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有趣的多边形

发布时间:2013-12-20 10:43:20  

用“弦图”求面积。

三国时期吴国数学家赵爽,在为我国早期数学巨著《周髀算经》作注释时,就利用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的,中间空出一个小正方形。根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系,可使我们得到一些面积问题的解题思路。

例如:从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后,剩下的长方形的面积为5平方米,问锯下的长方形木条的面积等于多少?

解答:

先将题目中的已知条件画成图,我们先看图中下面剩下的那个长方形。

已知它的面积等于5平方米,它的长与宽的差为0.5米,根据“弦图”的启示,我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个“弦图”。

上图是一个大正方形,它的边长等于长方形的长与宽之和,中间那个小正方形的边长,等于长方形长与宽之差,即等于0.5米。这样小正方形的面积为:0.5×0.5=0.25(平方米), 那么大正方形的面积为:5×4+0.25=20.25(平方米)。

由于 4.5×4.5=20.25,所以大正方形的边长为 4.5米。

这样我们便知道了剩下的长方形长与宽的和为4.5米,而长与宽的差为0.5米,使用:

(和+差)÷2=大数,(和-差)÷2=小数这两个公式中的任一个,便能求出长方形的长来,这个长就是锯下的小长方形的长。有了这个小长方形的长,而宽又已知为0.5米,那么用面积公式便能求出它的面积来。

5×4+0.5×0.5=20.25(平方米)

因为 4.5×4.5=20.25,所以大正方形边长为4.5米。

原正方形的边长为:(4.5+0.5)÷2=2.5(米)

锯下一条小长方形的面积为:2.5×0.5=1.25(平方米)。

图中阴影部分的面积和.

用同样大小的22个小纸片摆成图所示的图形,已知小纸片的长是18厘米,求图中阴影部分的面积和.

解答:

图猛一看似乎无从下手,但只要你仔细观察,马上就会发现,该图中间三个图形的形状一样,都是 “弦图”。我们知道,“弦图”的特点是,小长方形的长与宽的和,恰好是大正方形的边长,而长方形的长与宽之差,恰好是小正方形的边长。

现在要求图中阴影部分的面积和,由于每个小阴影部分都是一个小正方形,所以只要求出它的边长就行了,而小正方形边长等于长方形长与宽之差,由于长方形的长是18厘米,因此只要求出它的宽,问题便解决了。

为求出长方形的宽,我们再来观察图。从图的第一排和第二排可以看出,小纸片的五个长等于它的三个长加它的三个宽,也就是它的两个长等于它的三个宽。由于两个长等于18×2=36厘米,所以每个宽为36÷3=12厘米,这样问题就好解决了。

一个阴影部分小正方形的边长等于长方形长与宽的差,即小正方形的边长为18-12=6(厘米)。

因此一个阴影小正方形的面积为6×6=36(平方厘米), 3个阴影部分面积和为:36×3=108(平方厘米)。

被3.4.7.9.11等数整除的特点

若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。

若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。

若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。

例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。

若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11

的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1!

鸡兔同笼

鸡兔同笼,这个问题,是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:

有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?

假设法: 解:

假设全是鸡:2×35=70(只)

比总脚数少的:94-70=24 (只)

它们腿的差:4—2=2(条)

24÷2=12 (只) ?? 兔

35-12=23(只)??鸡

方程:

解:设兔有x只,则鸡有35-x只。

4x+2(35-x)=94

4x+70-2x=94

2x=24

x=12

35-x=35-12=23

答:兔有12只,鸡有23只。

我国古代《孙子算经》共三卷,成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂,有许多有趣的算术题,比如“鸡兔同笼”问题:

今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? 题目中给出了鸡兔共有35只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了2只脚,即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70(只),比题中所说的94只要少94-70=24(只)。

现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,即

70+2=72(只),再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加2,2,2,2??,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数:24÷2=12(只),从而鸡有35-12=23(只)。

我们来总结一下这道题的解题思路:如果先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。概括起来,解鸡兔同笼题的基本关系式是:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)。类似地,也可以假设全是兔子。

我们也可以采用列方程的办法:设兔子的数量为X,鸡的数量为Y

那么:X+Y=35那么4X+2Y=94 这个算方程解出后得出:兔子有12只,鸡有23只。

有趣的魔术多边形

将适当的数字填入图中圆圈内,使得各图形每一边的数字的和都相等,而且恰等于图中央方格内的数字。这些多边形可称为“魔术多边形”,中央方格内的数字就是“魔术数字”。三角形中可以填入的数字为1到6,正方形中可以填入的数字为1到8,五边形中可以填入1到10,六边形则可填入1到12。

因为总和均已给定,而且图中也已填入一些数字,所以要求得上述多边形的解并不困难。 如果各图形中所用的数字不变,但改变其相关位置,也可以成为魔术多边形,不过魔术数字不同。每一种多边形至少可以找到4个例子。试着归纳出解题规则,使其在解边数更多的多边形时仍能适用。

解答与分析

仔细观察这些解,可以发现所有的答案都是两两成对。先以四边形为例,只要用9分别去减一组答案中的每一个数字,就可以得到另一组答案。

9这个数字为四边形内可填入的最大数字8加1而来。所以当你得到一组新的解答时,只要将n改为9-n,即可得另一组解。

同样的,对于五边形及六边形,只要分别将n改为11-n和13-n,即可得到另一组解。

当我们在求魔术多边形的解时,最好是先确定中间方格内的魔术数字。让我们先来看看可填入数字为1到12的六边形以做说明。

在六边形中,魔术数字S的六倍必定等于数字1至12的总和(等于78)再加上在6个角落上的数字。角落上的数字之和的最小值是1+2+3+4+5+6=21,最大值是7+8+9+10+11+12=57,所以:

99≤6S≤135所以:

S=17,18,19,20,21或22

假设我们决定以17为魔术数字,下一步就是在1到12中找出所有和为17的计算式:

12+4+1 12+3+2 11+5+1 11+4+2 10+6+1

10+5+2 10+4+3 9+7+1 9+6+2 9+5+38+7+2 8+6+3 8+5+4 7+6+4

然后必须观察每一个数字出现的频率,比如说12只出现两次,这可以使我们想到应把它放到六边形一条边的中间位置。这种策略将缩小我们解题的范围,但还是需要耐心去试验。如果你有足够的经验,则可以想出更好的方法,但是上面的提示是一个很好的切入点。

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