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图形的平移和旋转(教案和习题)

发布时间:2013-09-20 13:43:48  

§3.1 生活中的平移

一、新知要点

(1)平移的概念 (2)平移的特点 (3)平移的基本性质

火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的,那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变? 哪些发生了变化?这种运动就叫做什么? 1.图形的平移

例1:下图中的图形A向右平移了6格得到图形A′

(1) 平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小。 (2)平移的特点:

①平移是指整个图形平行移动,包括图形的每一条线段,每一个点。经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。 ②平移不改变图形的形状、大小,方向,只改变图形的位置。

例2、观察下图△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。

4题图

5题图

(3) 平移的基本性质:

经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。 二、新知巩固(练习)

1.平移改变的是图形的 ( ) A 位置 B 大小 C 形状 D 位置、大小和形状

2.经过平移,对应点所连的线段 ( ) A 平行 B 相等 C 平行且相等 D 既不平行,又不相等 3.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是( ) A 不同的点移动的距离不同 B 既可能相同也可能不同 C 不同的点移动的距离相同 D 无法确定 4.如图,四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH,

填空(1)CD=______, (2)∠ F=______(3)HE= ,(4)∠D=_____,(5)DH=_________。 5.如图,若线段CD是由线段AB平移而得到的,则线段CD、AB关系是__________. 6.试着做一做:

(1)把图形向右平移7格后得到的图形涂上颜色。 (2)把图形向左平移5格后到的图形涂上颜色。

) C

C

A

4. 把图中的三角形ABC(可记为△ABC)向右平移6个格子,画出所得的△BA'B'C'。

§3.2 简单的平移作图

一、知识回顾

1.平移的概念;2.平移的性质

二、新知要点

1.平移图形的规律,作图的顺序;2.平行线的作法及对应点的连结;3.平移三要素:原图形位置,平移方向,平移距离。

例1:观察理解平移后的图形。

例2: 把图中的三角形ABC(可记为△ABC)向右平移8个格子,画出所得的△

A'B'C'。 CAB

度量△ABC与△ABC的边,角的大小,你发现什么呢?

解:(1)、经过平移的图形与原来的图形的对应线段 ,对应角 ,图形的形状和大小都 。

(2)、平移的对应点所连线段 。

(3)、其中BC与B′C′的关系是 (位置关系和数量关系)。线段AB与A′B′的关系是 (位置关系和数量关系)。若AC=5,则A′C′= ,若∠BAC=60°,则∠B′A′C′= 。若△ABC周长为30,则△A′B′C′周长为 。若△ABC面积为S,则△A′B′C′面积为 。

例3:画出平移后的图形。

'''

通过操作我们发现:

1.在方格纸上平移图形时,把一个图形向某个方向平移几格,不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格,而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。

2.在方格纸上平移图形时,可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置,先分别描出各点,再把各点按原来的顺序连接起来,成为按要求平移后得到的新图形。

3.用平移的方式画一排或一列图形时,可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线,以这条横线或竖线为基准,画出的图形就是平移得到的。

4.平移图形或物体时,可以一次平移,也可以两次平移,物体的方向都不会改变。

例4:如图,经过平移,△ABC的顶点A移到了点D,请作出平移后的三角形。

分析:因为A与D是对应点,而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD,平移距离——线段AD的长,

作法:

1.分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF,使它们与AD平行且相等

2.顺次连结D、E、F

则△DEF即为所求。

二、新知巩固

1.分别画出将□向下平移4格,向左平移8格后得到的图形。

4格、向左平移8格后的新位置上的四

画出三角形向右平移6格后的图形,

再画出梯形向下平移5格后的图形

三、归纳小结

●通过本节课的学习我们学会了平移作图。

●确定一个图形平移后的位置所需条件为:①图形原来的位置;②平移的方向;③平移的距离。

五、课外作业

1.下列说法正确的是( )

A 由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等

B 我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方

向的平移”

C 小明第一次乘观光电梯,随着电梯向上升,他高兴地对同伴说:“太棒了,我现在比大楼还高呢,我长高了!”

D 在图形平移过程中,图形上可能会有不动点

2.画画做做想想

(1)移6格后得到的涂上颜色。

(2)分别画出将向下平移5格、向右平移10格后得到的图形。

题图

平移的特点有哪些?

①平移是指整个图形平行移动,包括图形的每一条线段,每一个点.经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。 ②平移不改变图形的形状、大小,方向,只改变图形的位置。

日常生活中,我们经常见到(钟表、风扇、汽车方向盘,摩天轮,旋转木马??)钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。(1)上面情景中的转动现象,有什么共同特征?(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中,其形状、大小、位置是否发生改变?风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动呢?

二、新知要点

1.旋转

在平面内,将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。

注意:“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时,它的形状和大小不变。因此,旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。

例1.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中:

(1)旋转中心是什么?旋转角是什么?

(2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置?

解:(1)旋转中心是O,∠AOE、∠BOF等都是旋转角.

(2)经过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的置。

2.旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;

(3)旋转前、后的图形全等;(4)图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。 例1图

a)新知巩固

1. 如图所示,如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中

(1)旋转中心是什么?旋转角是什么?

F (2)经过旋转,点A、B分别移到什么位置?

(3)AO与DO的长有什么关系?BO与EO呢? (4)∠AOD与∠BOE有什么大小关系?

2.在正方形ABCD中,∠1=∠2=30°,试把ΔADE绕点A顺时针旋转90°,

观察整个图形中角与角之间,线段与线段之间,存在哪些相等的关系? O

探索DE,BF,AF之间的关系。 1题图 2题图 b)归纳小结

●认识了旋转的图形;●旋转图形的三要素:旋转中心、旋转角、旋转方向;●旋转图形的性质。

五、课外作业

1.平移不改变图形的________,只改变图形的位置。故此若将线段AB向右平移3cm,得到线段CD,如果AB=5㎝,则 CD=___________

2.下列关于旋转和平移的说法正确的是( )

A旋转使图形的形状发生改变 B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到

C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小 D对应点到旋转中心距离相等

3.如图,正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的,其旋转

中心为______点,旋转角度依次为________,

________

________。

4.下列现象哪些是平移,哪些是旋转。

5.会变的头像

左图中的头像,是一个顽皮的小孩,正在嬉皮笑脸地开玩笑。

倒过头来仔细看看,再说一说这是个什么人?他是什么样的表情?

§3.4简单的旋转作图

一、知识回顾

1.旋转的概念;2.旋转的三要素;3.旋转的性质

如图,在方格上作出“小旗子”绕O点按顺时针方向旋转90 度后的图案,并简述理由。

BCB′=∠ACD,? 则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形。

例2.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=

(1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度?

(3)AF的长度是多少? (4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?

分析:由△ABF是△ADE的旋转图形,可直接得出旋转中心和旋转角,要求AF?的长度,根据旋转前后的对应线段相等,只要求AE的长度,由勾股定理很容易得到。?△ABF与△ADE是完全重合的,所以它是直角三角形.

解:(1)旋转中心是A点

(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的 ∴B是D的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 14,△ABF是△ADE的旋转图形.

(3)∵AD=1,DE=1 ∴

4=4 ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 ∴

AF=4

(4)∵∠EAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形.

三、新知巩固

1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的( )A 位置

2.9点钟时,钟表的时针和分针之间的夹角是( )A 30° B 大小 C 形状 D 性质 D 90° B 45° C 60°

3.将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置,下列结论错误的是( )

A.AB=A′B′ B.AB∥A′B′ C.∠A=∠A′ D.△ABC≌△A′B′C′

4.做一做

在图1中,将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度,请作出旋转后的图案.

图1

四、归纳小结

●图形的旋转●图形旋转的性质●简单图形的旋转作图步骤

五、课外作业

1.钟表上的指针随时间的变化而移动,这可以看作是数学上的_______。

2.菱形ABCD绕点O沿逆时针方向旋转到四边形A?B?C?D?,则四边形A?B?C?D?是__________。

3.△ABC绕一点旋转到△A′B′C′,则△ABC和△A′B′C′的关系是_______。

4.钟表的时针经过20分钟,旋转了_______度。

5.图形的旋转只改变图形的_______,而不改变图形的_______。

6.在图中,将大写字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°,请作出旋转后的图案。

7题图8题图

7.将一个等腰直角三角形ABC(如图2∠A是直角)绕着它的一个顶点B逆时针方向旋转,分别作出旋转下列角度后的图形。

(1)45° (2)90° (3)135° (4)180°

8.将下面的图案绕点O顺时针方向旋转90度,作出旋转后的图形。对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别?

§3.5 他们是怎样变过来的

一、知识回顾

1.平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移

2.平移的性质:1.平移不改变图形的大小和形状。2.对应点所连的线平行且相等。对应线段平行且相等。对应角相等。

3.旋转的概念;4.旋转的性质;5.轴对称的概念;6.轴对称的性质

观察下列图形是怎么变过来的?

二、新知要点

例1:下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其它方式吗?

解析:(1) 整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成;

(2) 整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的;

(3) 整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个

“十”字组成的图形,然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成;

(4) 整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。

??

通过上述问题的讨论,我们看到图形的平移、旋转,轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方

式,它们是今后设计图案的主要手段。

例2:“想一想”你能将下面的左图,通过平移或旋转得到右图吗?

三、新知巩固

1.怎样将下图中的甲图变成乙图案?

2题图

2.如图,在方格纸上,有两个形状、大小一样的三角形,请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动,将方格中的△ABC重合到△DEF上.

如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,那么这个图形叫做轴对称图形

2、下图是由三个正三角形拼成的,它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的?看一看:

下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的?

1.2.

3.

试一试:怎样将下图中的甲图变成乙图?

做一做:

如图①,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=

(2)阅读下列材料:如图②,把△ABC沿直线平移线段BC的长度,可以变到△ECD的位置;如图③,以BC为轴把△ABC翻折180°,可以变到△DBC的位置;如图④,以点A为中心,把△ABC旋转180°,可以变到△AED的位置,像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状大小的图形变换,叫做三角形的全等变换.

1AB,(1)求证:△ABE≌△ADF. 2

图① 图② 图③ 图④

请回答下列问题:

(1)在图①中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE变到△ADF的位置?

(2)指出图①中线段BE与DF之间的关系.

1. 旋转的三要素:(1)旋转中心; (2)旋转方向; (3)旋转角度。

三、解答题

9.下图中的两个正方形的边长相等,请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.

11.如图,菱形A′B′C′D′是菱形ABCD绕点O顺时针旋转90°后得到的,你能作出旋转前的图形吗?

12.Rt△ABC,绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°,

(1)试作出Rt△ABC旋转后的三角形;

(2)将所得的所有三角形看成一个图形,你将得到怎样的图形?

13.如图,将右面的扇形绕点O按顺时针方向旋转,分别作出旋转下列角度后的图形:

(1)90°;(2)180°;(3)270°.你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗?

14.如图,分析图中的旋转现象,并仿照此图案设计一个图案.

§3.6 简单的图案设计

1、图案设计:图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。

2. 中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

3. 中心对称图形:如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合,那么我们就说,这个图形是中心对称图形。

4. 中心对称的性质 (1)关于中心对称的两个图形是全等形。

(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。

(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。

1.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中,旋转180后不变的字是_______

在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转(旋转度数不超过180)后不能与原图形重合的是____

2.如图⑴,两块完全重合的正方形纸片,如果上面的一块统正方形的中心O作0~90的旋转,那么旋转时露出的△ABC的面积(S)随着旋转角度(n)的变化而变化,下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的( )

(图1) (图2)

3.如图,在方格纸上,有两个形状、大小一样的三角形,请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动,将方格中的△ABC重合到△DEF上.

4.如图是跷跷板示意图,模板AB通过点O,且可以绕点O上下转动,如果∠OCA=90○,∠CAO= 25○,

(1)画出在空中划过的线;

2

)上下最多可以转动多少角度? ○oo

三:【课后训练】

5.如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时

针旋转后,能与△ACP′重合,已知AP=3,则PP′的长度为( )

A.3 B.

.4

6.△ABC是等腰直角三角形,如图,AB=AC,∠BAC=90°,

D是BC上一点,△ACD经过旋转到达△ABE的位置,则

其旋转角的度数为( )

A.90° B.120° C.60° D.45°

7.如图,先将方格纸中“猫头”分别向左平移6格、12格,然后分析所画三个图案的关系.

8.如图,已知∠AOB,要求把其往正东方向平移3cm,要求留画痕,写作法

9.已知边长为 1个单位的等边三角形ABC,

(1)将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转30 作出这个图形;

(2)再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60、90、120,作出这些图形.

10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,请你用对称和旋转的知识回答下列问题:

(l)△ADE和△DFA关于直线AD对称吗?为什么?

(2)把△BDE绕点D顺时针旋转160○后能否与△CDF重合?为什么?

(3)把△BDE绕点D旋转多少度后,此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称?

四、应用拓展

例3.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使L、M?在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的

思想说明线段BK与DM的关系.

分析:要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.

解:∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形

∴AB=AD,AK=AM,且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°

∴△ADM是以A为旋转中心,∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的

BK=DM ○○○○

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