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小升初竞赛对接 3

发布时间:2014-01-19 17:06:50  

专题1 列方程解应用题

例1 一个两位数,个位与十位上数字之和为9,如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调,则所得到的新的两位数比原来的两位数大9。求原来的两位数。

思路点拨:设原来的两位数的十位数字为x,则个位数字为9-x,这个两位数就为10x+(9-x),新的两位数的十位数字为(9-x),个位数字为x。新两位数为10(9-x)+x,该题的等量关系式为:新的两位数-原来的两位数=9。 解答:设十位上的数字为x,则个位上的数字为9-x,那么,就得到 10×(9-x)+x-[10x+(9-x)]=9

90-10x+x-10x-9+x=9

81-18x=9

X=4

【跟踪练习1】一个两位数,它的十位数字比个位数字少3,且十位数字与

1个位数字之和是这个两位数的 ,求这个两位数。 4

例2 甲、乙两个数,甲数X以乙数商2余17。乙数的10倍除以甲数商3余45。求甲、乙二数。

思路点拨:被除数、除数、商和余数的关系:被除数=除数×商+余数。如果设乙数为x,则根据甲数除以乙数商2余17,得甲数=2x+17。又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3(2x+17)+45,列出方程。

解答:设乙数为x,则甲数为2x+17,那么

1

10x=3(2x+17)+45

10x=6x+51+45

4x=96

X=24

2x+17=2×24×17=65。

答:甲数是65,乙数是24。

【跟踪练习2】被除数与除数的和是50,如果被除数与除数都减去7,那么被除数是除数的3倍,原来的被除数是 。

例3 兄妹二人同时离家云上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米,哥哥到校门时,发现忘带课本,立即回家去取,往回走了180米和妹妹相遇。他们家离学校有多远?

思想占据:从图2-1中可看出,如果设他们家到学校的距离为x米,那么哥哥走了(x+180)米,而妹妹走了(x-180)米。哥哥的速度是每分钟90米,妹妹的速度是每分钟60米,而他们同时从家中出发,所用时间相等。因此,利用关系式:时间=路程 ,可列出方程。 速度

2

解答:设他们家离学校x米远,则

x+180x-180 9060

60(x+180)= 90(x-180)

60x+60×180 = 90x-90×180

3x =15×180

x = 900

答:他们家离学校900米。

【跟踪练习3】有人用车把米从甲地运到乙地,装米的重车日行50里(1里=500米),空车日行70里,5日往返3次。两地相距多少里?(选自《九章算术》)

例4 一家三口人,年龄之和是74岁,妈妈比爸爸小2岁,妈妈的年龄是儿子年龄的4倍,问三人各是多少岁?

思路点拨:设儿子的年龄是x岁,则妈妈的年龄是4x岁,爸爸的年龄是(4x+2)岁。

解答:设儿子的年龄是x岁,则x+4x+(4x+2)=74

x=8

妈妈的年龄:4x=4×8=32

爸爸的年龄:4x+2=4×8+2=34

【跟踪练习4】玲玲今年9岁,父亲39岁,再过 年,父亲的年龄正好是玲玲的2倍。

3

例5 一个机床厂,今年第一季度生产车床198台,是去年同期产量的2倍多36台,去年第一季度产量是多少台?

思路点拨:设去年第一季度的产量为x台,那么它的2倍就是2x台,又因为去年第一季度产量的2倍加上36台跟今年第一季度的产量198台相等。根据这个等量关系就可以列方程。

解答:设去年第一季度的产量为x台,则2x+36=198

2x=198-36

x=81

答:去年第一季度的产量是81台。

【跟踪练习5】已知篮球、足球、排球平均每个36元,篮球比排球每个多10元,足球比排球每个多8元,每个足球多少元?

例6 “六一”儿童节,几位同学一起去郊外登山。男同学都背着红色的旅行包,女同学都背着黄色的旅行包。其中一位男同学说,我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍。另一位女同学却说,我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍。如果这两位同学说得都对,那么女同学的人数是 。

思路点拨:首先找出题中的等量关系,因为两位同学看到的旅行包都不包括自己背的。所以女同学要有x人,男同学有就2(x-1)人或1.5x+1人,根据题意即可列出方程。

解答:2(x-1)=1.5x+1

2x-2=1.5x+1

2x-1.5x=2+1

0.5x=3

X=6

4

答:女同学有6人。

【跟踪练习6】某乡有5个饲养场,每个饲养场养鸡的只数相等,如果每个饲养场都卖出600只鸡,那么这五个饲养场剩下的鸡,恰好与原来两个饲养场养鸡的只数相等。原来每个饲养场各养鸡( )只。

例7 甲方每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米。甲、乙从A地,丙从B地同时相向出发,丙遇到乙后2分钟又遇到甲。求A、B两地的距离。

思路点拨:由于路程=速度×时间,现已知速度求距离,故可以直接设距离为x,也可设时间为x,现用两种方法解之。

解答:解法一 设乙、丙相遇用了x分钟,则甲、丙相遇时用了(x+2)分钟,故A、B两地的距离等于乙、丙相遇时乙、丙所行程的和,也等于甲、丙相遇时甲、丙所行路程的和。

乙、丙相遇时,乙、丙所行路程的和:(60+70)x=130x

甲、丙相遇时,甲、丙所行路程的和:(50+70)×(x+2)=120x+240 所以有方程 130x=120x+240

解这个方程得x=24,即乙、丙24分钟相遇。

所以A、B两地距离:130×24=3120(米)

答:A、B两地的距离为3120米。

解法二 设A、B两地的距离为x米。则乙、丙相遇所需时间为x÷(60+70)分钟,甲、丙相遇所需时间为x÷(50+70)分钟,由此得方程

xx120130

解这个方程,在原方程左右两边同时乘以120×130,得

130x-120x=2×120×130

10x=31200

x=3120

5

答:A、B两地的距离为3120米。

【跟踪练习7】两条公路成十字交叉,甲双十字路口南1200米处向北直行,乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发10分钟,两人与十字路口的距离相等;出发后100分钟,两人与十字路口的距离再次相等,此时他们距离十字路口多少米?

专题2 工程问题

例2 某项工程,甲队单独做需36天完成,乙队单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合作,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。问:甲队干了多少天?

思路点拨:将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后两队合干需多少天完成任务?”

111 解答:(1- ×18)÷( + ) 453645

213 =(1-)÷ = ×20=12(天) 5205

答:甲队干了12天。

【跟踪练习2】一项工程,甲队单独干20天可以完成,甲队做了8天后,由于另有任务,剩下的工作由乙队单独做15天完成。问:乙队单独完成这项工作需多少天?

例3 一项工程,甲单独做要12天完成,乙单独做要10天完成,现在甲、乙合作经过8天完成任务。已知这段时间甲休息了2天,那么乙休息了几天?

思路点拨:先求出甲、乙合作8天要超额完成任务的几分之几,超额数减去甲2天的工作量,所得之差除以乙的工作效率就是乙休息的天数。

111131解答:[(+)× ×2]÷÷ =3(天) 101212101010

答:乙休息了3天。

6

【跟踪练习3】甲、乙两人合作加工一批零件,8天可以完成。中途甲因事停工3天,因此,两共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件,需要多少天才能完成?

例4 一件工程,甲、乙合作需6天完成,乙、丙合作需9天完成,甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需多少天完成?

1思路点拨:设这一件工程总量为1,则甲、乙的工作效率之和是,乙、丙6

11的工作效率之和是 ,甲、丙的工作效率之和是 ,从而甲、乙、丙的工作效915

111率之和是( + + )÷2,根据“工作总量÷工作效率=工作时间“的关系6915

式求出合作完成所需的时间。

【解答】

111251÷[( + )÷2]=5(天)。 691531

25答:甲、乙、丙三人合作需5 天。 31

【跟踪练习4】某工程,乙单独做所需的天数为甲、丙合做所需天数的2倍,丙单独做所需的天数为甲、乙合做所需天数的3倍,已知三个合做5天可以完成工程,甲、乙、丙单独做各需多少天?

例5 有两个同样的仓库A和B,搬运一个仓库里的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时,甲和丙在A仓库,乙在B仓库,同时开始搬运,中途丙又转向帮助乙搬运,最后,两个仓库同时搬完,再帮助甲、乙各多 7

少时间?

思路点拨:设搬运一个仓库的工作量为“1”,从整体上看,相当于共同完成的工作量为“2”。

解答:①三人同时搬运了:

1112 + +)=8(小时) 101215

11②丙帮甲搬了:(1- ×8)÷(小时) 1015

③丙帮乙搬了:8-3=5(小时)

答:丙帮甲搬了3小时,帮乙搬了5小时。

【跟踪练习5】甲、乙两人加工相同数量的零件,甲每小时加工自己的任务11 ,乙每小时加工自己任务的,甲、乙同时开始加 1015

工,甲完成任务后立即帮乙加工,直到完成任务,甲帮乙加工了多少小时?

例6 一项工程,甲单独做需要12小时,乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时??两人如此交替工作,问完成任务时需共用多少小时?

思路点拨:把2小时的工作量看做一个循环,先求出循环的次数。

解答:①需循环的次数为

11361÷( +)= >7(次) 12185

②7个循环后剩下的工作量是

8

1111-( )×7= 121836

③余下的工作量还需甲做的时间为

111÷ = (小时) 36123

④完成任务共用的时间为

112×7+(小时) 33

1答:完成任务时需共用14 小时。 3

【跟踪练习6】打印一部稿件,甲单独打要12小时完成,乙单独打要15小时完成。现在,甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时,乙工作2小时;甲工作2小地,乙工作1小时;甲工作1小时,乙工作2小时??如此交替下去,打印这部稿件共要多少小时?

2一项工程,甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做,第 3例7

二天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成?

思路点拨:由题意可推出“甲先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论“甲先”还是“乙先”,两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式完成所用的天数为奇数,两种轮流方式做的情况表示如下:

甲乙甲乙??甲乙 甲 9

1乙甲乙甲??乙甲 乙 甲 2

竖线左边所做的天数为偶数,谁先做没关系。从竖线右边可以看出,乙做一天等于甲做半天,即甲的效率是乙的2倍。

解答:①甲每天能做这项工程的

2211÷26× 31+240

②甲单独做完成的时间

11 =40(天) 40

答:这项工程由甲单独做要40天才能完成。

【跟踪练习7】一批零件,如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5:3。甲、乙每天各做多少个?

例8 一个水池,地下水人四壁渗入,每小时渗入该水池的水量是固定的。当这个水池水满时,打开A管,8h可将水池排空;打开B管,10h可将水池排空;打开C管,12h可将水池排空。如果打开A、B两管,4h可将水池排空,那么打开B、C两管,将水池排空需要多少时间?

思路点拨:设这个水池的容量是“1”。

1A管每小时排水量是:每小时渗入水; 8

1 每小时渗入水; 10B管每小时排水量是

10

1A、B两管一起打开,每小时排水量是每小时渗入水。 4

1111因此,每小时渗入水是( + 。 481040

解答:

打开B、C两管,将水池排空需要:

【跟踪练习8】一个蓄水池底部有一道裂缝,满池水50小时全部漏完。有甲、乙两个进水管,水池蓄满水后,经过40小时,开始打开两个进水管,10小时后水池注满。经过8小时,打开乙管,再过6小时后水池注满。如果把水放掉,把池底裂缝堵好,甲、乙两管分别注水,各需几小时把水池注满?

例9(第六届“华罗庚金杯”邀请赛试题)甲管注水速度是乙管的一半,同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水,12小时可以注满。现在先开甲管向游泳池注水若干小时后,剩下的由乙管注水9小时。将池注满,甲管的注水时间是多少?

思路点拨:通过“甲管注水速度是乙管的一半”这个条件我们可以看出:乙管的工作效率是甲管工作效率的2倍。也就是说:1个乙管等于2个甲管。因此,甲、乙两管相当于1+2=3(个)甲管。甲、乙同时注水12小时可将游泳池注满,则甲管单独注水需12×3=36(小

1时)方能注满,而乙管单独注满水池则需36×(小时)。所以此 2

题就可以看成是乙管单独注水9小时后,剩下的由甲管单独注水,还需几小时注满水池。

11

1

1 解答:[1-12?(1?)2

91 =(1- )÷1836

1 = ×36 2

=18(小时)

答:甲管的注水时间是18小时。

【跟踪练习9】放满一个水池的水,如果同时开放①②③号阀门,15小时可以放满;如果同时开放①③⑤号阀门,10小时可以放满;如果同时开放①③④号阀门,12小时可以放满;如果同时开放②④⑤号阀门,8小时可以放满。问:如果同时开放5个阀门,几小时可以放满这个水池?

例10 某工厂的一个生产小组生产一批零件,当每个工人在自己原工作岗位工作时,9小时可完成这项工作;如果交换A和B的工作岗位,其他工人生产效率不变时,可提前1小时完成该项生产任务;如果换C和D的工作岗位,其他工人生产效率不变时,也可以提前完成小时完成该项生产任务;如果同时交换A和B、C和D的工作岗位,其他工人生产效率不变,可以提前多少分钟完成该项生产任务?

思路点拨:题中所给的几种情况,都是由于工作效率改变了,工作时间也相应变化,但工作总量却没有改变。因此可以先求出各种情况下的工作效率,然后再研究工作时间的变化。 1×9] 12×〔1+2〕

12

1解答:设工作问题为单位“1”,则原来全部工作效率为。A与B交换,全9

11部工作效率为 ,由于其他工人的效率不变,所以A与B的工作效率提高了88

111 。同理,C与D交换后,他们两人的工作效率也提高了。若A与B、97272

111。全组人每小时完成727236C与D同时交换,他们四人的工作效率提高了

115了 。 93636

因此,完成这项任务,全组人需要:

511 =7(小时) 365

比原来提前了:

149-7(小时)=1小时48分=108(分钟) 55

答:可以提前108分钟完成该项生产任务。

【跟踪练习10】加工一批零件,甲单独做需75小时完成,乙单独做需50小时完成。已知每小时乙比甲多做12个零件,如果甲的工作效率提高50%,而乙每小时原来多做8个零件,那么两人合作这批

2零件的 需要多少小时? 3

13

专题3 分数的应用

3例2 学校图书室里的故事书占总数的 ,“六一”期间,妇联又赠送给学5

2校600本故事书,这时图书室里的故事书占现有图书总数的。求图书室原来3

共有多少本图书。

32思路点拨:题中 是以原来的图书总数为单位“1”,是以后来的图书总53

数为单位“1”,单位“1”不统一,就要想办法统一单位“1”,从题目可以看出:故事书、图书总数都发生了变化,而其他书的本数没有变,可以以其他书的本

3323数为单位“1”,根据故事书占总数的,故事书相当于其他书的 ÷ ,同5552

理,故事书增加后,相当于其他书的2倍。

1解答:其他书的本数=600÷(2-1 )=1200(本) 2

图书室原来共有图书

31200÷(1- )=3000(本) 5

14

答:图书室原有图书3000本。

7【跟踪练习2】红星小学五年级学生中,男生占 ,后来又转来了15名男12

3生,这样男生占五年级总人数的 ,五年级原有学生多少人? 5

1例3 某车间原有男工人数是女工人数的1 倍,后来又调来2名女工,现4

1在男工人数是女工人数的1 倍,这个车间有男工多少人? 5

11思路点拨:1与1 虽然都是以女工人数国单位“1”的,但女 45

工人数发生了变化,所以前后两个女工人数并不是同一个数量。由于男工人数没有发生变化,所以可以用转化的方法,求出原来女工人数是男工人数的几分之几,调来2人后女工人数又是男工人数的几分之几,进而得到调来的2名女工是男工人数的几分之几,求出男工人数。

14 由“原来男工人数是女工人数的1倍“知原来女工人数是男工人数的 ,45

5同样知,调来2名女工后,女工人数是男人数的,故调来的2名女工相当于6

5454男工人数的(),所以男工人数有2÷( )=60(人)。 6565

541 解答:2÷( - )=2÷ =60(人)。 6530

15

答:这个车间有男工60人。

1 【跟踪练习3】甲数是乙数、丙数、丁数之和的,乙数是甲数、丙数、丁2

11数之和的 ,丙数是甲数、乙数、丁数之和的。已知丁数是260,求甲数、乙34

数、丙数、丁数的和。

4 例4 学校阅览室里有36名学生在看书,其中女生占,后来又有几名女9

9生来看书,这时女生人数占所有看书人数的。问后来又有多少名女生来看19

书?

思路点拨:女生人数在变,总人数在变,但男生人数始终未变,抓住这一不变量即可找到解题的突破口。男生人数占原来36名学生

4的(1- ),这可求出男生人数;再利用男生人数占后来的分率,求 9

出后来的总人数。

49 解答:36×(1- )÷(1- )-36 919

510 =36×÷ (名)。 919

答:后来又有2名女生来看书。

16

【跟踪练习4】一块西红柿地今年获得丰收。第一天收下全部的

3,装了3筐还余12kg,第二天把剩下的全部收完,正好装了6筐。这块地共8

收了多少千克西红柿?

1 例7 耕一块地,第一天耕的比这块地的 多2公顷,第二天耕的比剩下3

1的地的少1公顷,这时还剩下38公顷没有耕。这块地共有多少公顷? 2

思路点拨:把这块地的公顷数看做“1”

题中的数量关系可用线段图表示,如图4-1。

第一天耕完后,剩下的公顷数是(38-1)

1÷(1- )=74(公顷),再用类似的思路求出这2

块块共有多少公顷。

11 解答:(38-1)÷(1- )-37÷ (公顷), 22

1 (74+2)÷(1- )

3

17

2 =76÷ =114(公顷)。 3

答:这块地共有114公顷。

2 【跟踪练习7】某商店有一批布,第一天卖出 ,第二天卖出第一天剩下的9

11,第三天补进第二天剩下的,这时还有698米,原来有布多少米? 72

例9 某市数学竞赛,共有407人参加决赛。获奖的男生、女生人数正好同

1样多。没有获奖的女生占参赛女生的 ,没有获奖的男生有16人,参赛男生9

有多少人?

思路点拨:以女生人数为单位“1”,

依题意画线段图,如图4-2所示。

如果男生少16人参赛,参赛人数

407-16=391人相当于女生参赛人数的

188[1+(1- )]= 1 ,391人除以对应率1 ,商是女参赛选手人数,进而求出999

男生参赛人数。

18 解答:女参赛选手人数:(407-16)÷(1+1- )=391÷1 =207(人) 99

18

1 男参赛选手人数:207×(1- )+16=200(人) 9

答:参赛男生200人。

2【跟踪练习9】水果店来苹果和梨共1300千克,苹果卖出 ,梨卖出205

千克后,剩下的梨和苹果的质量恰好相等。原来运来苹果和梨各多少千克?

例10 (全国预赛试题)甲、乙、丙、丁四人共同生产一批零件,甲生产

21的占其他三人生产总数的 ,乙生产的占其他三人生产总数的 ,丙生产的134

4占其他三人生产总数的 。已知丁生产了60个,那么甲、乙、丙三人共生产11

零件多少个?

22114解答:甲、乙、丙生产的零件分别占总数的 = = 13+2154+1511+4

4 。 15

2143甲、乙、两共生产了总数的 + = 。三人共生产零件60÷(1- 155155

19

333)× =60× =90(个) 552

答:甲、乙、丙三人共生产零件90个。

【跟踪练习10】(吉林省竞赛试题)甲、乙两个盒子共装了400多个球。如

66果甲给乙x个,甲比乙少 ;如果乙给甲x个,乙比甲少 。则原来甲盒1917

中有多少个球,乙盒中有多少个球?

4例11 纺织工厂第一车间的人数比第二车间的人数的 少30人。如果从5

3第二车间调10人到第一车间,这时第一车间的人数是第二车间人数的 。原4

来两个车间各有多少人?第一车间人数是第二车间人数的几分之几?

思路点拨:把第二车间人数看做单位“1”,题中的数量关系可用线段图表示如图4-3所示:

20

4从图中可看出,原第一车间人数加30是两车间总人数与30人的和的 5+4

433= ;现第一车间人数是两车间人数的 。 94+37

根据现第一车间人数与原第一车间人数相差10人,可列方程。

解答:设两个车间的总人数为x人。

43 (x+30)-30= x-10 97

解得:x=420

即可求出两个车间的人数问题。

3 第一车间人数为:420× (人) 7

第二车间人数为:420-170=250(人)

17 170÷250 = 25

答:第一车间原来有170人,第二车间原来有250人。第一车间人数是第

17二车间人数的 。 25

【跟踪练习11】隆盛杂货店运来一级茶叶和二级茶叶一批,其中二级茶叶

1的重量是一级茶叶的 ,一级茶叶的买进价是每千克20元,二级茶叶的买进2

1价的是每千克18元,如果现在照买进价各加价 出售,当二级茶叶全部卖完5

21

1时,一级茶叶还剩 ,共盈利480元,该杂货店运来多少二级茶叶? 4

专题4 百分数应用

例3 一桶汽油,第一次用了全桶的20%,第二次用了20kg,第三次用了前两次的和,这时桶里还剩下8kg汽油。问这桶汽油有多少千克?

思路点拨:由已知条件,第三次前两次的和,就是全桶的20%加上20kg,因此前三次共用了两个20%和两个20kg,桶内还剩8kg汽油,这说明两个20%,两个20kg,再加上一个8kg就是整桶汽油的质量。

由已知三次共用汽油是两个全桶的20%再加上两个20kg,桶内还剩8kg,因此20×2+8=48(kg),相当于全桶的1-40%=60%。

解答:(20×2+8)÷(1-20%×2)=80(kg)

答:整桶汽油质量为80kg。

1【跟踪练习3】李刚看一本书,第一天看了全书的 ,第二天看了24页,6

1第三天看了前两天看的总数的150%,这时还剩下全书的 没有看。全书共有多4

少页?

例4 小明家电热水器贮满了水。一天晚上,小明妈妈用去了20%,水上明的爸爸又用去了18L,小明用去了剩下水的10%,最后剩下的水只有贮存量的一半还少3L。问小明家的电热水器贮水量是多少升?

思路点拨:小明的妈妈用的水是20%,小明的爸爸用水量是18L,小明的爸爸、妈妈用水后剩下贮水量的80%少18L。这样小明的用水量是(80%×10%)=8%少(18×10%)=1.8L。三人用水的总量是20%+8%再加(18-1.8)=16.2(L), 22

三人用水的总量也应该是50%多3L。(本题关键是小明用水的理解与处理)

解答:(1-20%)×10%=8%,

18×10%=1.8(L),

(18-1.8-3)÷[50%-(20%+8%)]=13.2÷22%=60(L)。

答:这个电热水器贮水量是60L。

【跟踪练习4】某次会议,昨天参加会议诉男代表比女代表多700人,今天男代表减少了10%,女代表增加了5%,共1995人出席会议。那么昨天参加会议的人有多少人?

【跟踪练习5】某商品按定价的80%(八折)出售,仍能获得20%的利润,定价时,期望的利润百分数是多少?

1例6 某工厂一车间人数占全厂的25%,二车间人数比一车间少 ,三车间5

3人数比二车间多,三车间是156人,这个工厂全厂共有多少人? 10

思路点拨:本例中除全厂外,还有两个单位“1”:一个是一车间另一个是二车间。但通过转化可能统一到全厂为单位“1”上来。进而直接求出全厂人数。

解答:

13156÷[25%×(1- )×(1+ )] 510

=600(人)

【跟踪练习6】兴趣小学四年级学生比三年级多25%,五年级学生比四年级少10%,六年级学生比五年级多10%,如果六年级学生比三年级多38人,那么三至六年级共有学生多少人?

23

例7 某班有学生48名,女生占全班人数的37.5%,后来又转来了若干名

2女生,这时女生人数恰好是全班人数的 ,问共转来了多少名女生? 5

思路点拨:我们可抓住“变中不变”的量,即男生人数前后不变,抓住了这个不变量,问题便容易解了。

首先求出男生占全班人数的几分之几,再求全班的男生人数,然后求转来几名女生后男生占全班人数的几分之几。接着,可以求出现在全班人数,最后求转来了几名女生。

(1)原来班级里有男生48×(1-37.5%)=30(名);

23(2)转来几名女生后男生占全班的分率为1- = ; 55

3(3)现在全班有30÷(名)同学; 5

(4)转来女生人数50-48=2(名)。

【解答】

248×(1- 37.5%)÷(1- )- 48 5

53= 48× ÷ - 48=50-48=29(名) 85

答:又转来了2名女生。

【跟踪练习7】有一堆糖果,其中奶糖45%,再放入16块水果糖后,奶糖就只占25%,那么这堆糖中有奶糖多少块?

例8 一辆车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分 24

钟到达;那么甲、乙两地相距多少千米?

思路点拨:根据公式“距离=速度×时间”,当距离一定时,速度与时间成

6反比。车速提高20%时,即为原速度的(1+20%)= 。在同一距离中所花时间5

551为原时间的,提前的1小时恰好占原来所花时间的(1- )= 。这就可666

1以求出按原来速度行驶所花的时间为1÷ = 6(小时)。 6

同样道理,当车速提高25%时,新车速与原车速的比是(1+25%):1=5:4,如果车从甲地出发时就用这个速度,那么全程所花时间为原

441时间的 ,全程可提前6×(1- )=1 (小时)。 555

2128 现在只提高40分,即时,少提前1 - = (小时),这是因为从甲35315

地出发行驶的120千米是按原速度行驶的。这一段路(120千米)若按速度提高

825%行驶,可提前 小时,据此可解。 15

解答:以原速度行驶全程所花时间为

151 1÷(1- )=1÷(1- )=1÷ =6(小时)。 1+20%66

车速提高25%时,全程可提前

25

111 6×(1- )=6× =1 (小时)。 1+25%55

现设全程为x千米,则

112 x:120=1 :(1 ) 553

68 x:120= :515

x=270

答:全程为270千米。

【跟踪练习8】去年实验小学参加各种体育兴趣小组的同学中,女生占总数

1的。今年全校的学生数与去年一样,参加各种体育兴趣小组的学生比去年增5

1加了20%,其中女生占总数的 。那么,今年女生参加各种体育兴趣小组的人数4

比去年增加百分之多少?

例10 (“希望杯”邀请赛试题)小红和小明帮刘老师修补一批破损图书,

1小红修补了破损图书的40%少2本。小明修补了破损图书的多3本。刘老师修4

26

补了20本。问:小红、小明一共修补图书多少本?

1 思路点拨:可知小红和小明一共修补破损图书为:40%-2+ 4

+3=40%+25%+1=65%+1,则这批破损图书一共有(20+1)÷(1-65%)=60(本)。再减去刘教师修补的图书20本,则为小红和小明一共修补的图书。

1 解答:(20+1)÷[1-( +40%)]-20 4

=21÷[1-65%]-20

=21÷35%-20

=60-20

=40(本)

答:小红、小明一共修补图书40本。

【跟踪练习10】A种酒精中纯酒精的含量为40%,B种酒精中纯酒精的含量为36%,C种酒精中纯酒精的含量少为35%。它们混合得到了纯酒精的含量为38.5%的酒精11升,其中B种酒精比C种酒精多3升,那么A种酒精有多少升? 例11 某班男生数占全班的40%,后来又转出10名女生,这时男生人数占全班的50%。这个班原有男生多少人?

思路点拨:根据前后男生人数不变这一等量关系列出方程来解。

解答:设班里共有学生x人,则后来有(x-10)人。

40%x=50%(x-10)

4x=5x-50

X=50

男生人数:50×40%=20(人)

答:这个班原有男生20人。

【跟踪练习11】筑路队4天修完一条路,第一天修了全长的32%,后3天修的长度比为6:7:4,最后一天比第一天少修8千米。这条公路全长多少千米?

27

专题5 时钟问题

例1 现在是3点,什么时候时针与分针第一次重合?

思路点拨:3点时分针指12,时针指3,分针在时针后5×3=15

5格,每分钟分针比时针多走(1- )格,要使分针与时针重合,也就是分针60

14比时针要多走15格,需要15÷(1- )=16(分钟) 1211

14解答:15÷(1- ) (分钟) 1211

4答:3点16分时时针与分针第一次重合。 11

【跟踪练习1】现在是5点钟,再过多少分钟,时针与分针第一次重合?

例2 在4点与5点之间,钟面上的时针与分针在什么时刻垂直?

思路点拨:分针在时针的后面相隔15小格。4点钟分针与时针相隔5×4=20小格,分针只要比时针多走20-15=5小格就行了。每分钟

1分针比时针多走(1- )小格,由追及问题计算方法,得出第一次垂直的时12

间。

分针超前时针15小格,就是分针比时针多走20+15=35小格,再根据追及问题的计算方法,求出第二次垂直的时间。

解答:5×4=20(小格)

28

15 (20-15)÷(1- )=5 (分钟) 1211

12 (20+15)÷(1- )=38(分钟) 1211

52 答:在4点与5点之间,4点 分和4点38分时分针与时针垂直。 1111

【跟踪练习2】深夜12:00到中午12:00之间,钟表上的分针和时针几次成直角?

例3 4小时15分时,钟面上时针与分钟的夹角是多少度?

思路点拨:4时15分,分针指着3,但时针的位置很难确定,所以我们从4时整考虑。4时时,时针指着4,过15分,分针走了15小格,时针从4开始顺

155时针方向旋转了15× (个)小格,即6×(度),时针位置确定1244

后不可求解。

1 解答:6×5+6×(15× )=37.5(度)。 12

答:4时15分钟面上时针与分针的夹角是37.5。。

【跟踪练习3】在7点与8点之间(包含7点与8点)

的什么时刻,两针之间的夹角为120。?

例4 小明做作业用了不到了1小时的时间,当他做

29

完作业看表时,发现分针与时针正好和开始做作业时交换位置。问小时做作业用了多少时间?

思路点拨:根据题意,小明做作业不到1小

时,所以开始做作业时,时针在分针后后面,到

做完作业,时针就旋转到开始时分针的位置,而

分针旋转到原来时针的位置,如图6-1所示,时

针与分针总共旋转了一周。根据路程÷速度和=

时间即可求出本题的解。

15 解答:60÷(1+)=55(分钟) 1213

5 答:小时做作业用了55 分钟。 13

例5 小朋家的挂钟走起来每小时慢1.5min。早上8点小朋把钟对准了标准时间,那么,这只钟走到中午12点的时候,标准时间是几点几分?

【思路解析】这里慢1.5分实际上是指:小朋家挂钟与准确的钟相比较,准确的钟1小时走60小格,而小朋家挂钟只有58.5个小格。当准确钟走到12点时,小朋家挂钟离12点还有1.5×4=6个小格,但是小朋家的挂钟再走这6小格,准确的钟则要走的比6小格多(准确钟的速度较快)。这需要求出小朋的挂钟走6小格时,准确的钟要走多少小格。

解答:解:设小朋的挂钟走6小格时,准确的钟走x小格。

2 58.5:60=6:x x=613

2 答:标准时间是12点6 分。 13

【跟踪练习5】小明晚上9点整将手表对准,可早晨8点到校时却迟到了10min,那么,小明的手表每小时慢几分钟?

30

例6 小明家有两旧挂钟,一个每天快20min,一个每天慢30min。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间,它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间?

【思想解析】由时钟的特点知道,每隔12h,时针与分针的位置重复出现,所以快钟和慢钟分别快或慢12h的整数倍时,将重新显示标准时间。

解答:快钟快12h,需经过(60×12)÷20=36(天)

即快钟每经过36天显示一次标准时间。

慢钟慢12h,需经过(60×12)÷30=24(天)

即慢钟每经过24天显示一次标准时间,24与36的最小公倍数是72,所以两个钟同时再次显示标准时间,至少要经过72天。

【跟踪练习6】甲表每小时比标准时间快1min,乙表每小时比标准时间慢2min。若将两表同时调到标准时间,结果在24h内,甲表显示9点整时,乙表恰好显示8点整。将两表同时调准的时刻是多少?

例7 一只钟的时钟与分针均指在4和6之间,且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央,问这时是什么时刻?

思路点拨:因为当时的时刻可以是4点多,

也可以是5点多,如果此时是5点多:

5点整时,时针指5,分针指12。从5点整

到现在的“5在时针与分针的正中央”,分针走

的格数多于20格少于25格,时针走的格数不足

5格,由于5到分针的格数等于5到时针的格数,

所以时针与分针在这段时间内共走25格。因此,

从5点整到图6-3钟面上这种状态共用了

1125÷ (分钟)。 1213

如果此时是4点多:4点整,时针指4,分

针指12。从4点整到现在,“5在时针与分针的

31

正中央”,分针走的格数多于25,少于30,时针

走不足5格。由于5到分针的格数等于5到时针

的格数,所以时针与分针在这段时间内共走30

1格。又由于时针的速度是分针的 ,所以从4 12

19点整到图6-4钟面上这种状态共用了:30÷(1+ (分钟),所以这时1213

9是4点27分。 13

11 解答:如果是5点多,用25÷(1+ )=23 (分钟) 1213

19 如果是4点多,用30÷ (1+(分钟) 1213

91 答:这时可能是4点27 分,也可能是5点23(分钟)。 1313

【跟踪练习7】现在是3点整,再过多少时间,时针和分针恰好在“3”字两边,并且与“3”字距离相等?

例8 一只旧钟的分针和时针每65分钟重合一次。问这只旧钟一天(标准时间24小时)慢或快几分?

思路点拨:因为分针与时针每重合一次,分针比时针比多60小

111115格,每分钟分针比时针多走 = 格,则60÷ (分),即标准钟12121211

5每65分时针、分针重全一次,旧钟每65分重合一次,显 11

32

然旧钟快。本题难点在于从旧钟两针的旋转速度(每标准分旋转多少个小格),进面推算出旧钟的分针24标准小时旋转多少个小格,它与标准钟的分针用24标准时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读书。

1 解答:设旧钟分针每标准分走x小格。那么,每1个小格用 标准分。旧x

1钟分针走60个小格,时针走5个小格,时针速度总是分针的,所以旧钟时12

1针速度为 x(格/标准分钟)。每次重合耗用65标准分钟,而且两次重合之间12

分针赶超了时针60小格,列方程:

1 60÷(x-)=65 12

160 (1-)x=1265

12×12 X=13×11

标准时钟一天分针走60×24=1440(格),一天内旧钟分针走的格数为12×12×60×24。但是我们只需求出旧钟分针比标准钟多分针多走了多少个小13×11

格即可,所以有:

33

12×12 ×60×24-60×24 13×11

12×12 =( -1)×60×24 13×11

144×143 = ×60×24 13×11

60×24 = 13×11

10 =10(格)。 143

10 答:这只旧钟在一天内比标准时间快分(按旧钟上的时间)。 143

【跟踪练习8】爷爷的老式挂钟的时针与分针每隔66min重合一次,如果早晨8点将钟对准,到第二天早晨时钟再次指示8点时,实际时间是多少?

34

专题6 浓度问题

例1 现在有浓度为20%的糖水300g,要把它变成浓度为40%的糖水,需要加糖多少克?

思路点拨:浓度为20%的糖水300g,则里面有糖300×20%=60(g),有水300-60=240(g)。

现在要往里面加糖,增加后糖占40%,水占60%。而注意到水在这里面是不变的,均为240g,故后来溶液的总质量为240÷60%=400(g)。

所以需加糖400-300=100(g)。

【解答】

300×(1-20%)÷(1-40%)-300=240÷60%-300=400-300=100(g) 答:需加糖100g。

【跟踪练习1】在一桶含盐量10%的盐水中加入100克食盐,溶解后,桶中盐水的浓度增加到20%,桶中原有多少克盐水?

例2 有含盐20%的盐水36千克要制出含盐45%的盐水,需蒸发掉水多少千克?

思路点拨:首先寻找不变量,显然,蒸发前含盐量=警蒸发后含盐量,以此国依据列方程。

解答:设需蒸发水x千克,则有

36×20%=(36-x)×45%

x=20

答:需蒸发掉20千克水。

【跟踪练习2】有浓度为2.5%的盐水200g,为了制成浓度为5%的盐水,从中要蒸发掉多少克水?

例3 现有浓度为10%的盐水20kg,再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水?

思路点拨:这是一个溶液混合问题,混合前后溶液的浓度改变了,但是总 35

体上溶质及溶液的总质量没有改变,混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中溶质的量。

20kg浓度为10%的盐水中含盐的量为:

20×10%=2(kg);

混合后溶液的浓度为22%,此时20kg溶液中含盐的量为:

20×22%=4.4(kg)。

解答:方法一:用原溶液中增加溶质的质量除以加入溶液降低的浓度。 所以需要加入浓度为30%的盐水溶液的质量为:

(20×22%-20×10%)÷(30%-22%)

=(4.4-2)÷8%

=2.4÷8=30(kg)

答需加入30kg浓度为30%的盐水才能得到浓度为22%的盐水。

方法二:这个问题可以用方程来解:

设需加入浓度国30%的盐水x kg,依据混合前后溶质的质量不变,列方程得:

20×10%+x×30%=(20+x)×22%

X=30

答:需加入浓度为30%的盐水30kg。

【跟踪练习3】在浓度为40%的酒精溶液中加入5kg水,浓度变为30%,再加入多少千克酒精,浓度变为50%?

例4 一容器内有浓度为15%的盐水,若再加入20kg的水,则盐水的浓度变为10%,问这个容器内原来含有盐多少千克?

思路点拨:由于加水前、后容器中所含有的盐的质量没有改变,所以只要将加水前、后容器中所含盐的质量用等量关系式表示出来,就可求得结果。

解答:假设容器中原有盐水x kg,那么加水前后容器中所含盐的质量相等,即:

x·15%=(x+20)·10%

36

解得:x=40

∴容器中盐水含有盐的质量为40×15%=6(kg)

答:容器中原来含盐6kg。

【跟踪练习4】向浓度为10%,质量为300g的食盐水中加入多少克水,就可以得到浓度为8%的食盐水?

例5 甲容器中有10%的酒精溶液600g,乙容器中有15%的酒精溶液200g。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水,使两个容器中酒精溶液的浓度相同。每个容器中应倒入水多少克?

思路点拨:先分别求出两个容器中纯酒精的质量,再分别用两个容器中纯酒精的质量除以两个容器中加入等量的水后酒精溶液的质量,就可以求出两个容器中现在酒精溶液的浓度。根据浓度一样,列方程解答。

先求出两个容器中纯酒精的质量分别是:

甲容器中酒精质量:600×10%=60(g)

乙容器中酒精质量:200×15%=30(g)

解答:设每个容器中应倒入x g水,则有:

6030600+x200+x

60×(200+x)=30×(600+x)

解得:x=200

答:每个容器中应加水200g。

【跟踪练习5】容器中有盐水。老师让小强再倒入浓度为5%的盐水800g,以配成浓度为20%的盐水,但小强却错误的倒入800g水。老师发现后,说:不要紧,你再将400g第三种浓度的盐水倒入容器内,就可得到浓度为20%的盐水了。第三种盐水的浓度是百分之多少?

例6 有含盐25%的盐水400克,要使盐水的浓度变为20%,应加入5%的盐水多少克?

37

思路点拨:设应加入5%的盐水x克。混合后盐的含量等于混合前两种溶液中盐的和,列方程求解。

解答:400×25%+x×5%=(400+x)×20%

1 x=133 3

【跟踪练习6】在浓度为20%的10千克食盐水中加入5%的食盐水和白开水各若干千克,加入的食盐水是白开水质量的2倍,得到浓度为10%的食盐水,求加入白开水多少千克。

例7 甲、乙两种酒精浓度分别为70%和55%,现要配制浓度为65%的酒精3000g,应当从这两种酒精中各取多少克?

思路点拨:根据配制溶液的过程中,前、后溶液中的溶质没有改变,可利用这个关系列出方程求解。

解答:设甲种酒精取了x g,则乙种酒精取了(3000-x)g。

根据纯酒精的质量不变,可以列出方程:

x·70%+(3000-x)·55%=3000·65%

解得:x=2000(g)

从而甲种酒精取2000g,乙种酒精取了1000g。

【跟踪练习7】含糖70%的糖水2000g和含糖60%的糖水3000g混合后的浓度是多少?

例8 把浓度为20%、30%和45%的三种酒精溶液混合在一起,得到浓度为35%的酒精溶液45kg。已知浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3。原来每种浓度的酒精溶液各用了多少千克?

思路点拨:从“浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精溶液用量的3倍” 38

这个条件可以知道,这两种酒精混合后得到一种新的酒精溶液,其浓度为:(3×20%+1×30%)÷(3+1)=22.5%,这样原题就变为把浓度为22.5%和45%的两种酒精溶液混合在一起,得到浓度为35%的酒精溶液45%kg。求每种浓度的酒精溶液各用了多少千克就显得容易多了。

解答:浓度为20%与30%的两种酒精按3:1的比例混合后所得到酒精溶液的浓度为(3×20%+1×30%)÷(3+1)=22.5%

浓度为45%的酒精用量为:(45×35%-45×22.5%)÷(35%-22.5%)=25(kg) 浓度为30%的酒精用量为(45-25)÷(3+1)=5(kg)

浓度为20%的酒精用量为5×3=15(kg)

答:浓度为20%、30%、45%三种酒精溶液分别用了15kg、5kg、25kg。

【跟踪练习8】A种酒精中纯酒精的含量为40%,B种酒精中纯酒精含量为36%,C种酒精中纯酒精的含量为35%,它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38.5%的酒精11L,B种酒精比C种酒精多3L,那么其中的A种酒精有多少升?

例9 有甲、乙、丙三个容器。甲容器有浓度为40%的盐水400克,乙容器中有清水400克,丙容器中有浓度为20%的盐水400克。先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后,再把乙容器中的盐水200克倒入甲容器,200克倒入丙容器。这时甲、乙、丙三个容器中盐水的浓度各是多少?

思路点拨:此题用列表法求解比较直观方便。

【解答】

39

答:最后甲容器中盐水的浓度是27.5%,乙容器中盐水的浓度为15%,丙容器中盐水的浓度是17.5%。

【跟踪练习9】有甲、乙两个容器,其中甲装了960克纯酒精,乙装了640克水。第一次将甲的一半倒给乙,混合后再把乙的一半倒给甲,这样连续三次后,甲中的溶液有多少克?其中含纯酒精多少克?

例10 两个杯中分别装有40%与10%的食盐水,倒在一起后混合食盐水浓度为30%,若再加入300g、20%的食盐水,则浓度变成25%,那么原有40%的食盐水多少克?

思路点拨:浓度为30%的食盐水的质量设为x g,那么再加入300g、20%的食盐水得到浓度为25%的食盐水共(300+x)g,x g、30%的食盐水含盐x×30%g,300g,20%的食盐水含盐300×20%g,(300+x)g、25%的食盐水含盐(300+x)×25%g,列方程:

x×30%+300×20%=(300+x)×25%

解出x=300,问题就变成为“把浓度40%与10%的食盐水倒在一起,得到浓度为30%的食盐水300g,求原有浓度40%的食盐水多少克?”,设原有浓度40%的食盐水yg,则10%的食盐水有(300-y)g,同样可列出方程解:

解答:第一步:设浓度30%的食盐水的质量为x g,依题意得:

x×30%+300×20%=(300+x)×25%

解得:x=300

第二步:设浓度40%的盐水yg,10%的盐水(300-y)g。

y×40%+(300-y)×10%=300×30%

解得:y=200

答:原有40%的盐水200g。

40

【跟踪练习10】容器里装有浓度为15%的酒精1000g,现在又分别倒入100g和400g的甲、乙两种酒精,容器里的酒精浓度变为14%,已知甲种酒精的浓度是乙种酒精的2倍,求甲种酒精的浓度。

例11 (第五届“希望杯”邀请寒试题)一杯盐水第一次加入一定量的水后,盐水的含盐百分之变为15%;第二次又加入同样多的水,盐水的含盐百分比变为12%;第三次加入同样多的水,盐水的含盐百分比将变为 %。

思路点拨:这道题中没有给溶液是多少克这个条件,也没有给出加水前的浓度,但是我们看到每次加水都是一样多的,在稀释的过程中,溶质没有发生变化在。

解答:设原有盐水a克,每次加水b克,第三次加入同样多的水后盐水的浓度为x%。

{ 15%(a+b)=12%(a+2b), 12%(a+2b)=(a+3b)×x%。 化简得

15(a+b)=12(a+2b),①

12(a+2b)=(a+3b)x。②

由①得 15a+15b=12a+24b

3a=9b

a=3b

把③代入②得 12(3b+2b)=(3b+3b)x

60b=6bx

X=10

因此,第三次再加入同样多的水b克,盐水的含量为10%。

【跟踪练习11】从装满100克80%的盐水中倒出40克盐水后,再用清水将杯加满,搅拌后再倒出40克盐水,然后再用清水将杯加满。如此反复三次后,杯中盐水的浓度是多少?

41

专题7 比和比例

例2 光明小学将六年级的140名学生,分成三个小组进行植树活动。已知第一小组和第二小组人数的比是2:3,第二小组和第三小组人数的比是4:5。这三个小组各有多少人?

思路点拨:先把两两的比转化为三个小组人数的连比,再按求出的连比进行分配。这是两个比组成连比的常用方法。

一、二两组人数的比为2:3=8:12,

二、三两组人数的比为4:5=12:15,

这样一、二、三组人数的比为8:12:15。

解答:总份数为8+12+15=35,

8 第一组有1:140× =32(人), 35

12 第二组有:140× =48(人), 35

15 第三组有:140× =60(人)。 35

答:第一小组有32人,第二小组有48人,第三小组有60人。

【跟踪练习2】如图8-1所示,甲、乙、丙三个互相

咬合的齿轮,若使甲甲轮转5圈时,乙轮转7圈,丙轮

转2圈,这三个齿轮的齿数最少应分别是多少?

例3 如图8-2所示,一块长方形地

被两条公路分成四个长方形,其中三个的

面积分别是20亩、25亩和30亩。问另

一块(图中的阴影部分)长方形地的面积

是多少亩?

42

思路点拨:图中面积是20亩与30亩的两个长方形的长相等,其面积比为20:30=2:3,所以它们宽的比为2:3,而面积为25亩和阴影部分两个长方形的长相等,宽的比也是2:3,所以它们的面积比是2:3。

解答:20:30=2:3

3 25× =37.5(亩) 2

也可以列比例解:设另一个长方形的面积是x亩。

20:25=30:x

x=37.5

答:另一个长方形的面积是37.5亩。

【跟踪练习3】一个长方形长与宽的比是14:5,如果长减少13cm,宽增加13cm,则面积增加182cm2,那么原长方形面积是多少平方厘米?

例4 两个服装厂,一个月内生产的西服数量是6:5,两厂西服价格价格的比是11:10。已知这个月两厂的总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元?

思路点拨:产值=价格×数量

甲产值:乙产值=(甲产量×甲价格):(乙产量×乙价格)

解答:两厂的产值比为(6×11):(5×10)=66:55

66 甲厂产值:6960×(万元) 66+50

乙厂产值:6960-3960=3000(万元)

答:两厂的产值分别是3960万元和3000万元。

【跟踪练习4】有一筐大苹果和一筐小苹果,大苹果与小苹果的单价比是5:4,其质量比是2:3,把两筐苹果混在一起成100千克的混合苹果,单价为每千克4.4元,两筐苹果原单价各是多少元?

43

例5 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:2,他们第一次相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有14km,那么A、B两地的距离是多少千米? 思路点拨:因为他们第一次相

遇时所行的时间相同,所以第一次

相遇时甲、乙两人走的路程比也为

3:2,如图8-3所示。

相遇后,甲、乙两人的速度比为[3×

(1+20%)]:[2×(1+30%)]=3.6:2.6=18:13。当甲到达B地时,甲又走了2份的路

134程,这时乙的路为2× (份)。而乙从相遇后到达A还要走3份的路程,189

455还剩下3-1 (份),正好还剩下14km,所以1份这样的路程是14÷1 =9999

(km)。A、B两地有这样的.3+2=5(份),因此,A、B两地的总路程可求出。 解答:[3×(1+20%)]:[2×(1+30%)]=18:13

135 14÷(3-2×)=14÷1 =9(km) 189

9×(3+2)=45(km)

答:A、B两地的总路程为45km。

例6 师徒两人共加工零件168个,师傅加工一个零件用5min,徒弟加工一个零件用9min,完成任务时,两人各加工零件多少个?

44

1 思路点拨:师傅加工一个零件用5min,每分钟可加工个零件,徒弟加工5

111一个零件用9min,每分钟可加工零件 个,师徒两人效率的比是 ::5,959

工作量由于两人的工作时间是一定的,根据 =工作时间(一定),工作量与工工作效率

作效率成正比例。

解答:设师傅加工x个,徒弟加人(168-x)个。

x9 = 168-x5

5x=168×9-9x

解得:x=108

168-x=168-108=60(个)

答:师傅加工108个,徒弟加工60个。

【跟踪练习6】加工一个零件,甲需3min,乙需3.5min,丙需4min,现在有1825个零件需要加工。如果规定三人同样的时间完成任务,分别应该各做多少个?

例7 李师傅原定若干小时内加工一批零件。他又估算了一下,如果按照原定计划加工120个零件后,工作效率提高25%,可提前40min完成,如果一开始工作效率就提高20%的话,就可提前1h完成。他原计划每小时加工多少个零件? 思路点拨:如果按计划加工120个零件后,加工余下的零件时工效提高了25%,即工效与原来的工效比为(1+25%):1=5:4,加工余下零件所用的时间与原来的比为何:5,则原来加工余下零件所用的

41时间是:40÷(1- )=200(min)=3(h)。假设一开始工作效率 53

45

就提高20%,则提高后的工效与原来的工效比为(1+20%):1=6:5,这样所需时间与原来所需时间比为5:6,原来加工这批零件所用的时

512间就是1÷(1- )=6(h)。则原来加工120个零件所用的时间就是6-3 =2633

(h),原来每小时加工零件个数可知。

解答:(1+25%):1=5:4

41 40÷(1-(min)=3(h) 53

(1+20%):1=6:5

5 1÷(1-)=6(h) 6

12 120÷(6-3 )=120÷(个) 33

答:他原计划每小时加工45个零件。

例8 甲容器中有纯酒精的11L,乙容器中有水9L。第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精和水混合;第二次将乙容器中的一部分混合液例入甲容器。这样,甲容器中酒精含量为62.5%,乙容器中酒精含量25%,那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升?

思路点拨:关键在乙容器。第二次将乙容器中一部分混合液倒入甲容器中,并没有改变乙容器中酒精浓度。这是问题解决的突破口。由“乙容器中酒精含量为25%”,这说明倒混合液之前,乙容器中酒精的含量为25%。

所以第一次将甲容器中一部分酒精倒入乙容器,乙容器中酒精与水的比国25%:(1-25%)=1:3。

原来乙容器有水9L,可知第一次甲容器倒入乙容器的酒精为9×1÷3=3(L), 46

因此甲容器剩下的酒精为11-3=8(L)。第二次操作后,甲容器中酒精与水的比为62.5%:(1-62.5%)=5:3。

这时把甲容器的液体看成两部分:一部分是原来的8L纯酒精,另一部分是从乙容器倒过来的混合液。由乙容器中酒精与水的比为1:3,便可以求出混合液的体积。

所以,甲容器中的纯酒精与溶液质量的比是5:8。

解答:设第二次从乙容器中倒入甲容器中的混合液是xL,依题意更方程:

x×25%+(11-3)x+(11-3)

解得:x=8

答:第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是8L。

【跟踪练习8】甲桶油比乙桶油多3.6千克,从两桶中各取出1千克油后,

12乙桶里剩下油的 相当于甲桶里剩下的,那么甲桶中现有多少千克? 721

例9 某工地用三种型号的卡车运送土方,已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6,速度之比为6:8:9,运送土方的路程之比是15:14:14,三种土方的重量比是10:5:7。工程开始时,乙、丙两种车全部投入运输,但甲种车只有一半投入。直到10天后,另一半甲种车才投入工作,一共干了25天完成任务。那么,甲种车完成的工作量与总的工作量之比是多少?

思路点拨:先求出甲、乙、丙三种车工作时间的比,再求出三种车完成的工作量之比,问题可解。

解答:甲种车的一半干25天,另一半干15天,相当于所有甲种车都干20天,所以甲、乙、丙三种车工作时间之比为:

20:25:25=4:5:5

相同时间内,三种车各一辆完成的工程量之比为:

47

10×67×86×927:::4: =28:28:27 1514147

甲、乙、丙三种车完成的工作量之比为:

(28×10×4):(28×5×5):(27×7×5)=32:20:27

甲种车完成的工程量与总工作量之比为:

32:(32+20+27)=32:79

答:甲种车完成的工作量与总工作量之比为32:79。

【跟踪练习9】甲、乙两桶中都盛有酒精的水溶液,甲桶中有14千克,乙桶中有10千克。甲桶中纯酒精与水之比为3:4,乙桶中纯酒精与水之比为2:

3。现将两桶的溶液混合,求所得溶液中纯酒精与水之比是多少?

例10 猎犬发现在离它10m元的前方有一只奔跑着的野兔,立刻追赶。猎犬的步子大,它跑2步的路程,野兔要跑3步;但是野兔的动作快,猎犬跑3步的时间,野兔能跑4步。问猎犬至少要跑多少米才能追上野兔?

思路点拨:从猎犬开始追赶野兔到追上野兔,猎犬和野兔所用的时间相等,即时间一定,因此他们跑的速度与距离成正比例。要求出猎犬跑的距离,关键是求出猎犬与野兔的速度之比。

解答:因为野兔3步距离等于猎犬2步距离,不妨设野兔一步为2距离单位,则猎犬一步为3距离单位;又因为野兔4步的时间等于猎犬3步的时间,所以可设野兔每跑一步需3时间单位,猎犬每跑一

距离步需4时间单位,根据“速度=,有: 时间

2距离单位野兔速度 3时间单位

2 =距离单位/时间单位 3

48

3距离单位猎犬速度 4时间单位

3 =距离单位/时间单位 4

所以野兔与猎犬的速度比为

23 : =8:9。 34

设猎犬至少要跑过x m才能追上野兔,则此时野兔跑过(x-10)m,根据时间一定,速度和距离成正比:

8:9=(x-10):x

8x=9(x-10),8x=9x-90,x=90

答:猎犬至少要跑过90m才能追上野兔。

【跟踪练习10】一段路全长30千米,分成上坡、平路、下坡三段路,各段路程长的比是1:2:3,某人走各段路程所用的时间之比是4:5:6,已知他上坡的速度是每小时3千米。问此人走完全程共用了多长时间?

49

专题8 大小的比较

例1 比较下面几个分数的大小:

1510121、1 、1。 231719

思想点拨:三个带分数的整数部分相同,因而只要比较分数部分即可。三个分母两两互质且较大,通分较繁琐。三个分子的最小公倍数是60,故化成同分子分数比较简单。

156010601260解答:,,, 2392171021995

606060151210因为 > >,所以> > 9295102231917

【跟踪练习1】将下列分数从小到大排列:

355713、 、 、、4681218

25151012例2 这里有的个分数:,, , , ,如果按大小顺序排列,38231719

排在中间的是哪个数?

思路点拨:要比较分数大小,通常的做法是先通分,再比较分子的大小。 50

这道题目的5个分母通分,分母是个很大的数,算起来很复杂。我们可换个方式:将5个分数的分子换成相同的数,再比较分母的大小。也就是说,先找出分子的最小公倍数,再将这些分数进行等值变换。

解答:分子的最小公倍数是60。给出的5个分数依次等于;

6060606060 , , , 90969210295

比较分母的大小,居中的分数是6012,即 。 9519

341【跟踪练习2】6×A=B÷ =C× =D÷1 ,把A、B、C、D按从小到大的474

顺序排列是( )<( )<( )<( )。

例3 比较下面几个分数的大小:

7911 、。 7191111

思路点拨:分母互质,分子也互质,所以通分或化成同分子都比较繁琐。注意分母都是分子的10倍多,所以可以先求出各分数的倒数,倒数大的原分数小,倒数小的原分数大。

7711991111解答: =10 =10 ,的倒数等71779199111

1111 , 1111

51 于

111因为10>10>10, 7911

7911所以 < <。 7191111

111111110444444443【跟踪练习3】A= ,B= ,比较A与B的大小。 222222221888888887

11例4 若A=,B=中, 2 2008 - 2008+12008 - 2008×2009+2008

比较A与B的大小。

思路点拨:由于这两个分数的分子都是1,只要比较这两个分数分母的大小就可以了。要比较两个数的大小,常用的方法是求差比较,即要比较A与B的大小,就求出差A-B,将这个差与零比较大小,如果A-B>0,则A>B;如果A-B=0,则A=B;如果B-A>0,则B>A。

解答:分数B的分母为:20082-2008×2009+20082

=20082-2008(2009-2008)

=20082-2008

分数A的分母为20082-2008+1

而20082-2008+1-(20082-2008)=1>0

52

11所以<2008 - 2008+12008 - 20082 2

1 2 2008×2009+20082008 - 即A<B。 2

[跟踪练习4]已知A=9876543 3456789,B=9876544 3456788,问A与B那个大?

例5比较下面两个分数的大小:

19971998与。 19981999

思路点拨:各分数都比1略小,可以求分数与1的差,哪个分数更接近1,哪个分数就大。

1997119981解答:1- =,1- , 1998199819991999

1119971998因为>,所以 < 。 1998199919981999

777773888884【跟踪练习5】A= ,B=,比较A与B的大小。 777778888889

例7 把手4拆成几个自然数的和,再求出这些数的乘积中,如何拆可以使乘积最大?

53

思路点拨:这要考虑到一些隐含着的限制条件:

(1)要使14拆成的自然数的乘积最大,所拆成的数的个数要尽可能多,但1不应出现,因为1与任何数的积仍为原数。

(2)拆出的加数不要超过4,例如5,它可以拆成2和3,而2×3>5,所以加数大于4的数还要继续拆小。

(3)由于4=2+2,又4=2×2,因此拆出的加数中可以不出现4。因为出现4与两个2的效果一样。

(4)拆出的加数中2的个数不能多于两个。例如拆成三个2,不如拆成两个3。因为三个2的积为8,两个3的积为9,也就是说,应尽可能多的拆出3。

解答:因为14=3×4+2,所以把14拆成3、3、3、3、2时,积为3×3×3×3×2=162最大。

【跟踪练习7】把70表示成11个不同的非零自然数之和,同时要求含有质数的个数最多。

【跟踪练习8】有一个93人的参观团,其中男47人,女46人。他们住进一个旅馆内,旅馆内有可住11人、7人、4人的3种房间,要求男、女分住不同房间,且每个房间均住满,至少需要多少间房间?

例9 用30m长的篱笆围成一个长方形鸡舍。(1)当长和宽各是多少时,鸡舍面积最大?(2)若长方形一面靠墙,长和宽各为多少时面积最大?最大面积是多少?

思路点拨:(1)如图9-3甲,设长方形的长和宽分别为a和b,则这个实际问题就转化为数学问题a+b=15,求a×b的最大值问题。

54

解答:当a=b=7.5m时面积最大,

2 15最大面积为(m2)。 4

(2)如图9-3乙所示,由于靠墙部分没有篱笆,问题变得复杂了,现在的

问题是如何将问题简单化。我们知道,当一个长方形面积最大时,同样的两个

长方形面积之和也是最大。于是我们想到把这个长方形关于墙对称到的墙的另

一侧(图乙)虚线部分,则这两个长方形构成的一个较大的正方形,这时问题

就转化成用60m长的篱笆围成一个正方形,当正方形边长为多少时面积最大?

最大的面积是多少?“

用与(1)相同的方法可以得到:当边长为15m时面积最大,最大面积为225m2。

由较大长方形的构造可知本题(2)的答案为当长方形长为15m,宽为7.5m时,

鸡舍面积最大,最大面积为112.5m2

【跟踪练习9】养鸡专业户要用96m长的竹篱笆围成一个长方形或正方形的

养鸡场,若围成长方形则其长是宽的2倍,且一条长边利用旧墙;若围成正方

形,则也有一条边利用旧墙。那么, 的面积比 的面积大,大 m2。

55

例10 在 13 与 45之间,分母是30的最简分数有多少?

思路点拨:30是3和5的公倍数

131030452434解答:设所求分数为x130 ,则3<x430 <5扩分:1030<x2430<30则x是10到24之间的与30互质的数, 所以x=11、13、17、19、23,共5个。 答:最简分数共5个。

【跟踪练习10】比27 大,比13 小,分子为17的分数有多少个?

56

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