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圆周率

发布时间:2013-09-21 12:03:30  

圆周率

圆周率研究问题在方法上、目的上、使用工具上,可以分为3个时期:

? 第一时期:几何学时期,从远古的求圆周长与直径之比到17世纪中叶
微积分的发明,这段时间人们致力于圆的内接、外切正多边形的周长 或面积来得到圆周率的近似值

? 第二时期:17世纪中叶以来的一百来年,微积分中将π表示为无穷级

数、乘积、连分数的形式。记号π是英国人William Jones首创,1737 年欧拉的书中沿用了它,从此就通行于世。

? 第三时期:18实际中叶至19世纪末叶,致力于研究π的性质。1761年
J.H.Lambert证明了π的无理性,1882年林德曼证明了π的超越性。 ——《数学史选讲》 ? 第四时期:1946年第一台电子计算机问世后,运用数学分析和计算机 技术使得π值越来越精确。2002年12月,日本东京大学金田康正教授 宣布,耗费601小时56分更新了圆周率计算位数的全球记录,12411 亿位。

最早的π
? 据目前考证,人类历史上第一个提出圆周
率的是公元前十世纪的古希伯莱人,他们 认为π=3。

阿基米德π的计算
? 公元前三世纪,古希腊伟大的数学家阿基米德采
用穷竭法从两个方面计算圆的周长,即计算圆内 接和圆外切正多边形的周长。他从正六边形开始, 然后把边数逐步倍增,一直计算到正96边形,发 现直径等于1的圆内接96边形的周长大于,而其 外切96边形的周长小于,即<π<,用小数表示即 为:3.1409<π<3.1429,取其平均值,则π=3.1419。 阿基米德得到的π的不等式,第一次在科学上提 出了误差的估计以及所得结果精确度的确定方法。

A:圆外切正多边形的周长

? 定理1设AC是圆O在A点的切线,OD是
∠AOC的平分线,交AC于D(见图),则 ? 有 OA OA ? CO

AD

?

CA

? 阿基米德从圆外切正6边形开始
3R a`6 ? 3
2 3R R6 ? 3
R2 n ? R 2 ? ( a`2 n 2 ) 2

根据(1)和公式 , a a a 依次算出a`12 、`24 、`48、`96 。由圆的周长小于其 外切正n边形周长,最后得到

96a`96 1 π? ?3 2R 7

B:圆内接正多边形的周长

? 定理2:设∠AC`B是圆O直径上的圆周角,
BD`是∠ABC`的平分线,则有:

BD ` AB ? BC ` ? AD ` AC `

? 阿基米德从圆内接正6边形开始 a6 ? R d 6 ? 3R ? 根据(2)以及a ? d ? 4R,依次算
2 2 2 2n 2n

a a a 出 a12 、 24 、 48、96 ,由圆的周长大于其内 接正n边形周长,最后得到
96a96 10 π? ?3 2R 71

? 因此阿基米德最后得到结果:

刘徽——割圆术
割之弥细,所失弥少,割之又割以致于不可割则与圆合体而无所失矣

? 263年,我国古代杰出的数学家刘徽运用他自己

创造的计算圆周率的科学方法——割圆术,即利 用圆内接正六边形,然后逐渐把边数加倍,使它 与圆逐渐相合的

办法来计算圆周率,他算至192 边形,得到
157 π= =3.14。 50

?

? 刘徽创造的这种计算方法为此后1千多年间中国圆
周率计算在世界上的领先地位莫定了基础。

? 刘徽割圆术的主要内容是,首先利用半径
为1的圆内接正多边形边长递推公式和面积 公式
a 2 n ? 2 ? 4 ? (a n )
2

S 2n ?

1 na n 2
、 s96 、 s192

? 依次求得s6 、 s12 、 s24 、 s48 ? 利用不等式(刘徽不等式)
S 2n ? S ? S 2n ? (S 2n ? S n )

?

157 求得圆周率近似值 50

刘徽不等式
? 觚面之外,又有余径,以面乘余径则幂出
弧表,若夫觚之细者与圆合体,则表无余 径,表无余径,则幂不外出矣。

? PQ为圆内接正n边形的一边,平分弧PQ于R,则
PR为圆内接正2n边形的一边,半径OR与PQ交于 T,TR就是“余径”,以PQ为底,TR为高的长 方形APQB有一部分在弧PRQ内,而其余部分则 突出弧外。 ? 设Sn表示圆内接正n边形的面积,S为圆面积,则: n· TR=2(S2n-Sn) PQ· ? 所以:Sn+2(S2n-Sn)= S2n+(S2n-Sn)>S ? 所以有:

S 2n ? S ? S 2n ? (S 2n ? S n )

? 当求一千五百三十六觚之一面,得三千七
十二觚之幂而裁其微分,数亦宜然,重其 验耳。 ? 刘徽曾求得圆内接正3072边形的面积来证 3927 实他的圆周率 1250 ,但是在实用时,他主 157 张用π= 50 来计算圆面积。

祖冲之与祖率
? 462年,我国古代伟大的数学家祖冲之运用割圆术,继续
推算圆周率。他从圆内接正六边形算起,一直算到圆内接 正24576边形,每求一值,需要把同一运算程序反复进行 12次,而每一次运算程序又包括加减乘除以及开方等11个 步骤。他得到了π值在3.1415926和3.1415927之间。 ? 祖冲之所求得的π值,是世界上最早的七位小数精确值, 为了计算的方便,祖冲之还求出了用分数来表示的两个π 值,一个是 22/7,称为约率;另一个是355/113 ,称为密 率。密率是分子、分母在一千以内表示圆周率的最佳渐近 分数。

? 根据《数学史选讲所述》,祖冲之是根据何承天调节强率、
弱率的方法来得到密率的: a a?c c ? ? b b?d d

? 1424年阿拉伯数学家卡西得到更为精确的π
值(16位小数) ? 十六世纪以后,最突出的要数德国数学家 卢道尔夫,他用了几乎一生的时间,将π的 小数算到35位,达到了用几何法计算π值的 项峰,要再向前推进,就必须在方法上有 所突破。

? 到了十七世纪,出现了数学分析,从此π值
的计算历史进入了一个新的阶段。 ? 这时,人们采用无穷级数或无穷连乘积来 计算π值。1593年,法国数学家韦达发现了 计算π值的第一个解析表达式 ? 1665年瓦利斯用无穷乘积形式表示π
π 2 2 4 4 6 6 8 ? ? ? ? ? ? ? ??? 2

1 3 3 5 5 7 7

? 从此以后,各种关于计算π值的无穷表达式陆续
出现,这就大大推进了π值的计算。 ? 1699年,英国数学家一下子将π值算到小数后72 位; ? 1706年,英国数学家梅钦算到了小数后100位。 十九世纪以后,计算π值的解析表达式不断被发 现。 ? 1948年,弗格森把π的位数推进到808位,这是人 工计算π值的最高纪录。

计算机时代
? 各国数学家之所以重视π值的计算,其原因
是: ? π值的精确度可以衡量一个国家的计算机实 力和数学发展水平; ? π值的计算可以用来检验计算机的性能和软 件的编制水平; ? π值中有许多奇异数的排列,可供数学家研 究、参考。

一个小故事
? 据说,从前有座山,山上有座庙,庙里有
个老和尚和一个小和尚。一日,老和尚外 出喝酒,并要求小和尚背出圆周率小数点 后的22位数字。小和尚很郁闷,就编了个 顺口溜: ? 山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃, 酒杀尔,杀不死,乐而乐 (3.1415926535897932384626)


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