAsinB

3?. 44

???7?3??3??当B?时,C?????;当B?时,C?????. 4641246412

※典型错误警示 因为b?a,所以B?或B?

1.在利用正弦定理解三角形时,主要会出现漏解或多解的错误,如例1.

2.在利用正弦定理判断三角形形状时,错误主要是条件不能完全用到位,不能给出最终结论,如应该是等边三角形的,只判断出是等腰三角形;是等腰直角三角形的,只判断出是直角三角形.

3.与三角形面积有关的主要错误是计算方面.

◎典型错题反思

反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程,是一种自我挑战、自我完善和自我超越,是优化解法、深化思维的有效手段,是高效的学习方法、最佳的纠错手段,是走出“题海”的最有效途径.

请整理出本课时的典型错误,找出错因,并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思!

我的错题:

错因:

反思:

?

※学以致用

第7课时 正弦定理

[基础级]

1.在?ABC中,b?3,B?600,c?1,则a的值是

bccsinB1?sin6001答案:2 解析:∵?,?sinC???,?b?c,B?600,?C?B, sinBsinCb23

C为锐角,?C?300,B?900,∴a?b2?c2?2.

sinA3a?b的值为 ?,则sinB2b

5absinAasinA3a3a?b3?25答案: 解析:∵?,??,又?,∴?.于是,??. 2sinAsinBsinBbsinB2b2b222.已知a、b为△ABC的边,A、B分别是a、b的对角,且

3.在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为 ( )

?a??b??c?222答案:直角三角形 解析:由sin2A=sin2B+sin2C知????????,即a?b?c,所以 ?2R??2R??2R?

△ABC为直角三角形.

4.在△ABC中,b?2,B?45,若此三角形有两解,则a的取值范围是

答案:(2, 解析:此三角形有两解,则a?b?

asinB,解得2?a?5.在△ABC中,已知a?2bcosC,则三角形的形状是答案:等腰三角形 解析:∵a?2bcosC,∴由正弦定理得2RsinA?4RsinBcosC,

∴2sinBcosC?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC,∴sinBcosC?cosBsinC?0, 即sin(B?C)?0,∴B?C?k?,k?Z,又B,C是三角形的内角,∴B?C.

6.已知△ABC中,AB3,AC=1,且B=30°,则△ABC的面积等于________

?222?1?

解析:∵AD=ABsin 30°

?C?60?或120?,?A?90?或2

11?

;当A?30时,S?ABC???. 2224由正弦定理得1?,?sinC??

sinCsin30130?.当A?90?

时,S?ABC?1?2

7.在△ABC中,已知B=30°,b=50,c=150,那么这个三角形的形状是

bcc?sinB150?sin300??sinC???答案:等腰三角形或直角三角形 ,?C?600

sinBsinCb2503

或1200,则A =900或30. 0

AC的值等于 ,AC的取值范围为 cosA

ACBCACAC答案:2

解析:设?A??,?B?2?.由正弦定理得?,??1??2. sin2?sin?2cos?cos?8.(2009湖南卷文)在锐角?ABC中,BC?1,B?2A,则

由锐角?ABC得0?2??90?0???45,又0?180?3??90?30???60,故?????????

30????45?

??cos??,?AC?2cos?? 22

[升华级]

9.(2010全国卷1理数改编)已知VABC的内角A,B及其对边a

则内角C= . 答案:

10.(2010全国卷2理数)?ABC中,D为边BC上的一点,BD?33,sinB?,b满a?b?ab,?tanAtanB? 解析: 253,cos?ADC?,求135AD.

☆11.(2009四川卷文)在?ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,

且sinA?,siBn? 510

(I)求A?B的值; (II

)若a?b?

解析:(I)∵A、

B为锐角,sinA?1,求a、b、c的值. B? 510

cosA??B??510

cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?

∵ 0?A?B??,∴ A?B????? 5105102?

4.

(II)由(I)知C?

由3?,∴

sinC? 24abc??

,即a?,c?

??

sinAsinBsinC

1,∴

?b?1, ∴b?

1,∴a?c?又∵a?b?

11.(2009江西卷理)△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC?sinA?sinB, cosA?cosBsin(B?A)?cosC.

(1)求A,C; (2

)若S?ABC?3,求a,c.

解析:(1) 因为tanC? sinA?sinBsinCsinA?sinB,即, ?cosA?cosBcosCcosA?cosB

所以sinCcosA?sinCcosB?cosCsinA?cosCsinB,

即 sinCcosA?cosCsinA?cosCsinB?sinCcosB,

得 sin(C?A)?sin(B?C),所以C?A?B?C,或C?A???(B?C)(不成立).

?2?即 2C?A?B, 得C?,所以.B?A? 33

1?5??5?又因为sin(B?A)?cosC?,则B?A?,或B?A?(舍去),得A?,B?

266412

1?3, (2)S?ABC?acsinB?28

ac 又, 即

,得a?c? ?

?sinAsinC2我的错题:

错因:

反思:

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