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初2竞赛系统辅导一

发布时间:2014-01-20 09:55:39  

初中数学竞赛辅导资料(17)

奇数 偶数

甲内容提要

1. 奇数和偶数是在整数集合里定义的,能被2整除的整数是偶数,如2,0-2…,不能被2整除的整数是奇数,如-1,1,3。

如果n 是整数,那么2n是偶数,2n-1或2n+1是奇数。如果n是正整数,那么2n是正偶数,2n-1是正奇数。

2. 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为:

?奇数 整数? 或 整数集合 偶数?

这就是说,在整数集合中是偶数就不是奇数,如果既不是偶数又不是奇数,那么它就不是整数。

3. 奇数偶数的运算性质:

奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数±偶数=偶数

奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数

奇数的正整数次幂是奇数,偶数的正整数次幂是偶数,

两个連续整数的和是奇数,积是偶数。

乙例题

例1 求证:任意奇数的平方减去1是8的倍数

例2 已知:有n个整数它们的积等于n,和等于0

求证:n是4的倍数

例3己知:a,b,c都是奇数

求证:方程ax2+bx+c=0没有整数解

例4求方程x2-y2=60的正整数解

丙练习17

1. 选择题

①设n是正整数,那么n2+n-1的值是( )

(A)偶数(B)奇数(C)可能是奇数也可能是偶数

②求方程85x-324y=101的整数解,下列哪一个解是错误的?( )

(A)??x?5?x?329?x?653?x?978(B)?(C)?(D)? ?y?1?y?256?y?86?y?171

2. 填空:

①能被3,5,7都整除的最小正偶数是___

②能被9和15整除的最小正奇数是__最大的三位数是__

③1+2+3+…+2001+2002的和是奇数或偶数?答__

④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数?答__

⑤100?01能被11整除,那么n是正奇数或正偶数?答__ ?????

n位

3. 任意三个整数中,必有两个的和是偶数,这是为什么?

4. 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由

5. 求证:两个連续奇数的平方差能被8整除

6. 试证明:任意两个奇数的平方和的一半是奇数

7. 求方程(2x-y-2)2+(x+y+2)2=5的整数解

8. 方程19x+78y=8637的解是( )

(A)??x?78?x?84?x?88?x?81 (B)? (C)? (D)? ?y?91?y?92?y?93?y?91

9. 十进制中,六位数19ab87能被33整除,求a,b的值

初中数学竞赛辅导资料(18)

式的整除

甲内容提要

1. 定义:如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式,并且余式是零,则称这

个整式被另一个整式整除。

2. 根据被除式=除式×商式+余式,设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式,

那么 式的整除的意义可以表示为:

若f(x)=p(x)×q(x), 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除

例如∵x2-3x-4=(x-4)(x +1),

∴x2-3x-4能被(x-4)和(x +1)整除。

显然当 x=4或x=-1时x2-3x-4=0,

3. 一般地,若整式f(x)含有x –a的因式,则f(a)=0

反过来也成立,若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。

4. 在二次三项式中

若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab

在恒等式中,左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。

乙例题

例1己知 x2-5x+m能被x-2整除,求m 的值。 x-3

解法一:列竖式做除法 (如右) x-2x2-5x+m

由 余式m-6=0 得m=6 x2-2x

解法二:∵ x2-5x+m 含有x-2 的因式 -3x+m

∴ 以x=2代入 x2-5x+m 得 -3x+6

22-5×2 +m=0 得m=6 m-6

解法三:设x2-5x+m 除以x-2 的商是x+a (a为待定系数)

那么 x2-5x+m=(x+a)(x-2)= x2+(a-2)x-2a

根据左右两边同类项的系数相等,得

?a?2??5?a??3 解得 (本题解法叫待定系数法) ????2a?m?m?6

例2 己知:x4-5x3+11x2+mx+n能被x2-2x+1整除

求:m、n 的值及商式

解:∵被除式=除式×商式 (整除时余式为0)

∴商式可设为x2+ax+b

得x4-5x3+11x2+mx+n=(x2-2x+1)(x2+ax+b)

=x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b

根据恒等式中,左右两边同类项的系数相等,得

?a?2??5?a??3?b?1?2a?11?b?n?? ? 解得? a?2b?mm??11?????1b?n?n?4

∴m=-11, n=4, 商式是x2-3x+4

例3 m取什么值时,x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除?

解:当 x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时,它含有x+y+z 因式

令x+y+z=0,得x=-(y+z),代入原式其值必为0

即[-(y+z)]3+y3+z3-myz(y+z)=0

把左边因式分解,得 -yz(y+z)(m+3)=0,

∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立

∴当x,y(或y,z或x,z)互为相反数时,m可取任何值 ,

当m=-3时,x,y,z不论取什么值,原式都能被x+y+z整除。

例4 分解因式x3-x+6

分析:为获得一次因式,可用x=±1,±2,±3,±6(常数项6的约数)代入原式求值,

只有x=-2时值为0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)

解:x3-x+6=(x+2)(x2-2x+3)

丙练习18

1. 若x3+2x2+mx+10=x3+nx2-4x+10, 则m=___, n=___

2. x3-4x2+3x+32除以x+2的余式是___,

x4-x2+1除以x2-x-2的余式是___

3. 己知x3+mx+4能被x+1整除,求m

4. 己知x4+ax3+bx-16含有两个因式x-1和x –2,求a和b的值

5. 己知13x3+mx2+11x+n能被13x2-6x+5整除,求m、n及商式

6. 己知ab≠0,m取什么值时,a3-6a2b+mab2-8b3有因式a-2b.

7. 分解因式:①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3

8.选择题

① x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是( )

(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)

(c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)

②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数),对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是( )

(A) p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.

初中数学竞赛辅导资料(19)

因式分解

甲内容提要 和例题

我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法

1. 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式

例1因式分解:①x4+x2+1 ②a3+b3+c3-3abc

①分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式

解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x)

②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2

解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

例2因式分解:①x3-11x+20 ② a5+a+1

① 分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数)

② 解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4)

=x(x+4)(x-4)+5(x+4) =(x+4)(x2-4x+5)

③ 分析:添上-a2 和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式 解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+ a2+a+1

=a2(a-1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3-a2+1)

2. 运用因式定理和待定系数法

定理:⑴若x=a时,f(x)=0, [即f(a)=0],则多项式f(x)有一次因式x-a ⑵若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等。

例3因式分解:①x3-5x2+9x-6 ②2x3-13x2+3

①分析:以x=±1,±2,±3,±6(常数6的约数)分别代入原式,若值为0,则可找到一次因式,然后用除法或待定系数法,求另一个因式。

解:∵x=2时,x3-5x2+9x-6=0,∴原式有一次因式x -2,

∴x3-5x2+9x-6=(x -2)(x2-3x+3,)

②分析:用最高次项的系数2的约数±1,±2分别去除常数项3的约数 ±1,±3得商±1,±2,±

可知只有当x=

解:∵x=13,±,再分别以这些商代入原式求值, 221时,原式值为0。故可知有因式2x-1 21时,2x3-13x2+3=0,∴原式有一次因式2x-1, 2

设2x3-13x2+3=(2x-1)(x2+ax-3), (a是待定系数)

比较右边和左边x2的系数得 2a-1=-13, a=-6

∴2x3-13x+3=(2x-1)(x2-6x-3)。

例4因式分解2x2+3xy-9y2+14x-3y+20

解:∵2x2+3xy-9y2=(2x-3y)(x+3y), 用待定系数法,可设

2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a)(x+3y+b),a,b是待定的系数, 比较右边和左边的x和y两项 的系数,得

??a?2b?14a?4 解得 b?5?3a?3b??3

∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)

又解:原式=2x2+(3y+14)x-(9y2+3y-20) 这是关于x的二次三项式 常数项可分解为-(3y-4)(3y+5),用待定系数法,可设

2x2+(3y+14)x-(9y2+3y-20)=[mx-(3y-4)][nx+(3y+5)] 比较左、右两边的x2和x项的系数,得m=2, n=1

∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4)(x+3y+5)

丙练习19

1. 分解因式:①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4-23x2y2+y4

2. 分解因式: ①x3+4x2-9 ②x3-41x+30

③x3+5x2-18 ④x3-39x-70

3. 分解因式:①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3-3x2+3x+7

③x3-9ax2+27a2x-26a3 ④x3+6x2+11x+6

⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2

4. 分解因式:①3x3-7x+10 ②x3-11x2+31x-21

③x4-4x+3 ④2x3-5x2+1

5. 分解因式:①2x2-xy-3y2-6x+14y-8 ②(x2-3x-3)(x2+3x+4)-8

③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48 ④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91

6.分解因式: ①x2y2+1-x2-y2+4xy ②x2-y2+2x-4y-3

③x4+x2-2ax -a+1 ④(x+y)4+x4+y4

⑤(a+b+c)3-(a3+b3+c3)

7. 己知:n是大于1的自然数 求证:4n2+1是合数

8.己知:f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5

且知f(x)是g(x)的因式,也是p(x)的因式

求:当x=1时,f(x)的值

1.①B,②D

2.①210,②45,945 ③奇数(有奇数个奇数),④奇数位,⑤正偶数

3.整数按奇数,偶数分为两类,3个整数中必有两个同是奇数或同偶数,故它们的和是偶数

4.∵左边2,10、都是偶数,x.y不论取什么整数,都是偶数,而右边是奇数,等式不能成立

5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n

6.任意两个奇数可设为2m-1,2n-1

7.∵两个整数的平方和5为,只有(±1)2+(±2)2=5或(±2)2+(±1)2=5

可得四个方程组??2x?y?2?1,2,?1,?2?x?..1,.1,.?1,.?1,解得? ?x?y?2?2,1,?2,?1?y??1,?2,?3,?2

8. (D) 9. a=9, b=2;a=2, b=6;a=5 ,b=9。

练习18

1. –4,2 2. 2;4x+5 3. 3

4. ??a??5?m??19 5.? 商式x-1 ?b?20?n?5

6. 12 7.①(x-1)(x-2)(x+3), ②(x-2)2(x+1) , ③(x+3)(x2-3x-1)

8. ① (A) ② (D)

练习19

1. 添项,配成完全平方式(仿例3) 2.拆中项,仿例1

3. 拆项,配成两数和的立方

①原式=(x+y)3+y3……③原式=(x-3a)3+a3

⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)3

4. 用因式定理,待定系数法,仿例5,6

④x=1时,原式=0,有因式2x-1 2

5. 看着是某代数式的二次三项式,仿例7

④原式=(2x-7)(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=……

6. 分组配方

③原式=(x2+1)2-(x+a)2…… ④把原式用乘法展开,合并,再分解

⑤以a=-b代入原式=0,故有因式a+b

7. 可分解为两个非1的正整数的积

8. 提示g(x),p(x)的和,差,倍仍有f(x)的因式,

3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)与f(x)比较系数……,f(1)=4

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