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初2竞赛系统辅导二

发布时间:2014-01-20 09:55:31  

初中数学竞赛辅导资料(20)

代数恒等式的证明

甲内容提要

证明代数恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形,要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。

具体证法一般有如下几种

1.从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。

2.把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式。

3.证明:左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边-右边=0可得左边=右边。 4,由己知等式出发,经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边,

乙例题

+例1求证:3 n+2-2n2+2×5 n+2+3 n-2 n=10(5 n+1+3 n-2 n-1)

例2 己知:a+b+c=0 求证:a3+b3+c3=3abc

例3 己知a+111?b??c?,a≠b≠c 求证:a2b2c2=1 bca

例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式(a,b,c是常数)求证:b2-4ac=0 0

丙练习20

1. 求证: ①(a+b+c)2+(a+b-c)2-(a-b-c)2-(a-b-c)2=8ab

②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3-(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n-a2 n+1)(a2 n+a n+1)

2.己知:a2+b2=2ab 求证:a=b

3.己知:a+b+c=0

求证:①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2

4.己知:a2=a+1 求证:a5=5a+3

5.己知:x+y-z=0 求证: x3+8y3=z3-6xyz

6.己知:a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证:a=b=c

7.己知:a∶b=b∶c 求证:(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)

8.己知:abc≠0,ab+bc=2ac 求证:

9.己知:1111??? abbcxyz 求证:x+y+z=0 ??a?bb?cc?a

10.求证:(2x-3)(2x+1)(x2-1)+1是一个完全平方式

11己知:ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证:ad=bc

初中数学竞赛辅导资料(21)

比较大小

甲内容提要

1. 比较两个代数式的值的大小,一般要按字母的取值范围进行讨论,常用求差法。根据不

等式的性质:

当a-b>0时,a>b; 当a-b=0时,a=b; 当a-b<0时a<b。

2. 通常在写成差的形式之后,用因式分解化为积的形式,然后由负因数的个数决定其符号。

3. 需要讨论的可借助数轴,按零点分区。

4. 实数(有理数和无理数的统称)的平方是非负数,在决定符号时常用到它。即若a是实

数,则a2≥0,由此而推出一系列绝对不等式(字母不论取什么值,永远成立的不等式)。诸如

(a-b)2≥0, a2+1>0, a2+a+1=(a+123)+>0 24

-a2≤0, -(a2+a+2)<0 当a≠b时,-(a-b)2<0

乙例题

例1 试比较a3与a的大小

解:a3-a=a(a+1)(a-1)

a3-a=0,即a3=a

以-1,0,1三个零点把全体

实数分为4个区间,由负因数的个数决定其符号:

当a<-1时,a+1<0,a<0,a-1<0(3个负因数)∴a3-a<0 即a3<a

当-1<a<0时 a<0,a-1<0(2个负因数) ∴a3-a>0 即a3>a

当0<a<1时, a-1<0(1个负因数) ∴a3-a<0 即a3<a

当a>1时,没有负因数, ∴a3-a>0 即a3>a

综上所述当a=0,-1,1时, a3=a

当a<-1或0<a<1时,a3<a

当-1<a<0或a>1时,a3>a。 (试总结符号规律)

例2 什么数比它的倒数大?

解:设这个数为x,则当并且只当x -1>0时,x 比它的倒数大, x

1x2?1(x?1)(x?1)? x -= xxx

以三个零点-1,0,1把实数分为4个区间,由例1可知

当x>1或-1<x<0时,x比它的倒数大。

例3 己知步行的速度是骑车速度的一半,自行车速度是汽车速度的一半,甲、乙两人同时从A去B,甲乘汽车到中点,后一半用歩行,乙全程骑自行车,问誰先到达?

解:设从A到B有x千米,步行速度每小时y 千米,那么甲、乙走完全程所用时间分别是

xx

x5xt甲=??, t乙= 4y4yy8y

t甲-t乙=5xx3x?? ∵x>0,y>0 ∴t甲-t乙>0 8y4y8y

答:乙先到达B地

例4己知a≠b≠c,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca

证明:a2+b2+c2-ab+bc+ca=1×2(a2+b2+c2-ab+bc+ca) 2

1=(2a2+2b2+2c2-2ab+2bc+2ca) 2

1=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] 2

∵a≠b≠c,(a-b)2>0,(b-c)2>0,(c-a)2>0

∴a2+b2+c2>ab+bc+ca

又证:∵a≠b,∴(a-b)2>0 a2+b2>2ab(1)

同理b2+c2>2bc(2) c2+a2>2ca(3)

(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca 即a2+b2+c2>ab+bc+ca

例5 比较 3(1+a2+a4)与(1+a+a2)2的大小

解:3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2=3[(1+a+a2)2-2a-2a2-2a3]-(1+a+a2)2

=2(1+a+a2)2-6a(1+a+a2)

=2(1+a+a2)( 1+a+a2-3a)=2(1+a+a2)(1-a)2

∵1+a+a2=(13?a)2?>0, (1-a)2≥0 24

∴当a=1时,3(1+a2+a4)=(1+a+a2)2

当a≠1时,3(1+a2+a4)>(1+a+a2)2

例6 解方程 2x??x?2?4

解:以-0.5,和2两个零点分为3个区间

当x<-0.5时,-(2x+1)-(x-2)=4, 解得x=-1

当-0.5≤x<2时,(2x+1)-(x-2)=4, 解得x=1

当x≥2时,(2x+1)+(x-2)=4 解得x=5, ∴在x≥2范围无解 3

综上所述原方程有两个解x=-1, x=1

丙练习21

1. 己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。

并用“<”号把它们连接。

2. 比较下列各组中的两个数值的大小:

①a4与a2 ②aa?1与 a?1a?2

3. 什么数的平方与立方相等?什么数的平方比立方大?

4. 甲乙两人同时从A去B,甲一半路程用时速a千米,另一半路程用时速b千米;乙占总

时间的一半用时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人誰先到达?

5. 己知 a>b>c>d>0且a∶b=c∶d, 试比较a+c与b+d的大小

6. 己知a<b,x<y. 求证:ax+by>ay+bx

7. 己知a<b<c, x<y<z

求证:①ax+by+cz>az+bx+cy ②ax+by+cz>az+bx+cy

(提示:可应用第6题的结论)

8. 己知a<b<0,下列不等式,哪些能成立?不能成立的,请举个反例。

①11a? ②ab<1 ③?1 ④a-2b<0 abb

9.若a,b,c都是大于-1的负数,(即-1<a,b,c<0下列不等式哪些不能成立?试各举一个反例。

①a+b-c>0 ②(abc)2>1 ③a2-b2-c2<0 ④abc>-1

10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管,其中有的是进水管,有的是出水管,同时开放其中的两条水管,注满水池所用的时间列表如下

问单独开放哪条水管能最快注満水池?答:___

(1989年全国初中数学联赛题)

初中数学竞赛辅导资料(22)

分式

甲内容提要

1. 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。

(1)分式A中,当B≠0时有意义;当A、B同号时值为正,异号时值为负,反过来也成立。B

分子、分母都化为积的形式时,分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。 A都是整数,那么A是B的倍数,B是A的约数。 B

A(3)一切有理数可用来表示,其中A是整数,B是正整数,且A、B互质。 B(2)若A、B及

2. 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型,要用特殊方法解答方便。

乙例题

x2?2x?3例1.x取什么值时,分式的值是零?是正数?是负数? 2x?2x

x2?2x?3(x?1

)(x?3)解: = 2x(x?2)x?2x

3

以零点-2,-1,0,3把全体实数分为五个区间,标在数轴上(如上图)

当x=-1,x=3时分子是0,分母不等于0,这时分式的值是零;

当x<-2, -1<x<0, x>3时,分式的值是正数(∵负因数的个数是偶数)

当-2<x<-1, 0<x<3时,分式的值是负数(∵负因数的个数是奇数)

例2.m取什么值时,分式2m?7的值是正整数? m?1

92m?72m?2?9==2+ m?1m?1m?1

x?4x?2x?2x?4当例3.计算+-- x?1x?3x?1x?3

9>-2且m-1是9的约数时,分式的值是正整数 m?1解:

即m-1=1,3,9,-9 解得m=2,4,10,-8。 答:(略)

解:用带余除法得,原式=1+3311+1+-1--1- x?1x?1x?3x?3

=3(x?1)?3(x?1)(x?3)?(x?3)+ (x?1)(x?1)(x?3)(x?3)

48-66+= 2222x?1x?9(x?1)(x?9)=

a2?ab4.已知(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a∶b∶c ②2 c?bc

解:设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加

得2(a+b+c)=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式

得a=2k, b=k, c=3k

a2?ab(2k)2?2k?k1∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②2== 26c?bc(3k)+k?3k

例5.一个两位数除以它的两个数位上的数字和,要使商为最小值,求这个两位数;如果要使商为最大值呢?

解:设这个两位数为10x+y,那么0<x≤9, 0≤y≤9 10x?y9x=1+ x?yx?y

当x取最小值1,y取最大值9时,分式9x的值最小;当x取最大值9,y取最小值0时,x?y

分式9x的值最大。 x?y

答:商为最小值时的两位数是19,商为最大值时的两位数是90。

丙练习22

1. a=___时,分式a?2

a?a?62的值是0

?2x?2y?z?0x2?y2?z2

2. 已知?则分式2=____ 22x?y?z?x?2y?z?0

3. 若x和分式3x?2都是整数,那么x=_______________ x?1

1121)-______ ②(x2+2+2)÷(x+)=____ xxx4. 直接写出结果: ① x+21

x2=(x+

③ (x2-11111)÷(x+)=____ ④(1+(1-)?)=____ xxxx2x2

5.化简繁分式,并指出字母x 取什么值时它没有意义。 1

1+

1+11

1+x 

x2?x?26.x取什么值时分式的值是零?是正数?是负数? 2x?9

7.计算:①

2x?4x?2x?4x?21124+ ② ?????24x?1x?3x?1x?31?x1?x1?x1?xx2?2x?1x?10?2?2 ③ 23x?8x?4x?x?2x?46x?7x?2

8.解方程:

x3?2x3?9x?9x?10x?6x?7 2??2x?1???x?8x?9x?5x?6x?x?1x2?2x?4

⑶ x?a?bx?b?cx?c?a111???3(其中???0) cababc

 xy ∶ yzzx9.已知xy∶yz∶zx=3∶2∶1, 求①x∶y∶z ②

10.已知a≠b≠c且b?cc?aa?b 求证:ax+by+cz=0 ??xyz

11.已知:x?yy?zz?x 求:(x+y)∶z的值 ??zxy

12.由三个非零且相异的数字组成的三位数,除以这三个数字和,其商的最小值是多少?

13.在保证分母不等于0的前提下,分式

和b之间的关糸应满足什么条件?

14. 已知ax?3中的x不论取什么值分式的值都不变,问abx?5abc?? 求证:(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2

mnp

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

1.

2.

3.

4. ④左边=5 n(5 2-1)+3 n1(33-3)= 24(5 n+3 n-1) 注意右边有3左边-右边=(a-b)2 ②左边-右边=(a2+b2-c2)2-4a2b2=…… ∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入 用z=x+2y代入右边 用已知的(左-右)×2 用b2=ac分别代入左边,右边化为同一个代数式 在已知的等式两边都除以abc 设三个比的比值为k, (2x2-x-2)2 11. 用待定系数法 b<-a<0<a<-b - n-1 ① 用求差法:a4-a2=a2(a+1)(a-1)?。 ②a2-a3=a2(1-a)…… 2a?1 ?? (a?1)(a?2)(a?b)2st甲-t乙= a=b时同时到达,a≠b时,乙先到 2ab(a?b)

由已知c=5.

6.

7.

8.

9.

1. ad(a?b)(b?d) (a+d)-((b+c)= >0…… bb(ax+by)-(ay+bx)=?? 运用上一题的结论 只有①成立,②③④都可以a=-2,b=--3 作为反例 只有④成立 10.(4) -2 2. -1 3. 2,0,6,-4

4. ①1+111 ② x+ ③-2 ④-3(x+) xxx3

111⑤1+?2 ⑥-(x+) xxx

5. x=-1,-2,-1.5时没有意义

6. 仿例1,四个零点-3,-1,2,3把实数分为五个区间

8x3?56x8x?37. ①2 ② ③ 28(x?1)(x?9)x?21?x

8. ①x=-7 ②x=-1 9.①3∶6∶2 ②0.25,10.设各比的比值为k

11. 2或-1 12. 10.5(x=1,y=8,z=9) 13. 5a=3b

14. 设比的比值为k,分别证明左,右两边都等于k2(m2+n2+p2)2

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