haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

发布时间:2014-01-19 10:00:01  

12999数学网 www.12999.com

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.)

1(甲).如果实数a,b,c

|a?b||b?c|可

以化简为( ).

(A)2c?a (B)2a?2b (C)?a (D)a

1(乙)

.如果a??21?1

12?3?a的值为( ).

(A

) (B

(C)2 (D

)2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =b(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一x

个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).

(A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

2(乙). 在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,y)的个数为( ).

(A)10 (B)9 (C)7 (D)5

3(甲).如果a,b为给定的实数,且1?a?b,那么1,a?1, 2a?b,a?b?1这四个数据的平均

数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1 (B)2a?111 (C) (D) 424

3(乙).如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,

△ABC是等边三角形.?ADC?30?,AD = 3,BD = 5,

则CD的长为( ).

(A)32 (B)4

(C)2 (D)4.5

4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱

数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( ).

第- 1 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4(乙).如果关于x的方程 x2?px?q?0(p,q是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的

个数是( ).

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设

其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为p0,p1,p2,p3,则p0,p1,p2,p3中最大的是( ).

(A)p0 (B)p1 (C)p2 (D)p3

5(乙).黑板上写有1 ,?共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数1

2131100

a,b,然后删去a,b,并在黑板上写上数a?b?ab,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).

(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99

二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分)

6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行

从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次

操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取

值范围是 .

6(乙).如果a,b,c是正数,且满足a?b?c?9,

11110abc,那么的值?????a?bb?cc?a9b?cc?aa?b

为 .

7(甲).如图,正方形ABCD的边长为2,

E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB

分别交于点M,N,则△DMN的面积是 .

7(乙).如图所示,点A在半径为20的圆O上,以OA为一条

作矩形OBAC,设直线BC交圆O于D、E两点,若OC?12,

段CE、BD的长度差是 。

8(甲). 如果关于x的方程x2+kx+则线根分别3

29k-3k+= 0的两个实数24

第- 2 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

为x1,x2,那么x1

x220112012 的值为

8(乙).设n为整数,且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除,则所有n的个数

为 .

9(甲). 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此

恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 . 9(乙).如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若(a,b,c)(x,y,z)

111a和均为三角形数,且a≤b≤c,则的取值范围是 . (abcc

10(甲)如图,四边形ABCD内接于⊙O,

AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,

交点为E. 作BF⊥EC,并与EC的延长线

交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的

长为 .

10(乙).已知n是偶数,且1≤n≤100.若有唯一的正整数对使得a2?b2?n成立,则这样(a,b)

的n的个数为 .

三、解答题(共4题,每题15分,共60分)

(m?3)x?m?2,当?1?x?3时,恒有y?0;关于x的方程11(甲).已知二次函数y?x?

x2?(m?3)x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?

11(乙). 如图所示,在直角坐标系

xOy中,点A在y轴负半轴上,点

B、C分别在x轴正、负半轴上,29.求m的取值范围. 10AO?8,AB?AC,sin???C?4

5x

。点D在线段AB上,连结CD交y轴于点E,且S?COE?S?ADE。试求图像经过B、C、E三点的二次

函数的解析式。

12(甲). 如图,⊙O的直径为AB,

第- 3 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

?O1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与?O1交于点D,且OD?CD.点E在OD上,且DC?DE,BE的延长线与?O1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.

12(乙).如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内

心. 求证:

(1)OI是△IBD的外接圆的切线;

(2)AB+AD = 2BD.

13(甲). 已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平方数. 当a?2012时,求a的最小值.

第- 4 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

13(乙).给定一个正整数n,凸n边形中最多有多少个内角等于150??并说明理由.

?x2012,满足x1?x2???x2012,且14(甲). 求所有正整数n,使得存在正整数x1,x2, ,

122012?????n. x1x2x2012

14(乙).将2,3,…,n(n≥2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a,b,c (可以相同),使得ab?c,求n的最小值.

参考解答

第- 5 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

一、选择题

1(甲) .C

解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知

b?a?0?c,且b?c,

所以

|a?b||b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a.

1(乙).B

解:1?1

2?1

3?

a?1?21?1?1??1?1? 2(甲).D

解:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).

2(乙).B

解:由题设x2+y2≤2x+2y, 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2.

因为x,y均为整数,所以有

2222??(x?1)?0,??(x?1)?0,??(x?1)?1,??(x?1)?1, ? ? ? ?2222??(y?1)?0;??(y?1)?1;??(y?1)?0;??(y?1)?1.

解得

?x?1,?x?1,?x?1,?x?0,?x?0,?x?0,?x?2,?x?2,?x?2, ? ? ? ? ? ? ? ? ?y?2;y?2;y?1;y?0;y?1;y?0;y?1;y?0;y?2.?????????

以上共计9对. (x,y)

3(甲).D

解:由题设知,1?a?1?a?b?1?2a?b,所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b, ?44

(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 , ?24

4?4a?2b3?4a?2b1于是 ??. 444

3(乙).B

解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.

由于AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE,

第- 6 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为?ADC?30?,所以?ADE?90?.

在Rt△ADE中,AE?5,AD?3,

于是DE

4(甲).D

解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数. 由题设可得 ?4,所以CD = DE = 4.

?x?2?n(y?2), ?y?n?2(x?n),?

消去x得 (2y-7)n = y+4,

2n =(2y?7)?1515. ?1?2y?72y?7

因为15为正整数,所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从2y?7

而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7.

4(乙).C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为?q?0,故方程的根为一正一负.由二次函数y?x?px?q的图象知,当x?3时,y?0,所以3?3p?q?0,即 3p?q?9. 由于p,q都是正整数,所以p?1,1≤q≤5;或 p?2,1≤q≤2,此时都有??p?4q?0. 于是共有7组(p,q)符合题意.

5(甲).D

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以 222

p0?98910,因此p3最大. ,p1?,p2?,p3?36363636

5(乙).C

解:因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1),所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x,则

第- 7 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

111x?1?(1?1)(?1)(?1)???(?1), 23100

解得 x?1?101,x?100.

二、填空题

6(甲).7<x≤19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.

由已知得

x-26≤487,

x-80>487.

解得 7<x≤19.

容易验证,当7<x≤19时,3x?2≤487 9x?8≤487,故x的取值范围是 7<x≤19.

6(乙).7

11110???两边乘以a?b?c?9得 a?bb?cc?a9

cabcab3????10即???7 a?bb?cc?aa?bb?cc?a解:在

7(甲).8

解:连接DF,记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN

∽△DAN,所以

ADANDN2???, BFNFBN1

2由此得AN?2NF,所以AN?AF. 3

在Rt△ABF中,因为AB?2a,BF?a,所以

AF,

于是 cos?BAF?AB. ?AF5

由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED??AFB,

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?.

于是 AM?AE?cos?BAF?, 5

2MN?AN?AM?AF?AM?, 3第- 8 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

S?MNDMN4??. S?AFDAF15

又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2,所以S?MND?S?AFD?a2.

21515

因为a?S?MND?8.

28 5

解:如图,设DE的中点为M,连接OM,则OM?DE.

7(乙).

因为OB??16,所以

OB?OC16?1248,

OM???BC205

3664. CM??,BM?55

643628. ??555CE?BD?(EM?CM)?(DM?BM)?BM?CM?8(甲).?2 3

39?=k2-4(k2?3k?)≥0, 42解:根据题意,关于x的方程有

由此得 (k-3)2≤0.

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+93=0,解得x1=x2=?. 24

x1x220112012=12=?. x23

8(乙).1610

解:n?n?3n?n?3?n?3

4?2??2??2?2?n2?n4?5n2?9 因此5|(n?9),所以n?1(mod5),因此n?5k?1,或5k?2 4

2012?5?402??2

所以共有2012-402=1610个数

9(甲).8

解:设平局数为a,胜(负)局数为b,由题设知2a?3b?130,由此得0≤b≤43.

(m?1)(m?2),所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是 2

0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43, 又 a?b?

第- 9 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

87≤(m?1)(m?2)≤130,

由此得 m?8,或m?9.

当m?8时,b?40,a?5;当m?9时,b?20,a?35,a?

故m?8.

9(乙).a?b55,不合题设. ?223?a??1 2c

?a?b?c(1)?解:依题意得:?111,所以b?c?a,代入(2)得 ??(2)??bca

11111????,两边乘以a得 abcc?ac

1?aac?aa即化简得a2?3ac?c2?0,两边除以c2得 ??c?ac,cc?a,

2a3?a3?5?a? 所以 ?3()?1?0????c2c2?c?

另一方面:a≤b≤c,所以3?5aa??1 ?1 综合得2cc

另解:可令a?k,由(1)得b?(1?k)c,代入(2)化简得k2?3k?1?0,解得

c

另一方面:a≤b≤c,所以k?1,

?k??k?1. ,10(甲).32 2

解:如图,连接AC,BD,OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD是⊙O

的内接四边形,所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此 BCBA. ?CFAD

因为OD是⊙O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,

第- 10 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

于是 DEOE??2. 因此 DCOB

DE?2CD?2AD,CE?3AD.

由△AED∽△CEB,知DE?EC?AE?BE.因为AE?

所以 2AD?3AD?BA3,BE?BA, 22BA3?BA,BA=22AD ,故 22

CF?AD?. ?

BC?2BA10(乙).12

解:依题意得n?a?b??a?b??a?b? 22

由于n是偶数,a+b、a-b同奇偶,所以n是4的倍数,即n?4k,

当1≤n≤100时,4的倍数共有25个,但要满足题中条件的唯一正整数对,则: (a,b)k?p或k?p2,其中p是素数,因此,k只能取下列12个数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n有12个。

三、解答题

11(甲).解: 因为当?1?x?3时,恒有y?0,所以

2??(m?3)?(4m?2)?0,

2即(m?1)?0,所以m??1.

…………(3分)

当x??1时,y≤0;当x?3时,y≤0,即

(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0,

且 3?3(m?3)?m?2≤0,

解得m≤?5.

…………(8分)

设方程x??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1,x2,由一元二次方程根与系数的关22

系得x1?x2???m?3?,x1x2?m?2. 因为x?x119m?39???,所以12????, x1x210x1x2m?210

第- 11 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

解得m??12,或m??2.

因此m??12.

…………(15分)

11(乙).解:因为sin∠ABC =AO4 ?,AO?8,AB5

所以AB = 10

.由勾股定理,得BO??6.

易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6.

于是A(0,?8),B(6,0),C(?6,0).

设点D的坐标为(m,n).

由S△COE?S△ADE,得S△CDB?S△AOB.

1111BC?n?AO?BO,?12(?n)??8?6. 2222

解得 n??4.

因此D为AB的中点,点 D的坐标为(3,?4). 所以

因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为△ABC的重心, 所以点E的坐标为(0,(也可由直线CD交y轴于点E来求得.) ?).

设经过B,C,E三点的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6). 将点E的坐标代入,解得a =832. 27

228x?. 273

故经过B,C,E三点的二次函数的解析式为y?

12(甲). 证明:连接BD,因为OB为?O1的直径,所以?ODB?90?.又因为DC?DE,所以△CBE是等腰三角形.

…………(5分)

设BC与?O1交于点M,连接OM,则?OMB?90?.又

因为OC?OB,所以

?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F.

…………(10分)

又因为?BOC,?DO1F分别是等腰△BOC,等腰△DO1F的顶角,所以

△BOC∽△DO1F.

…………(15分)

12(乙).证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等 的性质知:?CID??IAD??IDA,

第- 12 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

?CDI??CDB??BDI??BAC??IDA??IAD??IDA.

所以?CID??CDI, CI = CD.

同理,CI = CB .

故点C是△IBD的外心.

连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC,

所以OI⊥AC,即OI⊥CI .

故OI是△IBD外接圆的切线.

(2)如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.

??CD?,知OC⊥BD. 由BC

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以Rt△BCF≌Rt△AIE.所以BF = AE. 又因为I是△ABD的内心,所以AB?AD?BD?2AE?BD?BD?2BF?BD.

故AB?AD?2BD.

也可由托勒密定理得:AB?CD?AD?BC?AC,再将AC?2BC?2CD代入即得结论?BD

AB?AD?2BD。

13(甲).解:设a-b = m(m是素数),ab = n2(n是自然数).

因为 (a+b)2-4ab = (a-b)2,

所以 (2a-m)2-4n2 = m2,

(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m2.

…………(5分)

(1)当n?1时,因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数,且2a-m+2n>2a-m-2n (m为素

数),所以 2a-m+2n?m 2,2a-m-2n?1.

(m?1)2m2?1解得 a?,n?. 44

2(m?1)于是 b= a-m?. 4

…………(10分)

(m?1)2

又a≥2012,即≥2012. 4

(89?1)2

又因为m是素数,解得m≥89. 此时,a≥=2025. 4

当a?2025时,m?89,b?1936,n?1980.

此时,a的最小值为2025.

(2)当n?0时,因为a?2012,所以b?0,从而得a的最小值为2017(素数)。

综上所述,所求的a的最小值为2017。……(15分)

第- 13 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

13(乙).解:设凸n边形最多有k个内角等于150°,则每个150°内角的外角

都等于30°,

而凸n边形的n个外角和为360°,所以k?360?12,只有当n?12时, 30

k才有最大值12. …………(5分)下面我们讨论n?12时的情况:

(1)当n?12时,显然,k的值是11;

(2)当n?3,4,5,6,7时,k的值分别为1,2,3,4,5;

(3)当n?8,9,10,11时,k的值分别为7,8,9,10. …………(10分)

综上所述,当3?n?7时,凸n边形最多有n?2个内角等于150°;当8?n?11时,凸n边形最多有n?1个内角等于150°;当n?12时,凸n边形最多有12个内角等于150°;当n?12时,凸n边形最多有11个内角等于150°。. ……(15分)

?x2012都是正整数,且x1?x2???x2012,所以 14(甲).解:由于x1,x2, ,

x1≥1,x2≥2,…,x2012≥2012.

于是 n?122012122012≤????????2012. x1x2x2012122012

…………(5分)

?x2012?2012?2012,则 当n?1时,令x1?2012,x2?2?2012, ,

122012?????1. x1x2x2012

…………(10分)

,x2?2, ,?xk?k, 当n?k?1时,其中1≤k≤2011,令 x1?1

xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2),x2012?(2012?k)?2012,则

1220121?k?1?n. ?????k?(2012?k)?x1x2x20122012?k

综上,满足条件的所有正整数n为1, 2, , ?2012.

…………(15分)

14(乙).解:当n?216?1时,把2, 3, ,?n分成如下两个数组:

第- 14 -页 共15页

12999数学网 www.12999.com

 3, ,2 2?1, ?, 2?1?和?4, 5, ?, 2?1?. ?2,在数组?2,,2)?2 3, ,2 2?1, ?, 2?1?中,由于3?2(881688816388216?1,

所以其中不存在数a,,bc,使得ab?c.

在数组4, 5, ?, 28?1中,由于44?28?1,

所以其中不存在数a,,bc,使得ab?c.

所以,n?216.

下面证明当n?216时,满足题设条件.

不妨设2在第一组,若22?4也在第一组,则结论已经成立.故不妨设22?4在第二组. 同理可设44?28在第一组,(2)?2在第二组.

此时考虑数8.如果8在第一组,我们取a?2,b?8,c?2,此时ab?c;如果8在第二组,我们取a?4,b?8,c?2,此时ab?c.

综上,n?216满足题设条件.

所以,n的最小值为2.

(注:也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536.)

161688216??

第- 15 -页 共15页

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com