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037数列求和与递推数学(学生学案)(生)

发布时间:2013-09-21 22:03:43  

专题037:数列求和与递推数列(学生学案)(生)

考点要求:

1.考查非等差、等比数列求和的几种常见方法.

2.通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力.

3.熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式.

4.熟练掌握常考的错位相减法,裂项相消以及分组求和这些基本方法,注意计算的准确性和方法选择的灵活性. 知识结构:

数列求和的常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和

n?a+a?n?n-1?(1)等差数列的前n项和公式:Sn==na1+d; 22

na,q=1,??1

(2)等比数列的前n项和公式:Sn=?a1-anqa1?1-qn? =q≠1.?1-q?1-q

2.倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.

在利用裂项相消法求和时应注意:

(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差;

(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项.

常见的拆项公式

111111?(?); ②?(?k?n) n(n?k)knn?kn?k?nk

11111111③?(?); ④?[?] (2n?1)(2n?1)22n?12n?1n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)①

5.拆项重组法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.

6.求和的思路

一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.

基础自测

11.等比数列{an}的公比q=,a8=1,则S8=( ). 2

A.254 B.255 C.256 D.257

2.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ).

n27nn25nn23nA. B. C. D.n2+n 443324

?S?3.等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,其前n项的和为Sn,则数列?n?的前10项的和为( ). ??

A.120 B.70 C.75 D.100

4.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn=( ).

-n[?-1?n-1]?-1?n1+1?-1?n+1?-1?n-1A. C. 2222

-5.若Sn=1-2+3-4+?+(-1)n1·n,S50=________.

例题选讲:

1.公式法求和

例1:已知数列{an}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,Sn是其前n项和,且4a1,a5,-2a3成等差数列.

- 1 -

(1)求公比q的值;

(2)求Tn=a2+a4+a6+?+a2n的值.

小结:应用公式法求和时,要保证公式使用的正确性,尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式. 学生练习1: 在等比数列{an}中,a3=9,a6=243,求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn,并求a9和S8的值.

2.拆项重组法:

例2:已知数列{xn}的xn=2n+n,求:数列{xn}前n项和Sn的公式.

小结: 对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题,一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分,转化成若干个等差数列、等比数列的求和.

学生练习2:若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为( )

++A.2n+n2-1 B.2n1+n2-1 C.2n1+n2-2 D.2n+n-2

3.裂项相消法:

1例3:在数列{bn}中,bn={bn}的前n项和Tn. ?2n-1??2n+1?

小结: 使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

12n2学生练习3: 在数列{an}中,an=+,又bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. n+1n+1n+1an·an+1

4.错位相减法

例4:(2011·辽宁)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.

(1)求数列{an}的通项公式;

?a?(2)求数列?2-的前n项和. ??

小结: 用错位相减法求和时,应注意

(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;

(2)写出Sn的表达式时,要写出前三项和最后两项。

(3)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

n学生练习4: 已知数学{bn}的通项为bn==n·3n,求数列{bn}的前n项和Sn. an

巩固作业:

1 .(2013年高考大纲卷(文7))已知数列?an?满足3an?1?an?0,a2??

A.-61-3-104,则?an?的前10项和等于( ) 31-10-10C.3?1-3? D.3?1+3? 1-3-10? ???9

2.(2013年高考安徽(文))设数列?an?满足a1?2,a2?a4?8,且对任意n?N*,函数 B.

?f(x)?(an?an?1?an?2)x?an?1?cosx-an?2?sinx 满足f'()?0 2

1(Ⅰ)求数列?an?的通项公式;(Ⅱ)若bn?(,求数列?bn?的前n项和Sn. 2an?an)2

23.(2013年高考江西卷(文))正项数列{an}满足an?(2n?1)an?2n?0.

1(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn?,求数列{bn}的前n项和Tn. (n?1)an

4.(2013年高考大纲卷(文))等差数列?an?中,a7?4,a19?2a9,

(I)求?an?的通项公式;(II)设bn?1,求数列?bn?的前n项和Sn. nan

?5.(2013年高考湖南(文))设Sn为数列{an}的前项和,已知a1?0,2an?a1?S1?Sn,n?N

(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.

6.【2012高考浙江文19】(本题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2?n,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.

(1)求an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.

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