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1987年全国初中数学联合竞赛试题及解答

发布时间:2014-01-19 09:59:49  

1987年第四届全国初中数学联合竞赛

第一试

一、选择题

1.已知实数a,b,c满足a?b?c?0,abc?8,那么

A.是正数 B.是零 C.是负数 111??的值( ) abcD.正、负不能确定

2.在一条直线上已知四个不同的点依次是A,B,C,D,那么到A,B,C,D的距离之和最小的点( )

A.可以是直线AD上的某一点

C.只是线段AD的中点 B.只是B点和C点 D.有无穷多个

3.如图,AB是半圆的直径,O是圆心,CD⊥AB,DE⊥OC,如果AD,BD和CD的长都是有理数,那么命题

甲:OE的长是有理数.

乙:DE的长是有理数.

丙:图中所有字母表示的线段的长都是有理数.( )

A.只有甲正确

B.只有乙正确 D.甲、乙、丙都正确 EADOBC.只有甲、乙正确

4.已知方程|x|?ax?1有一个负根而且没有正根,那么a的取值范围是( )

A.a??1 B.a??1 C.a≥1 D.非上述答案

5.已知四边形ABCD内有一点E,连接AE,BE,CE,DE,将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形,那么命题

甲:ABCD是凸四边形.

乙:E是对角线AC的中点或对角线BD的中点.

丙:ABCD是平行四边形.

在以上三条中( )

A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙、丙都正确 D.甲、乙、丙都不正确

,那么这个

198位6.把由1开始自然数依次写下去,直写到第198位为止:123456789101112

数用9除的余数是( )

A.4 B.6 C.7 D.非上述答案

1

二、填空题

1.在三边长是连续自然数,周长不超过100的三角形中,锐角三角形的个数是________.

2.设a,b,c分别是△ABC的三个角?A,?B,?C所对边的长,而且?A?60?,那么cb的值是_________. ?a?ba?c

?1,???2,那么方程?3x?1??2x?13.[a]表示不大于数a

的最大整数.例如

?2

的所有根的和是__________.

4.设自然数n有下面性质:从1,2,…,n中任取50个不同的数,这50个数中必有两个数之差等于7,这样的n最大的一个是__________.

5.有个五位数的正奇数x,将x中的所有2都换成5,所有5都换成2,其他数字不变,得到一个新的五位数,记作y.若x和y满足等于y?2(x?1),那么x是_________.

第二试

一、当a、b为何值时,方程x2?2(1?a)x?(3a2?4ab?4b2?2)?0有实根?

二、已知:D是△ABC的边AC上的一点,且AD:CD=2:1,∠C=45°,∠ADB=60°.

求证:AB是△BCD的外接圆的切线.

2

三、已知存在正整数

p?111199

n个n,能使数1111被1987n个整除,求证:数77都能被1987整9988n个8877n个77和q?111199n个9988n个8877n个n个n个除.

3

1987年第四届全国初中数学联合竞赛

答案

第一试

一、选择题

1.C

【解析】 ∵abc?8.

∴a,b,c全不为0.

又∵a?b?c?0,则有

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ca)?0 ∵a2?b2?c2?0

∴ab?bc?ca?0. 故111ab?bc?caab?bc?ca?????0. abcabc8

故选C.

2.D

【解析】 易证明:线段BC上的每一点到四点A,B,C,D距离之和都等于AD?BC,

且平面上任一点到A,B,C,D距离之和最小为AD?BC. 因此平面上任一点到A,B,C,D距离之和的最小者有无穷多个. 故选D.

3.D

【解析】 因为AD、BD和CD的长都是有理数, 所以OA?OB?OC?AD?BD是有理数. 2

于是OD?OA?AD是有理数. OD2DC?DO由此OE?,DE?都是有理数, OCOC

CE?OC?OE,AB?AD?DB也是有理数,所以甲、乙、丙都是正确的. 故选D.

4

4.C

【解析】 设x是方程的负根,则?x?ax?1,由此x?

然a??1时,方程有一个负根.

假设方程有一个正根x,则x?ax?1,由些(1?a),x?1

1x??0,所以a?1. 1?a1

?1?0,所以a?1?0,a??1,显a?1所以方程有一个负根而且没正根的条件是a??1成立.

而且a?1不成立.

所以a≥1. 图 1本题还可利用函数图象求解,在同一直角坐标系函数y?|x|与y?ax?1的图象,如图1.

∵方程|x|?ax?1有一个负根而没有正根.

∴直线y?ax?1只与折线y?|x|在x?0处相交,由图象知a≥1. 故选C.

5.B

【解析】 如图2,点E在四边形ABCD内,线段AE也在图内,即射线AE在?BAD内,从

而B,D两点分别在射线AE的两侧.

由S△ABE?S△ADE,可知B,D到AE的距离相等,AE与BD的

交点F为BD的中点.

如果F与E重合,则E也是BD的中点,则乙成立.

若F与E不重合,同理由S△BEC?S△DEC得CE也过BD的中点

F,A,C都在直线EF上,即A,C,E,F在一条直线上.

于是,由S△AEB?S△BEC可知E点是AC的中点,故乙成立.

故选B.

6.B

【解析】 这个数是1234…9101112…99100101102,因为1?2?3?1?0?1?1?1?2??9能被9整除,?9?9(即10到99之间的所有整数的数字和)也能被9整除,所以这个数被9除的余数是1?0?0?1?0?1?1?0?2?6.

故选B

5

二、填空题

1.29

【解析】 设满足条件的三角形的三边长分别是n?1,n,n?1,

则??(n?1)?n?(n?1)≤100

?(n?1)?n?n?1,

即??n≤33.

?n?2

所以n?3,4,…,33.

n?3时,22?32?42,三角形是钝角三角形; n?4时,32?42?52,三角形是直角三角形; n≥5时,(n?1)2?n2?(n?1)2?n2?4n?n(n?4)?0,三角形是锐角三角形.所以满足条件的锐角三角形的个数是29.

2.1

【解析】 由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?bc, cbac?c2?ab?b2ab?ac?b2a?b?a?c?a2?ab?ac?bc??c2于是ab?ac?b2?c2?1.

3.?2

【解析】 令[3x?1]为整数t,按照[a]的定义有0≤(3x?1)?t?1, 又原方程为t?2x?1

2, 即x?1

2t?1

4代入上面的不等式,得0≤??37?

?2t?4???t?1, 解得?7

2≤t??3

2.

∴t??2或?3

当t??2时,x?3

1?4;

当t??3时,x5

2??4. ∴x3?5?

1?x2??4????4????2.

6

4.98

【解析】 因为50?7?7?1.由抽屉原则,从1,2,…,98中任取50个不同的数,必有8

个数被7除,所得的余数相同,设余数为r.

又因为98?14?7,所以在1,2,…,98中恰有14个数被7除余数为r,这14个数中任意8个不同的数,必有两数之差等于7,即98具有题中的性质. 另一方面,在1,2,…,99中可取出下列50个数:

1,2,…,7,15,16,…,21,29,30,…,35,43,44,…,49,57,58,…,63,71,72,…,77,85,86,…,91,99它们中任何两数之差都不是7,所以99没有题中的性质,因此这样的n最大的一个是98.

5.29995

【解析】 首先x的万位数字显然是2,从而y的万位数字必是5;其次x的千位数字必大于5,

但百位数字乘2后至多进1到千位,这样千位数字只能是9,依此类推得到x的前四位数字是2,9,9,9.x的个位数字只能是1,3,5,7,9.经检验,x的个位数字只能是5,所以x是29995.

第二试

一、

【解析】 解法1:

将已知方程两边乘以2后,

配方为(x2?4x?4)?(x2?4ax?4a2)?(a2?4ab?4b2)?0,

即(x?2)2?(x?2a)2?2(a?2b)2?0.

由非负数性质有x?2?0,x?2a?0,a?2b?0

故x??2,a?1,b??

即当a?1,b??1. 21时,原方程有实根. 2

解法2:因为方程有实根,所以判别式

??4[(1?a)2?(3a2?4ab?4b2?2)]

?4(?1?2a?2a2?4ab?4b2)

??4[(1?2a?a2)?(a2?4ab?4b2)]

??4[(1?a)2?(a?2b)2]≥0,

∵?4[(1?a2)?(a?2b)2]≤0,

7

∴?4[(1?a)2?(a?2b)2]?0, ∴1?a?0,且a?2b?0, 即a?1,b??

1. 2

1

时方程有实数根. 2

因此,当a?1,b??

二、

【解析】 证法1:如图3,作△B设圆心为O,边OB,OC,CD的外接圆,

OD.OD与BC相交于E.

A

B

O

易得?BOD?2?BCD?90?. 因为?DBC??ADB??ACB?15?, 所以?DOC?30?,所以?BOC?120?. 因为OB?OC,所以?OBC??OCB?

180??120?

?30?. 2

图 3

在△OEC中,因为?EOC??ECO?30?,所以OE?EC. 所以BE?2EO?2EC. 所以

CE1CD

,则AB∥DO, ??

EB2DA

故?ABO?90?,AB是△BCD的外接圆的切线.

证法2:如图4,过A作AE?BD交BD于E,连EC,在△ADE, ?AED?90?,?ADE?60?,

∴AE1

?,DE?AD?DC,

2B

A

DC

图 4

∵△EDC是等腰三角形. ∴?EDC?180???ADB?120?. ∴?DCE?30?. ?ECB??EBC?15?.

∴BE?EC.

又?DCE??DAE?30?,

∴AE?EC,因此BE?EC?AE.

?ABE?45???ACB由弦切角逆定理,AB是△BCD即△AEB是等腰直角三角形,

的外接圆的切线.

8

三、

【解析】 证明:易见

p?1111(103n?9?102n?8?10n?7),

n个

因为1111能被1987整除,所以p能被1987整除,类似地

n个

q?1111(103(n?1)?9?102(n?1)?8?10n?1?7),

(n?1)个

由10n?9?1111?1.

n个

103(n?1)?(10n)3103,

102(n?1)?(10n)2?102,

10n?1?10n?10,

得103(n?1),102(n?1)10n?1被1111除的余数分别是1000,100,10.于是q能被1987

n个

整除.

注:此题的结论可推广为

1.若In?1111可被abcd整除,a,b,c,d,n为自然数,0?a≤9,0≤b,

n个c,d≤9,则数aak个abbk个bcck个cddk个 d当k?n或n?1时,亦可被abcd整除.

2.若In?1111可被abcn个f整除,a,b,c,…f,n都是自然数,0?a≤9,

abbk个0≤b,c,…,f≤9,则数aak个bcck个cddk个d当k?n或n?1时,亦可被abc

f整除.

9

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