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08到13界全国数学竞赛试卷和答案

发布时间:2014-01-18 10:52:01  

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,b 满足

于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

【答】C.

解:由题设知a≥3

,所以,题设的等式为

a?3,b??2,从而a?b=1. b?2?02a?4?b?24?2a,则a?b等,于是

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).

11

(A

)2 (B

)2 (C)1 (D)2 【答】A.

BOBC?ABAC,即 解:因为△BOC ∽ △ABC,所以

1a? aa?1,

2所以, a?a?1?0.

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由a?

0,解得a?1?2.

3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则

?ax?by?3,?使关于x,y的方程组?x?2y?2 只有正数解的概率为( ).

12513

(A)12 (B)9 (C)18 (D)36

【答】D.

解:当2a?b?0时,方程组无解.

6?2b?x?,??2a?b??y?2a?3.2a?b ?当2a?b?0时,方程组的解为?

?2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33???2a?ba?,a?,???22???2a?3?0,?b?3,?b?3.?由已知,得?2a?b即?或?

由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

3,4,5,6,?a?2,?2,?b?1,?a?1,?5,6,共有 5×2=10种情况;或?b?4,共3种情况.

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为13

36.

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点

B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△

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ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图象如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B.

解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故

1

S△ABC=2×8×4=16.

22x?xy?2y?29的整数解5.关于x,y的方程(x,y)的组数为( ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

【答】C.

解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为

22x?yx?(2y?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数.

222??y?4(2y?29)??7y?116≥0, 由

116?16.57y7解得 ≤.于是 2

2y显然,只有?16时,??4是完全平方数,符合要求.

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2当y?4时,原方程为x?4x?3?0,此时x1??1,x2??3;

2当y=-4时,原方程为x?4x?3?0,此时x3?1,x4?3.

所以,原方程的整数解为

?x3?1,?x1??1,?x2??3,?x4?3,????y?4;y?4;y??4;?1 ?2 ?3 ?y4??4.

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .

【答】3750.

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km kk

磨损量为5000,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000.又设一对新轮胎交换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

ky?kx??k,??50003000??ky?kx?k,??50003000

k(x?y)k(x?y)??2k3000两式相加,得 5000,

x?y?2

?50003000?3750则 .

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7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则

AH

AB的值为 .

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF . 由题设知

AC?

11ADAB?AE33,,在△FHA和△EFA中,

?EFA??FHA?90?,?FAH??EAF

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA,

AHAF

?

AFAE.

AH1

?AB3. 而AF?AB,所以

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数,若b是关于x的方程?

x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009

的整

数根,则b的值为 . 【答】 10. 解:因为?

b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009

a4,a5

,且a1,a2,a3,是

五个不同的整数,所有b?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也是五个不同的整数. 又因为

2009?1???1??7???7??41

,所以 .

b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41

由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10.

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9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于 .

【答】7.

解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且?ACB?90?. 作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由

1?ECF??ACB?45?2,得CF=x,于是BF=20

-x.由于EF∥AC,所以 EFBF? ACBC,

x20?x?1520, 即

解得x?

60CE??7. 7.所以

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则

是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好

的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人

将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出

来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 .

【答】?2.

解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8?x. 于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9的人心里想的数是 16?(4?x)?12?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x,报3

的人

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心里想的数是4?(8?x)??4?x.所以

x??4?x,

解得x??2.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

22y?x?(2k?1)x?k11.函数的图象与x轴的两个交点是否都在直线

x?1的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在

直线x?1的右侧时k的取值范围.

解:不一定,例如,当k=0时,函数的图象与x轴的交点为(0,0)

(1,0),不都在直线x?1的右

侧. ??????5分

设函数与x轴的两交点的横坐标为

且仅当满足如下条件

??≥0,??(x1?1)?(x2?1)?0,?(x?1)(x?1)?0?12x1,x2,则x1?x2??(2k?1),x1x2?k2, ??????10分

时,抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧.

?(2k?1)2?4k2≥0,???2k?1?0,

?k2?2k?0,?由

解 ,之得

第 17 页 共 70 页

1?k≤,?4?1?k??,?2??k??2或k?0.?? ??????15分

所以当k??2时,抛物线与x轴的两交点在直线x?1的右侧.

??????20分

12.在平面直角坐标系xOy中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全

2y?(x?90)?4907的图象上所有平方数的点称为“好点”,求二次函数

“好点”的坐标.

222y?m,(x?90)?k解:设,m,k都是非负整数,则

k2?m2?7?701?1?4907,

即 (k?m)(k?m)?7?701?1?4907. ?????10分

?k?m?701,?则有 ?k?m?7;

?k1?354,??m1?347;?k?m?4907,??k?m?1. ?k2?2454,??m2?2453. 解得

所以 ?x1?444,?x2??264,?x3?2544,?x4??2364,????y?120409;y?120409;y?6017209;?1?2?y4?6017209. ?3

故“好点”共有4个,它们的坐标是:

(444,120409),(?264,120409),(2544,6017209),(?2364,6017209). ??????20分

13.如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条

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高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论. 解法1:结论是DF?EG.下面给出证明. ??????5分

因为?FCD??EAB,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得 DF?BE?CD

AB.

EG?AD?CE

AB.

同理可得 ??????10分 又因为tan?ACB?ADBE?CDCE,所以有BE?CD?AD?CE,于是可得 DF?EG. ??????20分

解法2:结论是DF?EG.下面给出证明.

?????? 5分

连接DE,因为?ADB??AEB?90?,所以A,B,D,E

四点共圆,故

?CED??ABC. ??????10分

又l是⊙O的过点C的切线,所以?ACG??ABC. ??????15分

所以,?CED??ACG,于是DE∥FG,故DF=EG.

??????20分

?,an14.n个正整数a1,a2,满足如下条件:1?a1?a2???an?2009;

?,an且a1,a2,中任意n-1

个不同的数的算术平均数都是正整数.求

第 19 页 共 70 页

n的最大值.

?,an解:设a1,a2,中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整

(a1?a2???an)?ai

数bi,i?1,2,?,n.即 bi?n?1.

于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有

baj?ai

i?bj?n?1,

n?1(aj?ai). ??????5分

an?a1

由于 b1?bn?n?1?2008

n?1是正整数,故

n?123?251. ??????10分 由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1? ≥?n?1???n?1?????n?1??(n?1)2, 所以,(n?1)2≤2008,于是n ≤45.

结合n?13?2,25所1以,n

9. ??????15分

另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,?,a8?8?7?1,a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.

综上所述,n的最大值

9. ??????20分

第 20 页 共 70 页 而≤为

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若(A),则 (B)的值为( ). (C) (D) 解: 由题设得

代数式变形,同除b

2.若实数a,b满足

(A)

a

解.C . ,则a的取值范围是( ). 或 a≥4 (D)≤a≤4 (B)a4 (C)a≤

因为b是实数,所以关于b的一元二次方程

的判别式

≥0,解得a≤ 或 a≥4. 方程思想,判别式定理;要解一元二次不等式

3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=BC=

(A)

(C),CD=,则AD边的长为( ).

第 21 页 共 70 页 , (B) (D)

解:D

如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F. 由已知可得 BE=AE=,CF=

. ,DF=2, 于是 EF=4+

过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得 AD=.

勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法

4.在一列

数??中,已

知,且当k≥2时

(取整符号则表示不超过实数的最大整数,例如,),等于( ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解:B 由,和,,, 可得 第 22 页 共 70 页

,?? ,,,

因为2010=4×502+2,所以

高斯函数;找规律。 =2.

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,??,重复操作依次得到点P1,P2,?, 则点P2010的坐标是( ).

(A)(2010,2) (B)(2010,

(C)(2012,) ) (D)(0,2)

解:B由已知可以得到,点,的坐标分别为(2,0),(2,记,其中. ). 根据对称关系,依次可以求得:

,令

(,,的坐标为

(.

),

即,同样可以求得,

点),

由于2010=4502+2,所以点的坐标为(2010,).

第 23 页 共 70 页

二、填空题

6.已知a=

解:0

由已知得 (a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是

2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t= .

解:15

设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为

车,由题意得

, ①

, ②

由①②,得

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别

第 24 页 共 70 页 -1,则2a3+7a2-2a-12 的值等于 . (千米/分),并设货车经x分钟追上客. ,所以,x=30. 故 (分).

是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 .

解:

CE,DF,且相交于如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AF

点N.

由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,

过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分. 于是,直线即为所求的直线. 设直线的函数表达式为,则

第 25 页 共 70 页

解得

,故所求直线的函数表达式为.

9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则 .

解:

见题图,设 .

(舍去).

,所以

第 26 页 共 70 页

因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以

又因为 FC=DC=AB,所以

解得又Rt

△,或∽Rt

, ,

=.

10.对于i=2,3,?,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若的最小

值满

足,则正整

数的最小值为 . 解: 因为为的倍数,所以的最小值满足

, 其中表示的最小公倍数. 由于

, 因此满足的正整数的最小值为.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证:

第 27 页 共 70 页

证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以ED⊥BC, FD⊥BC,

因此D,E,F三点共线. ????(5分) 连接AE,AF,则

所以,△ABC∽△AEF. ????(10分)

作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

第 28 页 共 70 页

从而

所以

(20分)

12.如图,抛物线, . ????(a0)与双曲线相交于点A,B. 已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).

(1)求实数a,b,k的值;

(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标

.

解:(1)因为点A(1,4)在双曲线

所以k=4. 故双曲线的函数表达式为

设点B(t,),上, . ,则有

,AB所在直线的函数表达式为

解得,.

第 29 页 共 70 页

于是,直线AB与y轴的交点坐标为

,整理得

解得,故

, ,). ,或t=(舍去).所以点B的坐标为(因为点A,B都在抛物线

????(10分)

(a0)上,所以

解得

(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(

所以

设抛物线

标为(,0).

,所以∠COB=.

.这时,点(,. (a0)与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐,4),于是CO=4. 又BO=2,因为∠COD=∠BOD=(i)将△绕点O顺时针旋转,得到△

). 2)是CO的中点,点的坐标为(4,

延长到点,使得=,这时点(8,)是符合条件的点.

,得到点(1,);(ii)作△关于x轴的对称图形△第 30 页 共 70 页

延长的点. 到点,使得=,这时点E2(2,)是符合条件

所以,点的坐标是(8,),或(2,). ????(20分)

13.求满足

.解:由题设得

所以

(5分)

(1)若,令,k是正整数,于是

, 故,从而. ,

的所有素数p和正整数m. , ,由于p是素数,故,或. ??

所以(2)若当时,有解得,令 ????(10分) ,k是正整数. ,

, 故 由于,从而,或2. 是奇数,所以,从而. 于是

这不可能. 当时, ,;当,,无正整数解;

第 31 页 共 70 页

当时,,无正整数解.

综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. ????(20分)

14.从1,2,?,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

解:首先,如下61个数:11,,,?,(即1991)满足题设条件. ????(5分)

另一方面,设是从1,2,?,2010中取出的满足题

,因为

设条件的数,对于这n个数中的任意4个数

所以

, .

因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. ????(10分) 设

由所以,≤

故,i=1,2,3,?,n. ,得, ,即≥11. ????(15分)

, ≤60. 所以,n≤61.

综上所述,n的最大值为61. ??(20分)

第 32 页 共 70 页

2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间2011年3月20日9︰30-11︰30满分150

答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答

2、解答书写时不要超过装订线

3、草稿纸不上交。

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1

、设x?3

2,则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( C )

A.0 B.1 C.-1 D.2

2、对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:(a,b)?(c,d)?(ac?bd,ad?bc)。如果对于任意实数u,v,都有(u,v)?(x,y)?(u,v),那么(x,y)为( B )。

A.(0,1) B.(1,0) C.(?1,0) D.(0,?1)

53sin2A?cos2B?tcos2A?sin2B?t2

4,4,3、已知A,B是两个锐角,且满足

则实数t所有可能值的和为( C )

8511?A.3 B.3 C.1 D.3 ?

4、如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设S四边形EADF=S1,S?BDF=S2,S?BCF=S3,S?CEF=S4,则S1S3与S2S4系为( C )

A.S1S3<S2S4

第 33 页 共 70 页 B E C

B.S1S3=S2S4

C.S1S3>S2S4

D.不能确定

1111S=3+3+3+?+20113,则4S的整数部分等于( A ) 5、设123

A.4 B.5 C.6 D.7

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、两条直角边长分别是整数a,b(其中b?2011),斜边长是b?1的直角三角形的个数为__31__。

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为51的概率是____。9

8、如图,双曲线y?2(x?0)x与矩形OABC的边CB,BA分别交于点E,F且AF=BF,连接

EF,则△OEF3的面积为_____;2 9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成

的区域的个数为_____。28

333310、设四位数abcd满足a?b?c?d?1?10c?d,则这样的四位数的个

数为___。5

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

第 34 页 共 70 页

2xx11、已知关于的一元二次方程?cx?a?0的两个整数根恰好比方程

x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值。

2 解:设方程x?ax?b?0的两个根为α、β,其中α、β为整数,且

α≤β

2则方程x?cx?a?0的两个整数根为α+1、β+1,

由根与系数关系得:α+β=-a,(α+1)(β+1)=a

两式相加得:αβ+2α+2β+1=0即(α+2)(β+2)=3

???2?1???2??3????1????5??????2?3??2??1??1∴?或? 解得:?或????3

又∵a=-(α+β),b=αβ,c=-[(α+1)+(β+1)]

∴a=0,b=-1,c=-2或a=8,b=15,c=6

故a?b?c=-3或a?b?c=29

12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:

点P为CH的中点。

证明:如图,延长AP交⊙

连结AH,BD,QC,QH

∵AB为直径 ∴∠ADB=∠BDQ=900

∴BQ为⊙O2的直径

于是CQ⊥BC,BH⊥HQ

∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC,BH⊥AC

∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACHQ为平行四边形

则点P为CH的中点。

第 35 页 共 70 页 A

O2于点Q

13、若从1,2,3,?,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值。

解:若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5, 若a1,a2,a3,a4,a5都不是素数,则a1,a2,a3,a4,a5中至少有四个数是合数,不妨假设a1,a2,a3,a4为合数,

设a1,a2,a3,a4的最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4 由于a1,a2,a3,a4两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同 设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7

因为a1,a2,a3,a4为合数,所以a1,a2,a3,a4中一定存在一个 aj≥p2≥72=49,与n≥49矛盾,于是a1,a2,a3,a4,a5中一定有一个是素数

综上所述,正整数n的最大值为48。

14、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC。点P在△ABC内,且PA

PB=5,PC=2,求△ABC的面积。

解:如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,

第 36 页 共 70 页

则△ABQ∽△ ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2 于是,AQ=2 AP=23,BQ=2CP=4

A

∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°由AQ:AP=2:1知,∠APQ=900

于是,PQ=3AP=3

B C P

∴BP2=25=BQ 2+PQ 2 从而∠BQP=900 作AM⊥BQ于M,由∠BQA=1200,知

∠AQM=600,QM=3,AM=3,于是,

3) 2+32=28+83

6?73

AB 2=2∴AB2=BM 2+AM 2 =(4+故

13S△ABC=2AB?ACsin600=8

第 37 页 共 70 页

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中国教育学会中学数学教学专业委员会2012 年

全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5 小题,每小题7 分,共35 分)

1.如果实数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式 a2 ? |a +b | + (c ?a)2 + |b +c |可以化简为( ).

(A)2c- a (B)2a- 2b (C)- a (D)a

2.如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y = x b

(b ≠0 )的图象有两个交点,

其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

3.如果a,b 为给定的实数,且1< a <b ,那么1,a +1, 2a +b,a +b +1这四个数据的平

均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B) 2 1

4

a ?

(C) 1

2

第 38 页 共 70 页

(D) 1

4

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2 元,我的

钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2 倍”,其中n 为

正整数,则n 的可能值的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,

设其朝上的面上的两个数字之和除以4 的余数分别是0,1,2,3 的概率为0 1 2 3 p ,p,p ,p ,

则0 1 2 3 p ,p,p ,p 中最大的是( ).

(A) 0 p (B) 1 p (C) 2 p (D) 3 p

(第1 题图)

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二、填空题(共5 小题,每小题7 分,共35 分)

6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为

一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是.

第 39 页 共 70 页

7.如图,正方形ABCD 的边长为2 15 ,E,F 分别是AB,BC 的中点,AF 与DE,DB 分别交

于点M,N,则△DMN 的面积是.

8.如果关于x 的方程x2+kx+

4

3

k2-3k+

9

2

= 0 的两个实数根分别为1

x

, 2 x ,那么

2012

2

2011

1

x

x

值为.

9.2 位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼

第 40 页 共 70 页

此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3 分,负者得0 分;平局各得1 分. 比赛结

束后,所有同学的得分总和为130 分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值

为.

10.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,AB 是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作

BF⊥EC,并与EC 的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF 的长为.

三、解答题(共4 题,每题20 分,共80 分)

11.已知二次函数y = x 2 +(m + 3)x +m + 2,当?1< x < 3时,恒有y < 0;关于 x 的方

程x 2 +(m + 3)x +m + 2 = 0的两个实数根的倒数和小于 9

10

? .求m 的取值范围.

(第7 题图)

(第10 题图)

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12.如图,⊙O 的直径为AB ,⊙O 1 过点O ,且与⊙O 内切于点B .C

第 41 页 共 70 页

为⊙O 上的点,OC

与⊙O 1 交于点D ,且OD >CD .点E 在OD 上,且DC = DE ,BE的延长线与⊙O 1 交于

点F ,求证:△BOC∽△ 1 DO F .

13.已知整数a,b 满足:a-b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a≥2012 时,求a 的最小

值.

14.求所有正整数n,使得存在正整数1 2 2012 x,x , ?,x ,满足 1 2 2012 x < x <?< x ,且

1 2 2012

1 2 2012 n

x x x

+ +?+ = .

(第12 题图)

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中国教育学会中学数学教学专业委员会2012 年

全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1.C

解:由实数a,b,c 在数轴上的位置可知

第 42 页 共 70 页

b < a < 0 < c ,且b > c ,

所以 a2 ? |a +b | + (c ?a)2 + |b +c |= ?a + (a +b) + (c ?a) ? (b +c) = ?a .

2.D

解:由题设知,?2 = a ? (?3),(?3) ? (?2) =b,所以 2 6 3

a = ,b = .

解方程组

2

36

y x

y

x

? = ????

=

??

3

2

x

第 43 页 共 70 页

y

= ? ??

? = ?

3

2.

x

y

= ??

? =

所以另一个交点的坐标为(3,2).

注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因

此另一个交点的坐标为(3,2).

3.D

解:由题设知,1< a +1 < a +b +1 < 2a +b ,所以这四个数据的平均数为

1 ( 1) ( 1) (2 ) 3 4 2

4 4

+ a + + a +b + + a +b + a + b

第 44 页 共 70 页

= ,

中位数为( 1) ( 1) 4 4 2

2 4

a + + a +b + + a + b

= ,

于是4 4 2 3 4 2 1

4 4 4

+ a + b + a + b

? = .

4.D

解:设小倩所有的钱数为 x元、小玲所有的钱数为 y 元,为非负整数. 由题设

可得

2 ( 2)

2( )

x n y

y n x n

+ = ? ??

? + = ?

消去x 得(2y-7)n = y+4,

第 45 页 共 70 页 x,y 均

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2n =

2 7

1 15

2 7

(2 7) 15

?

= +

?

? +

y y

y

.

因为

15

2y ? 7

为正整数,所以2y-7 的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,

6,11.从而n 的值分别为8,3,2,1;x 的值分别为14,7,6,7.

5.D

第 46 页 共 70 页

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36 个,其和除以4 的

余数分别是0 , 1 , 2 , 3 的有序数对有9 个, 8 个, 9 个, 10 个, 所以

0 1 2 3

9 8 9 10

36 36 36 36

p = ,p = ,p = ,p = ,因此 3 p 最大.

二、填空题

6.7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得27x-26≤487,

81x-80>487.

解得7<x≤19.

容易验证,当 7<x≤19 时,3x ? 2≤487 9x ?8≤487,故x 的取值范围是

7<x≤19.

7.8

解:连接DF,记正方形ABCD 的边长为2 a . 由题设易知△ BFN ∽△ DAN ,所以

第 47 页 共 70 页

2

1

AD AN DN

BF NF BN

= = = ,

由此得AN = 2NF ,所以 2

3

AN = AF .

在 Rt△ABF中,因为AB = 2a,BF = a ,所以

AF = AB2 + BF 2 = 5a ,

于是cos 2 5

5

BAF AB

AF

∠ = = .

由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ∠AED = ∠AFB ,

(第7 题)

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∠AME =1800 ?∠BAF ?∠AED =1800 ?∠BAF ?∠AFB = 90 . 于是cos 2 5

第 48 页 共 70 页

5

AM = AE ? ∠BAF = a ,

2 4 5

3 15

MN = AN ? AM = AF ? AM = a, 4

15

MND

AFD

S MN

S AF

Δ

Δ

= = .

又 1 (2 ) (2 ) 2 2

AFD 2 S a a a Δ = ? ? = ,所以 4 8 2 MND 15 AFD 15 S S a Δ Δ = = . 因为a = 15,所以 8 MND SΔ = . 8.

3

? 2

解:根据题意,关于x 的方程有

第 49 页 共 70 页

Δ =k2-4 2 (3 3 9)

4 2

k ? k + ≥0,

由此得(k-3)2≤0.

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+ 4

9

=0,解得x1=x2=

3

2

? .

2012

2

2011

1

x

x

=

2

1

x

第 50 页 共 70 页

=

2

3

? .

9.8

解:设平局数为a ,胜(负)局数为b ,由题设知 2a + 3b =130,

由此得0≤b≤43.

又( 1)( 2)

2

a b m m + +

+ = ,所以2a + 2b = (m +1)(m + 2) . 于是 0≤b =130 ? (m +1)(m + 2)≤43,

87≤(m +1)(m + 2)≤130,

由此得 m = 8,或m = 9 .

当m = 8时,b = 40,a = 5;当m = 9时,b = 20,55

2 2

a a b +

> = ,不合题设.

故m = 8.

(第10 题)

第 51 页 共 70 页 a = 35,

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2

3 2

解:如图,连接AC,BD,OD.

由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此

BC BA

CF AD

= .

因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD,所以OD 垂直平分AC,于是 2 DE OE

DC OB

= = . 因此

DE = 2CD = 2AD,CE = 3AD .

由△AED ∽△CEB ,知DE ?EC = AE ?BE .因为 3

第 52 页 共 70 页 OD∥BC,

2 2

AE = BA,BE = BA ,

所以

2 3 3

2 2

AD ? AD = BA ? BA ,BA= 2 2 AD ,故

CF AD BC

BA

= ? = 3 2

2 2 2

BC = .

三、解答题

11.解: 因为当?1< x < 3时,恒有y < 0,所以 Δ =(m + 3)2 ?(4 m + 2)> 0,

即(m +1)2 > 0,所以m ≠ ?1. ???(5 分) 当x = ?1时,y ≤0;当x = 3时,y ≤0,即 (?1)2 + (m + 3)(?1) +m + 2≤0,

且 32 + 3(m + 3) +m + 2≤0,

解得m ≤?5. ???(10分)

设方程x 2 + (m + 3)x + (m + 2) = 0的两个实数根分别为x ,由一元二次方程根与

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第 53 页 共 70 页 , 1 2 x

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Email:kaiweimaths@sina.com QQ:1595047949 系数的关系得

( ) 1 2 1 2 x + x = ? m + 3 ,x x =m + 2. 因为

1 2

1 1 9

x x 10

+ < ? ,所以

1 2

1 2

3 9

2 10

x x m

x x m

+ +

= ? < ?

+

解得m < ?12,或m > ?2.

因此m < ?12. ????(20分)

12. 证明:连接BD,因为OB 为1

第 54 页 共 70 页

O ⊙ 的直径,所以∠ODB = 90°.又

因为DC = DE ,所以△CBE是等腰三角形.

????(5 分)

设BC 与1

O⊙ 交于点 M ,连接 OM,则 ∠OMB = 90° .又因为

OC =OB ,所以

∠BOC = 2∠DOM = 2∠DBC 1 = 2∠DBF = ∠DO F .

????(15 分)

又因为1 ∠BOC,∠DO F 分别是等腰△BOC ,等腰△ 1 DO F 的顶角,所以

△BOC∽△ 1 DO F . ????(20 分)

13.解:设a-b = m(m 是素数),ab = n2(n 是正整数). 因为(a+b)2-4ab = (a-b)2,

所以(2a-m)2-4n2 = m2,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m2. ???(5 分)

因为2a-m+2n 与2a-m-2n 都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m 为素数),所以

2a-m+2n = m 2,2a-m-2n = 1.

解得a =

( 1)2

4

m +

第 55 页 共 70 页

,n =

2 1

4

m ?

.

于是b = a-m =

1 2

4

(m ? )

. ????(10 分)

(第12 题)

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Email:kaiweimaths@sina.com QQ:1595047949 又a≥2012,即

( 1)2

4

m +

≥2012.

又因为m 是素数,解得m≥89. 此时,a≥ 4

(89 +1)2

第 56 页 共 70 页

=2025.

当a = 2025时,m = 89,b =1936,n =1980 .

因此,a 的最小值为2025. ????(20 分)

14.解:由于1 2 2012 x,x , ?,x 都是正整数,且 1 2 2012 x < x <?< x ,所以

1 x

≥1, 2 x ≥2,?, 2012 x ≥2012.

于是

1 2 2012

n 1 2 2012

x x x

= + +?+ ≤

1 2 2012 2012

1 2 2012

+ +?+ = .????(10分)

当n =1时,令 1 2 2012 x = 2012,x = 2× 2012, ?,x = 2012× 2012,则

1 2 2012

1 2 2012 1

x x x

+ +?+ = .????(15分)

当n = k +1时,其中1≤k ≤2011,令 1 2 1 2 k x = ,x = , ?,

第 57 页 共 70 页

x = k,

1 2 2012 (2012 )( 1) (2012 )( 2) (2012 ) 2012 k k x k k x k k x k + + = ? + , = ? + , = ? × ,则

1 2 2012

1 2 2012 (2012 ) 1

2012

k k

x x x k

+ + + = + ? ?

?

? = k +1 = n .

综上,满足条件的所有正整数 n 为1, 2 ,?

(20分)__

第 58 页 共 70 页 2 012. , ????

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2.解答书写时不要超过装订线.

3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分) 424424??3,y?y?3?y44x21.已知实数x,y满足 x,则x的值为( ).

(A)7 (B) (C) (D)5

【答】(A)

2解:因为x?0,y≥0,由已知条件得 2

12??y??2x, ,

422422?y??3?3?y??y?6?422x所以 x x7.

2?22(?)?(?)?3?0?22x?x

?(y2)?y2?3?0?另解:由已知得:2222?y?,y22xx,显然,以为根的一?

2元二次方程为t?t?3?0,所以 (?2222)?y??1,  (?)?y??322xx

422422?y[(?)?y]?2? (?)?y2?(?1)2?2?(?3)?7422xx故x=

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先

2y?x?mx?n的后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数

图象与x轴有两个不同交点的概率是( ).

第 59 页 共 70 页

54117

(A)12 (B)9 (C)36 (D)2

【答】(C)

解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数. 由题意知

22?=m?4n>0,即m>4n.

通过枚举知,满足条件的m,n有17对. 故P?17

36.

3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( ).

(A)6条 (B) 8条 (C)10条 (D)12条

【答】(B)

解:如图,大圆周上有4个不同的点A,B,C,D,两两连线可以确

定6条不同的直线;小圆周上的两个点E,F中,至少有一个不是四

边形ABCD的对角线AC与BD的交点,则它与A,B,C,D的连线中,至少有两条不同于A,B,C,D的两两连线.从而这6个点可以确定

的直线不少于8条.

当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线.

所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.

4.已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB?a?1.以AB为一边在圆O(第3题)

内作正△ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DB?AB?a,DC的延长线交圆O于点

E,则AE的长为( ).

a(A)

2 (B)1 (C)2 (D)a

【答】(B)

解:如图,连接OE,OA,OB. 设?D??,则

?ECA?120?????EAC.

11?ABO??ABD??60??180??2???120???, 22又因为(第4题)

所以△ACE≌△ABO,于是AE?OA?1.

另解:如图,作直径EF,连结AF,以点B为圆心,AB为半径

作⊙B,因为AB=BC=BD,则点A,C,D都在⊙B 上, 11?F??EDA??CBA??60??30?22由

第 60 页 共 70 页

所以AE?EF?sim?F?2?sim30??1

5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).

(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种

【答】(D)

解:设a1,a2,a3,a4,a5是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.

,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都首先,对于a1,a2,a3,a4

是偶数,与已知条件矛盾.

aaa又如果i(1≤i≤3)是偶数,i?1是奇数,则i?2是奇数,这说明一个偶数后面

一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数. 所以a1,a2,a3,a4,a5只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3;

4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u?v?uv?v.若关于x的方程x?(a?x)??1

4有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围

是 .

【答】a?0,或a??1. x?(a?x)??11(a?1)x2?(a?1)x??04,得4, 解:由

?a?1?0,???(a?1)2?(a?1)?0,?依题意有

解得,a?0,或a??1.

7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.

【答】4.

解:设18路公交车的速度是x米/分,小王行走的速度是y米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s米.

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则 6x?6y?s. ①

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每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则3x?3y?s. ②

s?4s?4xx由①,②可得 ,所以 .

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.

8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,

AD是∠BAC 的平分线,MF∥AD,则FC的长为 .

【答】9.

解:如图,设点N是AC的中点,连接MN,则MN∥AB.

又MF//AD,所以 ?FMN??BAD??DAC??MFN,

FN?MN?1AB2.

11AB?AC?229.

(第8题)

所以 (第8题答案) 因此 FC?FN?NC?另解:如图,过点C作AD的平行线交BA的延长线为E,延长MF交 AE于点N. 则?E??BAD??DAC??ACE

所以AE?AC?11. 又FN//CE,所以四边形CENF是等腰梯形,

即CF?EN?11BE??(7?11)?922

9.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,则DE的长为 .

16

【答】3.

解:如图,设△ABC的三边长为a,b,c,内切圆I的半径为r,

BC边上的高为ha,则

11aha?S△ABC?(a?b?c)r22, ra?

所以 haa?b?c. (第9题答案)

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ha?rDE?BC, 因为△ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,因此ha

DE?ha?rra?a?(1?)a?(1?)a?a(b?c)

hahaa?b?ca?b?c, 所以

DE?故 8?(7?9)16?8?7?93.

另解:

?

S?ABC?rp??(这里p?a?b?c2Sr??ha?△ABC??a122)

所以

DEha?r2???BCh3, a由△ADE∽△ABC,得

即DE??216BC?33

22x?y?208(x?y)的所有正整数解为 . 10.关于x,y的方程

?x?48,?x?160,??y?32,?y?32. 【答】?

解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x,y都是偶数.

设x?2a,y?2b,则

a2?b2?104(a?b),

同上可知,a,b都是偶数.设a?2c,b?2d,则

c2?d2?52(c?d),

所以,c,d都是偶数.设c?2s,d?2t,则

s2?t2?26(s?t),

222(s?13)?(t?13)于是 =2?13,

其中s,t都是偶数.所以

(s?13)2?2?132?(t?13)2≤2?132?152?112.

第 63 页 共 70 页

所以s?13可能为1,3,5,7,9,进而(t?13)为337,329,313,289,257,2

?s?6,?s?20,??2s?13t?4;(t?13)?t?4, 故只能是=289,从而=7.于是?

?x?48,?x?160,??y?32,?y?32.?因此

2222(x?104)?(y?104)?2?104?21632(y?104)?21632, 另解:因为 则有

又y正整数,所以 1?y?43

22a?|x?104|,b?|y?104|, 则a?b?21632 令

因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9

2222a,ba?b?21632由知的个位数只能是1和1或6和6;

22a,b当的个位数是1和1时,则a,b的个位数字可以为1或9

22但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数,与a?b的十位数字为3

矛盾。

22a,b当的个位数是6和6时,则a,b的个位数字可以为4或6。

由105?b?147,取b=106,114,116,124,126,134,136,144,146代入

?|x?104?|56?22a?b?21632得,只有当b=136时,a=56,即?|y?104?|13 6解得

?x?48?x?160,??y?32??y?32

三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)

11.在直角坐标系xOy中,一次函数y?kx?b(k?0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于

用b表示k;

求△OAB面积的最小值.

解:(1)令x?0,得y?b,b?0;令y?0,得x??b?0,k?0k. OA?OB?3.

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bA(?,0),B(0,b)k所以A,B两点的坐标分别为,于是,△OAB的面积为

S?1bb?(?)2k.

1bbb?(?)???b?3kk由题意,有 2,

2b?b2

k?2(b?3),b?2.?????? 5分 解得

1bb(b?3)(b?2)2?7(b?2)?10S?b?(?)??2kb?2b?

2 (2)由(1)知

?b?2?102?7?)?7?b?27?2, 当且仅当b?2?10

b?

2时,有S?b?2?,k??1时,不等式

中的等号成立.

所以,△ABC面积的最小值为7?2. ?????? 15分

2 12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px?qx?p?0有有

理数根?

222??q?4p?n解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令,

2(q?n)(q?n)?4p其中n是一个非负整数.则. ?????? 5分

由于1≤q?n≤q+n,且q?n与q?n同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:

?q?n?2,?q?n?4,?q?n?p,?q?n?2p,?q?n?p2,?????22q?n?2p,q?n?p,q?n?4.q?n?4p,q?n?2p,? ? ? ? ? 消去n,解2得p25pp2

q?p?1, q?2?, q?, q?2p, q?2?222.?????? 10分 对于第1,3种情形,p?2,从而q=5;对于第2,5种情形,p?2,从而q=4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q是合数(不合题意,舍去).

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1x?,x2?212p?22x?5x?2?02又当,q=5时,方程为,它的根为,它们都

是有理数.

综上所述,存在满足题设的质数?????? 15分

★12、已知a,b为正整数,关于x的方程x?2ax?b?0的两个实数根为

2

x1,x2,

2y?2ay?b?0的两个实数根为y1,y2,且满足y关于的方程

x1?y1?x2?y2?2008.

求b的最小值. 另解:由韦达定理,得

x1?x2?2a, x1?x2?b;y1?y2??2a, y1?y2?b

?y1?y2??2a??(x1?x2)?(?x1)?(?x2)

, ?

y?y?b?(?x1)?(?x2)即?12 ?y1??x1?y1??x2

或??

y??x2?y2??x1

解得:?2

把或

(?x1)?x2?(?x2)?2008 y1,y2的值分别代入x1?y1?x2?y2?2008 得x1?x1?(?x2)?x2?(?x1)?2008(不成立)

22

x?x1?2008,(x2?x1)(x2?x1)?2008 即2

因为

x1?x2?2a?0, x1?x2?b?0 所以x1?0, x2?0

2a?2008a?502?1?502?2?251 于是有

因为a,b都是正整数,所以

05?a?2?a?5?a?

或2?或或2??2

5b?02a?b?a?2b?51??1 ??a?1?a?502?a?2?a?251

或?或?或??2222

b?1?502b?502?1b?2?251b?251?4 ???分别解得:?

?a?502?a?251

, ??22

b?502?1b?251?4符合题意. ?经检验只有:?

?a?1

?2?a?

2a?

51

b?

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所以b的最小值为:b最小值?2512?4=62997

13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC?证明你的结论.

解:存在满足条件的三角形.

当△ABC的三边长分别为a?6,b?4,c?5时,?A?2?B.?????? 5分

如图,当?A?2?B时,延长BA至点D,使AD?AC?b.连接CD,则△ACD为等腰三角形.因为?BAC为△ACD的一个外角,所以?BAC?2?D.由已知,?BAC?2?B,所以

?B??D.所以△CBD为等腰三角形.

又?D为△ACD与△CBD的一个公共角,有△ACD∽△CBD,于是 ADCDba??CDBD, 即 ab?c,

(第13(A)题答案)

2a所以 ?b?b?c?.

26而?4?(4?5),所以此三角形满足题设条件,

故存在满足条件的三角形. ?????? 15分

说明:满足条件的三角形是唯一的.

2a?A?2?B若,可得?b?b?c?.有如下三种情形:

(i)当a?c?b时,设a?n?1,c?n,b?n?1(n为大于1的正整数),

22n?1?n?1???n?1??a代入?b?b?c?,得2?,解得n?5,有a?6,b?4,c?5; (ⅱ)当c?a?b时,设c?n?1,a?n,b?n?1(n为大于1的正整数),

22??a?bb?cn代入,得??n?1??2n,解得 n?2,有a?2,b?1,c?3,此时不能构成三角形;

(ⅲ)当a?b?c时,设a?n?1,b?n,c?n?1(n为大于1的正整数),

22a代入?b?b?c?,得?n?1??n?2n?1?,即 n?3n?1?0,此方程无整数解. 2

所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满足条件.

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★13、如图,△ABC的三边长BC?a, AC?b, AB?c, a,b,c都是整数,且a,b的最大公约数是2。点G和点I分别为△ABC的重心和内心,且

?GIC?90?,求△ABC的周长.

另解:如图,连结GA,GB,过G,I作直线交BC、AC于点E、F

,作△ABC的内切圆I,切BC边于点D。记△ABC的半周长为P,内切圆半径为r,BC,AC边上的高线长为

ha,h

b

?S?ABC?rp?

a

?r?

r2

DE?

CD?p?c,在Rt?CIE中,p?c 易知:

(p?a)(p?b)DE?

p即

(p?a)(p?b)ab

CE?CD?DE?(p?c)??

pp ∴

又∵CI?EF,CI平分?ACB,所以CE=CF 由

C

S?ABC?S?ABG?S?BEG?S?AFG?S?FEC 

S?ABC1abha1abhb1ab

S?ABC=??(a?)???(b?)??2???r

32p32p32p得: S?ABC=

S?ABC1p?b1p?aab?(?a?ha)??(?b?hb)??2?rp323p23pp

222p?cp?3ab3ab?2p?cp?p(2p?c)?P(a?b)

整理得 ,即

6ab

m?2p?

a?b为整数。 设△ABC的周长为m,则

由已知

都是正整数,代入上式,(a,b)?2,设a?2s,b?2t,且(s,t)?1,s,t

m?

12st

s?t

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(s,s?t)?1,(t,s?t)?1,∴s?t是12的约数,即s?t=1,2,3,4,6,

12 不

s?t

,则

(s,t)=1

,得

?s?1

??t?1?m?6??s?2?,?t??m?8??s?3?1?t?,?m?9??s?5??t1??m?1?

?s??

,?t?1

?m?0?

?s?

?t??,1???m1

1

3

,

?s?7

??t?5?m?35

经检验,只有?符合题意,

所以:a?14,b?10,c?11或a?10,b?14,c?11,即所求△ABC的周长为35。 14.从1,2,?,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值.

解:当n=4时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除.????? 5分

当n=5时,设

a1,a2,?,a5

是1,2,?,9中的5个不同的数.若其中任意若

a1,a2,?,a5

干个数,它们的和都不能被10整除,则2和8;3和7;4和6.于是若

a1,a2,?,a5

中不可能同时出现1和9;

a1,a2,?,a5

中必定有一个数是5.

中含1,则不含9.于是不含4(4+1+5=10),故含6;于是不

含3(3+6+1=10),故含7;于是不含2(2+1+7=10),故含8.但是5+7

+8=20是10的倍数,矛盾. 若

a1,a2,?,a5

中含9,则不含1.于是不含6(6+9+5=20),故含4;于是不

含7(7+4+9=20),故含3;于是不含8(8+9+3=10),故含2.但是5+3+2=10是10的倍数,矛盾.

综上所述,n的最小值为5.?????? 15分 ★★ 14、已知有6个互不相同的正整数

a1,a2,?,a6

,且

a1?a2???a6

,从这

6个数中任意取出3个数,分别设为

f(i,j,k)?

123

?aiajak

ai,aj, ak

,其中i?j?k。记

证明:一定存在3个不同的数组(i,j,k),其中1?i?j?k?6,使得对应着的3

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个f(i,j,k)两两之差的绝对值都小于0.5.(征求答案)

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