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应用问题的算术解法与代数解法

发布时间:2014-01-18 09:49:30  

应用问题的算术解法与代数解法

从小学到中学,数学课程最显著的变化,就是从算术学习到代数和几何的学习.仅就代数来说,它的基本课题是着眼于利用运算来讨论各种数学问题.从发展的角度看,代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的.首先扩大了数的范围,从正整数、正分数和零发展到有理数、实数;其次,在用字母表示数的基础上,应用“运算律”解代数方程和研究代数式.由于在常见的数量关系中,可以说应用问题是最基本的讨论对象,因此,在小学和中学的数学课中,都有解应用问题这一内容.只不过在小学是用“算术解法”,而在中学是用“代数解法”.下面举几个典型实例,来比较一下这两种解法的不同,从而进一步体会代数解法的优越性.

例1 某农场计划播种小麦与大豆共138公顷,种小麦的面积是种大豆面积的4倍.试问该农场应种小麦与大豆各多少公顷?

算术解法 由本题所给的条件可知,播种总面积等于种大豆面积的(4+1)倍,因此种大豆的公顷数=总播种公顷数÷(4+1),

种小麦的公顷数=总播种公顷数-种大豆的公顷数,即

138÷(4+1)=27.6(公顷),

138-27.6=110.4(公顷).

即应种大豆27.6公顷,小麦110.4公顷.

代数解法 用一个字母x表示要求的一个未知量,例如,设种大豆x公顷;再由题目的条件可知,种小麦4x公顷.因此,只要根据关系式

总播种公顷数=种小麦公顷数+种大豆公顷数

和已知条件“总公顷数为138”,就可以直截了当地写出以下等式(含有未知数的等式,也叫方程)

4x+x=138.

由于x是一个未知数,但它终归是一个数,所以可以对它应用运算律.为此,我们对上式做如下变形

(4+1)x=138,

即 5x=138.

两边同除以5,得

x=27.6(公顷).

从而 4x=4×27.6=110.4(公顷).

即种大豆27.6公顷,种小麦110.4公顷.

比较分析 本题的算术解法中,要求对题意进行思考,先求得解决问题的公式,然后再逐步地对公式中的计算找出

解释的理由,从而作出解答.而代数解法,只要求用字母x表示待求的未知量,再考虑待求的未知量x与已知数量之间的关系,然后直截了当地列出一个等式,再应用运算律(或等式的基本性质),求出这个未知数x应取的数值,使问题得到解决.

例2 鸡兔同笼.共有56个头,160只脚,试问鸡、兔各多少只?

算术解法 这是一个古老而有趣的数学问题,由于思考方法不同,可有不同的解法,以下是较为简单的解法.由于已知鸡、兔共160只脚,如果我们假定每只兔抬起2只脚,每只鸡抬起一只脚,则落地的脚是160只的一半,即80只脚.这80只脚中鸡的脚数与头数相等.因此,

兔数为: 80-56=24(只);

鸡数为: 56-24=32(只).

代数解法 设兔为x只,则鸡为(56-x)只,兔的脚数为4x,鸡的脚数为2(56-x),又由已知条件,鸡兔一共有160只脚,可列出方程

4x+2(56-x)=160.

去括号

4x+112-2x=160,

合并同类项

4x-2x=160-112,

即 2x=48,

所以 x=24(只)?兔数.

从而 56-24=32(只)?鸡数.

比较分析 本题算术解法中,根据题设特点,利用了一个特殊技巧,即鸡、免各抬起一半脚,然后依据其余脚数中,鸡的脚数与头数一一对应关系,得到解答.这种解法虽然有效,但不具有一般性,这也是算术解法的一个弱点,即一个问题一种解法,缺乏一般的通用性.而代数解法则不同,在本题中,只须用一个字母x代表兔(或鸡)的数量,然后便可根据已知条件,顺理成章地找出等量关系,列出方程.下一步解方程求未知数x的值,只是进行变形和运算,不需要什么特殊技巧.因此,代数解法具有一般性,这也是它优于算术解法之所在.

在前面的两例中,虽然比较分析了应用问题的算术解法和代数解法的特点,但对两者的联系未作进一步的探讨,下面通过例3,初步讨论一下这个问题.

例3 设有5元和10元的人民币共12张,共计85元,问其中5元、10元的人民币各几张?

算术解法 假如全部是5元的人民币,则共计

5×12=60(元),

与总和相差

85-60=25(元).

现在让我们逐次用一张10元的票子去换一张5元的票子,使得总张数保持不变,每换一次,总值将增加

10-5=5(元).

那么换几次才能补足总差额25元呢?这只要做一次除法就行了,即25÷5=5.所以答案是

10元人民币的张数=(85-60)÷(10-5) ①

=25÷5=5.

5元人民币的张数=12-5=7.

代数解法 设10元人民币的张数为x,则5元人民币的张数为(12-x),其中x是一个待求的未知数,在此它只是10元人民币张数的简写,利用上述未知数符号,根据

10元人民币的总元数+5元人民币的总元数=85,则可写出下列方程

10x+5(12-x)=85. ②

以下的工作便是用“运算律”和“等式的性质”解出方程②的x值,就可得到解答了.

用分配律,去掉②中之括号,得

10x+5×12-5x=85,

由交换律、分配律得

(10-5)x+60=85,

由等式性质,两边同减60,得

(10-5)x=85-60,

等式两边同除以(10-5),得

x=(85-60)÷(10-5)=5. ③

比较分析 在代数解法中,我们先引进一个未知数x,表示问题中待求的量(如10元人民币的张数),然后把未知数代入问题中,列出方程,再用运算律和等式的性质,求出方程中未知量x的值.在本例中,方程②的解就是③式

x=(85-60)÷(10-5)=5.

容易看出,算术解法其实就是上面由代数方程②所得的求值公式③,然后对于公式③中的每一步进行计算:

60=5×12,

85-60=25,

10-5=5,

(85-60)÷(10-5)=25÷5=5.

并对每一步计算找出合适的理由加以解释就是了.

同学们可能会问,在算术解法中,怎么会发现求值公式①呢?对这个问题的回答,大体有两种可能:

第一种可能是先用代数解法,由②求得公式①,但由于小学还没有学习代数,所以只好耐心地对①式中的每一步计算,结合题意加以解释,使同学们了解算术解法的合理性.

第二种可能是对上述实际问题,做了一番归纳的工作,就是:假如12张人民币都是5元的,则12×5=60;假如11张为5元,1张为10元,则11×5+10=65;假如10张为5元,2张为10元,则10×5+2×10=70;以此类推,不难发现当10元人民币的张数由0逐次加1时,总金额由60开始逐次加一个5,而①式就是这个意思.

把两种解法加以比较可以看出,算术解法的准备工作,对于给定类型的问题,先做一番实验归纳工作,从而求得解决该类问题的公式,或合理的有顺序的计算步骤,然后还要逐步对公式中的计算找出理由加以解释.显然,这样做是缺乏普遍性的.

而代数解法的准备工作是引入未知数符号,把问题中的数量关系,特别是等量关系用代数方程表示出来,然后再利用“运算律”和“等式性质”,求出方程中未知量应有的值,所以代数解法直截了当、简捷明快,具有高度普遍性. 一般说来,算术解法的公式和理由,由问题的类型不同而不同.但代数解法的基本原理就是有效地利用了“运算律”和“等式性质”,所以这种解法不仅具有普遍性,也具有统一性.

例4 有两个图书馆,自建馆以来,每年各进图书5千册,如果今年甲馆藏书23万册,乙馆藏书11万册,今后仍然是每年各进图书5千册,试问由今年起,什么时候甲馆藏书是乙馆的3倍?

下面用代数解法来解本题,以便从中进一步体会它的普遍性.

解 设由今年起x年后甲馆藏书是乙馆的3倍,则有代数方程

(23+0.5x)=3(11+0.5x).

利用分配律得

23+0.5x=33+1.5x,

两边同减0.5x得

23=33+1.5x-0.5x,

两边同减33得

23-33=1.5x-0.5x,

利用分配律得

23-33=(1.5-0.5)x, -10=x,

即 x=-10·

这就是说从今年起,10年前甲馆藏书已是乙馆藏书的3倍.

由此可见,代数解法,由于用字母表示了数,所以对所求的结果用正、负数的意义加以解释,就得到了这一问题的答案.这也就说明了代数解法比算术解法更具有普遍性.

练习二十

1.试用代数解法解下列应用题,再思考一下用算术解法怎么解?

(1)一个公司把它存货的60%用现金出售,25%用记账出售,15%用支票出售.如果支票出售的钱比记账出售的钱少4000元,那么现金出售的钱是多少?

(2)有糖块若干,要分给班上的同学,如果每人4块,则余14块,如果每人5块,则又少15块,试问班上共有多少人?共有多少块糖?

2.制造一种零件第一道工序每人每小时可做5件,第二道工序每人每小时可做3件,现在有工人40人,如何分配劳动力才能使生产配套?

3.某生产队春播2000公顷小麦,每天比预计多播50公顷,因此提前2天完成,求实际播种天数.

4.木梁重90千克,比木梁长2米的铁梁重160千克,已知每米木梁比铁梁轻5千克,求两根梁的长.

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