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2013全国大学生数学竞赛省一论文

发布时间:2014-01-20 09:55:46  

车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘要

本论文通过建立线性回归模型,指数平滑预测模型,利用SPSS软件和MATLAB软件,结合聚类分析和F检验解决了车道被占用对城市道路通行能力的影响问题。

在问题一中,我们建立了聚类分析模型。首先我们截取了从交通事故发生到撤离这段时间的视频,并按照交通量观测分类及折算系数的标准,将不到1分钟或没出现的时间段剔除后,得到了13组各时段的车流量数据,然后残差后又对其进行了聚类分析,将事故横断面的实际通行能力划分成A,B,C,D四个等级,以分别表示流畅,稳定,不稳定,拥堵这些状态。最后我们得到,16:42:32-16:43:32时,路段处于流畅状态;43:32-44:32,47:32-48:32,50:04-51:04,55:04-56:04时,路段处于稳定状态;45:32-46:32,48:32-49:32,51:04-52:04,52:04-53:04,54:04-55:04时,路段处于不稳定状态;44:32-45:32,46:32-47:32,53:04-54:04时,路段处于拥堵状态。

在问题二中,对数据的采集与处理上,我们采用与问题一相同的方式,残差后,借助MATLAB进行绘图。接着,我们计算了两组数据的平均值和标准差,借此比较两者实际通行能力的差异,引入了变异系数,以便更直观地将两者进行比较。最终得到:交通事故发生在车道二和车道三对该横断面的实际通行能力影响程度比较大,而发生在车道一和车道二的对该横断面的实际通行能力的影响程度相对较小。

在问题三中,我们建立了多元线性回归模型来解决这个问题。首先,通过仿真对整个事故所造成的车辆流通情况进行模拟,得到路段流通状态规律。当横断面处实际通行能力大于路段上游车流量时,该路段处于流畅状态;当横断面处实际通行能力近似等于路段上游车流量时,该路段处于稳定状态;当横断面处实际通行能力小于路段上游车流量时,该路段处于拥堵状态。然后用MATLAB软件画出路段车辆排队长度与事故持续时间的关系趋势图。最后,建立了多元线性回归方程,结合SPSS软件得到该模型通过了F检验。

在问题四中,我们运用时间序列建立起指数平滑预测模型。根据问题三所画的车辆排队长度与持续时间折线图并非直线趋势,我们采用三次指数平滑法。由于时间序列并非等间距,我们对数据进行填补,使其等间距。以事故发生时为起点,将观测值带入指数平滑预测模型中,求出平滑值。最后,我们得到在事故发生后的11-12分钟内,车辆排队长度达到140m。

在分析灵敏度时,我们对上游路段车流量值增加10%,20%,30%和50%后,问题一和问题二的变化进行探究。最终,我们得到了随着原路段上游车流量的增加,横断面实际通行能力所对应的变异系数都呈现减少的趋势,且符合道路拥挤时横断面实际通行能力趋于稳定的事实,充分显示了模型的准确性。

关键词:聚类分析;变异系数;线性回归;指数平滑预测模型;交通拥堵

1

一、问题重述

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素,导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点,一条车道被占用,可能降低路段所有车道的通行能力,即使时间短,也可能引起车辆排队,出现交通阻塞。如处理不当,甚至出现区域性拥堵。 车道被占用的情况种类繁多、复杂,正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度,将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。

题中附件已给出交通事故所在路段的情况,我们在只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量,且换算成标准车当量数的情况下,研究以下问题: 问题一:根据附件1,描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

问题二:根据问题1所得结论,结合附件2,分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

问题三:构建数学模型,分析附件1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

问题四:假如附件1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离。请估算,从事故发生开始,经过多长时间,车辆排队长度将到达上游路口。

二、问题分析

2.1 问题一的分析

对于问题一,要求我们根据所给的附件1,建立数学模型,描述交通事故发 生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程,属于定性问题。首先,我们从事故发生开始,即当天16:42:32,每隔1分钟对发生事故的场地进行车流量统计。在此期间,可以发现视频中有些时间跳转,所以到事故得到解决,时间为当天17:01:21,我们得到了13组数据。并且在计算车流量时,我们采用了标准车当量数,并按标准的车辆折算系数进行统计,即可得到相对应的标准车当量数。

为了减小误差,我们对数据进行残差分析,得到这些数据均符合要求。继而,我们用MATLAB来画出相对的折线图,可以看到通行能力在24pcu/min附近上下波动。然后,为更形象地描述车流量变化,我们用SPSS进行聚类分析,将通行能力划分为四个等级:流畅,稳定,不稳定,拥堵。最后得到,此时道路通行能力有增加,也有降低,但总体呈现下降趋势。

2.2 问题二的分析

对于问题二,要求我们在问题一得到结论的条件下,结合附件2,分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异,属于定性问题。我们在视频中已经看出,视频1中所占车道为二、三车道,视频2中所

2

占车道为一、二车道。类似于问题一,我们对视频2的数据残差分析,绘图。然后,求出各个观测值与平均数的离差及样本方差的平方根,引入变异系数,得到视频1的变异系数大于视频2的变异系数,即交通事故所占车道二和车道三对该横断面的实际通行能力影响程度比较大,而占车道一和车道二的对该横断面的实际通行能力的影响程度相对较小。

2.3 问题三的分析

对于问题三,要求我们构建数学模型,分析附件1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系,属于定量问题。我们可以从视频里看到事故从发生一直到消除,车辆来来往往,所以可以统计出了不同时间车辆排队长度的变化并画出对应折线图。从这个折线图来看,随着时间的增加,车辆排队长度也发生了波动,但在事故发生至撤离期间,排队长度整体呈现增长的趋势。同时,截断面实际通行能力和路段上游车流量也会产生一些影响,我们获得了各个数据。接着,借助SPSS给出矩阵形式的散点图,我们可以看到交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间基本上呈现线性关系,于是我们建立了多元线性回归方程,并得到变量间的相关系数及其检验表,最后通过F检验,得到模型的可靠性。

2.4 问题四的分析

对于问题四,要求我们在假设附件1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离时,估算从事故发生开始,经过多长时间,车辆排队长度将到达上游路口。我们可以把它转化为在原条件的前提下,车辆排队长度为140m。因为是预测问题,所以我们采用一次、二次指数平滑法对其进行预测,但由于问题三中,我们已经得到了车辆排队长度和事故持续时间的关系折线图,看出它们并非简单的直线关系,故在它们的基础上加入三次指数平滑法。用数据填补处理,把所给的时间序列变成等间距,将得到的数据带入三次指数平滑预测方程。最终得到大约再过11-12分钟,车辆排队长度到达上游路口。

三、模型的假设

1.假设附件中统计的数据真实可信;

2.假设每条道路通过的车流量以pcu/min计;

3.假设三车道宽的道路,两个车道因发生交通事故而堵塞时,车辆只能够在另一个车道中通行;

4.假设进入事故路段后,在未知事故发生前,车辆不再变更车道。

3

四、符号说明

符号

x?x

说明

离均差 变异系数 实际通行能力 上游路口车流量

C?V Q

F

St

?i?

?i?1,2,3? a

i次指数平滑值 加权系数 时刻

样本方差的平方根 车辆排队长度 回归方程中的未知数 回归系数 随机误差 显著性

t S y

x1,x2,x3

?0,?1,?2,?3

?

?

五、模型的建立与求解

5.1 聚类分析模型的建立与求解

对于问题一,研究的是视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。对于该问题,我们主要是通过视频,对车辆实际通行能力进行研究。

5.1.1 数据的获得与处理

从该视频来看,总共有26分钟,并且还包括了交通事故发生前和事故发生后车辆的流通情况。而问题一所需要研究的就是交通事故发生到撤离这一时间段的车辆流通情况,因此我们截取了这个时间段:16:42:32-17:01:21,大约20分钟左右。

在计算车流量时,我们采用了标准车当量数,并按下表1所示的车辆折算系数进行统计,同时以一分钟为时间间隔,来计算每分钟只有车道一能通行情况下的车流量,见附录一。

表1 交通量观测分类及折算系数表

车辆分类 小型载货汽车 中型载货汽车 大型载货汽车

分类标准 载质量?2吨 2吨载质量?7吨 7吨载质量

折算系数 1 1.5 2

4

特大型载货汽车

小型载客车

大型载客车 载质量 额定座位?19座 额定座位?19座 3 1 1.5

在后来整理数据时,我们发现,由于视频中时间的跳跃性,导致有几个时间段并没有出现,如:16:56:05-16:57:53,16:58:18-16:59:07,16:59:31-16:59:43。为了数据的准确性,我们剔除了这些时段。又因为有些时段的数据不够完整,例如16:49:32-16:49:38中只有短短6秒出现在视频中,16:57:53-16:58:18也未满一分钟,因此我们也剔除了这些时段,最终得到以下13组数据:

表2 视频1所得各时段车流量(pcu/min)表

参数

时段

车流量

时段

车流量 数值 16:42:32- 16:43:32- 16:44:32- 16:45:32- 16:46:32- 16:47:32- 16:48:32- 16:43:32 16:44:32 16:45:32 16:46:32 16:47:32 16:48:32 16:49:32 29 26 19 23 20 27 22 16:50:04- 16:51:04- 16:52:04- 16:53:04- 16:54:04- 16:55:04- 16:51:04 16:52:04 16:53:04 16:54:04 16:55:04 16:56:04 26 24 22 20 23 26

5.1.2 视频1数据的残差分析

在视频1中,我们可以明显地观察到,每分钟的车流量都略微不同,而且每个时间段的车流量都跟当时的其它情况息息相关,特别是无论有没有大型载客车或是大型载货车时,都会影响横断面的车流量,而为了验证数据的准确性,我们利用MATLAB来对数据进行残差分析,程序见附录。

针对视频

1,我们得到残差分析图如下图1所示(程序见附录二):

图1 视频1数据残差分析图 图2 视频1车流量折线图

从这个残差图来看,13组数据皆可用,为了更客观形象地描述在这些时间段车流量的变化情况,我们接着用MATLAB画出相对的折线图,如图2(程序见附录三):

假设3中,我们规定,当车道二、三因发生交通事故而堵塞时,车辆只能够在车道一中通行。观察上图2可得,在发生交通事故期间内,车流量基本在24pcu/min附近上下波动,16:44:32-16:45:32时首次出现第一个低峰,车流量为19pcu/min,随后又回升到24pcu/min,接着在16:47:32-16:48:32时出现了一个高峰,车流量上升到27pcu/min,并在2分钟后再次达到下一个高峰期。最后,车

5

流量在经过下一个回落和增长后,车道二、三恢复通行。总体而言,车流量呈波动趋势,先降低,后回升,又降低,最后又回升,使车流量处于畅通的状态。

5.1.3 利用Hierarchical Cluster对各时段通行能力分类

在视频1中,交通事故发生在车道二和车道三,导致在这一横断面的车只能从车道一通过,并且对于未到事故地点的车辆,倘若在车道二和车道三行驶也将改为从车道一通过。而这一情况也将导致道路的堵塞和车辆的不流通,也让每个时段的车流量都略为不同,且视频1中的情况可以用下图3来表示:

图3 视频1平面图

而由表2中数据可知每个时间段的车流量都有不同,下面我们用SPSS中的 Hierarchical Cluster来对这些数据进行分层聚类分析[2],并得到的树状图如下:

图4 聚类分析树状图

同时也得到了分为2~4类时的聚类结果表,如下:

表3 聚类结果表

6

2: case 2 3: case 3 4: case4 5: case 5 6: case6 7: case 7

2 3 4 3 2 4

1 2 3 2 1 3

1 2 2 2 1 2

9: case9 10:case10 11:case11 12:case12 13:case13

4 4 3 4 2

3 3 2 3 1

2 2 2 2 1

从表3可以看出把这些数据分为四类时,应把时段1为一类,时段2,6,8和13并为一类,时段3,5和11并为另一类,剩下的则是时段4,7,9,10和12为一类。而通过借鉴美国道路服务水平等级划分标准[3],我们可以把视频1中事故所处横断面的实际通行能力划分为四个等级,即A,B,C,D。

其划分依据如表4所示:

表4 道路服务水平划分依据

B C D

流畅 稳定 不稳定 拥堵

交通量小于道路通行能力的60%。 交通量接近道路 通行能力的75% 交通量 接近道路通行能力的90%

交通量可能超过道路通行能 力,但已没有意义

而同时我们可得到各时段通行能力等级的划分表如下:

表5 各时段通行能力等级的划分表

等级划分对应的各时段车流量(pcu/min)

A:流畅 B:稳定 C:不稳定 D:拥堵

时段 车流量 时段 车流量 时段 车流量 时段 车流量

时段1 29 时段2 26 时段4 23 时段3 19

时段6 27 时段7 22 时段5 20 时段8 26 时段9 24 时段11 20

时段13 26 时段10 22

时段12 23

最终,我们可以得到,从交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化趋势是呈波动趋势,先慢慢拥堵,后变得畅通,又由于车辆的增多导致拥堵的现象产生,最后又回升,使车流量处于畅通的状态。

5.2 变异系数模型的建立与求解

在本问题中,虽然发生交通事故的车道不同,但从数据处理角度考虑,与问题一相似。所以,我们采用与问题一相同的数据处理方式(原始数据见附录四)。

5.2.1 视频2数据的残差分析

从视频2中可以看出,事故发生的时间段为17:34:17-18:03:30,期间该视频中没有丢失的时间段,故当我们以一分钟为时间间隔时,可得到29组相应的车流量的数据,我们仍利用MATLAB来对数据进行残差分析(程序见附录五)。

针对视频2,我们得的残差分析图如下所示:

7

图5 视频2数据残差分析图 图6 视频2车流量折线图

从图5来看,29组数据中,第9组和第11组数据不符合我们的要求,故应舍去。至此,我们得到新的27组数据,如下表所示:

表6 视频2残差后所得各时段车流量(pcu/min)表

参数 时段 车流量 时段 车流量 时段 车流量 时段 车流量

17:34:17- 17:35:17 26 17:41:17- 17:42:17 23 17:50:17- 17:51:17 25 17:57:17- 17:58:17 24

17:35:17- 17:36:17 29 17:43:17- 17:44:17 21 17:51:17- 17:52:17 22 17:58:17- 17:59:17 22

17:36:17- 17:37:17 26 17:45:17- 17:46:17 23 17:52:17- 17:53:17 25 17:59:17- 18:00:17 26

数值 17:37:17- 17:38:17 27 17:46:17- 17:47:17 22 17:53:17- 17:54:17 23 18:00:17- 18:01:17 23

17:38:17- 17:39:17 30 17:47:17- 17:48:17 26 17:54:17- 17:55:17 24 18:01:17- 18:02:17 24

17:39:17- 17:40:17- 17:40:17 17:41:17 27 27 17:48:17- 17:49:17- 17:49:17 17:50:17 21 26 17:55:17- 17:56:17- 17:56:17 17:57:17 25 28 18:02:17-

18:03:17 25

随后我们借助MATLAB绘出其相应的折线图,以便能够更直观的进行描述,

如图6(程序见附录六)。

从这个折线图上来看,如同视频1一样的规律,随着时间的变化,事故所处横截面的通行能力各不相同。

5.2.2 变异系数的引入与应用 由于用平均数作为样本的代表,其代表性的强弱受样本数据中各观测值变异程度的影响,所以仅用平均数对数据的特征作统计描述是不全面的,因此我们引入变异系数[4]。

为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度,我们首先考虑到以平均数为标准,求出各个观测值与平均数的离差,即离均差:x?x。

8

但在解决离均差有正、有负,离均差之和为零的情况时,我们则考虑采用将离均差平方的办法,先将各个离均差平方,再求出离均差的平方和,即?x?x,

由于离均差平方和常随样本大小而改变,为了消除样本大小的影响,故用平方和除以样本大小,即?x?x/n,求出离均差平方和的平均数。为使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量,统计学证明,在求离均差平方和的平均数时,分母不用样本含量n,而用自由度n?1。于是,我们采用统计量?x?x/n?1表示数据的变异程度。 把统计量?x?x/n?1记为S2,即:

S??x?x/n?1 2??2??2??2??2??2

又由于样本方差带有原观测单位的平方单位,仅表示一组数据中各观测值的变异程度而不作其它分析时,故常需要与平均数配合使用,这时应将平方单位还原,即应求出样本方差的平方根,记为S,即 S??x?x/n?1 2

随后,我们引入变异系数的概念。变异系数是衡量数据中各观测值变异程度的另一个统计量。标准差与平均数的比值称为变异系数,记为C?V。变异系数可以消除单位和(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。计算公式为:

C?V?S?100% x

至此,我们可以结合视频1、2的数据,得到其相应的平均值,标准差和变异系数。

表7 视频1、2数据相应的值

平均值 标准差 变异系数

视频1 23.62 3.04 12.88%

视频2 24.81 2.35 9.49%

视频1和视频2中,两个交通事故发生的地点是同一横断面,但视频1中交通事故所占的车道为车道二和车道三,而视频2中交通事故所占的车道为车道一和车道二,从而会导致对该横断面实际通行能力的影响程度也不同。

而由视频1的变异系数大于视频2的变异系数,我们可以得到以下结果:交通事故所占车道二和车道三对该横断面的实际通行能力影响程度比较大,而占车道一和车道二的对该横断面的实际通行能力的影响程度相对较小。

5.3 线性回归模型的建立与求解

对于问题三,是在视频1的基础上,分析交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横截面实际通行能力、事故持续时间和路段上游车流量间的关系。

9

首先,我们通过对一些时刻的路段车辆排队长度和事故持续时间的关系进行讨论,然后再分析路段车辆排队长度与横断面实际通行能力、事故持续时间和路段上游车流量间的关系。

5.3.1 实际道路的模拟与仿真

从理论上分析,城市道路一旦发生交通事故,就会堵塞部分车道,只留下一个车道让车辆通过,此时的车辆速度降低甚至是停车。而当这条道路上的信号指示灯为绿灯时,将会有一大波的车辆向事故横截面逼近,若此时的实际通行能力 小于车流量的话,就会产生拥堵的状态,而十字路口信号指示灯的情况如下:

图7 上游路口交通组织方案 图8上游路口信号配时方案

如上图所示,当上游路口信号灯处于第一相位时,路段上游车流量主要来自右侧路口的直行车辆以及上方路口的右转车辆;当上游路口信号灯处于第二相位时,路段上游车流量主要来自上方路口的右转车辆。

图9 交通事故路段车辆流通情况图

如上图所示,我们可以建立横断面处实际通行能力与路段上游车流量之间的关系式:(1)当横断面处实际通行能力(Q)大于路段上游车流量(F)时,则该路段处于流畅状态;(2)当横断面处Q近似等于路段F时,该路段处于稳定状态;

(3)当横断面处Q小于路段F时,该路段处于堵塞状态。

而在对视频1的数据处理时,发现路段车辆排队长度在每一分钟,甚至是几秒内都是变化的。那么我们所能得到的是在车辆拥堵时,这个时刻的车辆排队长度以及相对应的事故发生的时间。

随后我们得到的数据如下:

10

表8 事故持续时间与车辆排队长度对应表

事故持续时间/min 车辆排队长度/m 事故持续时间/min 0.23 120 9.63 3.38 68 9.98 4.23 5.33 6.22 7.58 8.15 8.40 80 80 90 45 120 80 10.22 11.25 11.98 13.28 15.37 17.20 9.18

120

地反映这个规律,我们利用MATLAB给出了相对应的折线图(程序见附录七)。如下:

图10 事故持续时间与车辆排队长度关系图

如上图所示,随着事故持续时间的增长,车辆排队长度从120m降至80m,并在其附近上下波动,随后又增至100m,并在其附近上下波动,而后又增加到140m,并在其附近上下波动。由附近5所给的上游路口信号配时方案可知,当上游路口处于第一相位时,事故发生所处路段的车流量显著增加。由于事故发生所处横断面实际通行能力有限,故造成拥挤现象,导致车辆排队长度增加。当上游路口信号处于第二相位时,交通路段所处车流量减少,事故所处横断面实际通行能力大于路段上游车流量,车辆排队长度增加。

5.3.2 多元线性回归模型的建立与F检验

对于这个交通事故来说,除了事故持续时间会影响路段车辆的排列长度外,截断面实际通行能力和路段上游车流量也会产生一些影响,我们获得的数据如下:

表9 L与T、F和横断面Q的对应关系表

车辆排队长度L /m

90 40 95 80 45 50 70 75

事故持续时间T

/min

1 2 3 4 5 6 7 8.53

11

路段上游车流量F

pcu/min

29 15 30 23 20 14 22 20

横断面实际通行能力Q pcu/min

14 30 15 20 28 25 18 20

85 115 110 105 120 9.53 10.53 11.53 12.53 13.53 24 32 30 28 30 16 13 10 12 11

从这张表来看,要研究车辆排列长度跟事故持续时间,路段上游车流量,横截面实际通行能力的关系,不妨令y为车辆排队长度,x1为事故持续时间,x2为路段上游车流量,x3为横断面实际通行能力。

我们用SPSS的能给出矩阵形式的散点图,如下图所示:

图11 SPSS矩阵式散点图

从这张图来看,我们可以看到y与x1,x2,x3基本上呈现线性关系,于

是我们建立了多元线性回归模型来研究它们的关系,即建立的多元线性回归[5]模型如下所示:

y??0??1x1??2x2??3x3??

上式右端的x1、x2和x3称为回归变量,?0??1x1??2x2??3x3是给定事故持续时间x1,路段上游车流量x2,横断面实际通行能力x3时,车辆排队长度为y,其中

?0,?1,?2,?3称为回归系数,影响y的其他因素作用都包含在随机误差?中。

接着得到了如下的变量间的相关系数及其检验表:

表10 变量间的相关系数及检验表

12

相关性 事故持续时间/min

路段上游车流量pcu/min

横断面实际通行能力pcu/min

车辆排队长度/m

.634 .928 -.963 . .010 .000 .000 13 13 13 13

1.000 .409 -.595 .010 . .083 .016 13 13 13 13

.409 1.000 -.902 .000 .083 . .000 13 13 13 13

-.595 -.902 1.000 .000 .016 .000 . 13 13 13 13

Sig.

事故持续时间/min

(单

路段上游车流量pcu/min

侧)

横断面实际通行能力

pcu/min

车辆排队长度/m N

事故持续时间/min 路段上游车流量pcu/min 横断面实际通行能力

pcu/min

单从这张表看,y与x1,x2和x3的都具有一定的相关性,且对应的三个相关系数的p值分别为0.010,0.000和0.000均小于0.05,单侧检验通过,说明存在显著的相关关系。

同时我们也得到了模型汇总表和方差分析表来进行该回归模型的F检验,如下:

表11 模型汇总表

模型汇总b

模型 1

R

R 方

调整 R 方

.953

标准 估计的误差

5.731

更改统计量

R 方更改 .965

F 更改 82.522

df1 3

df2 9

Sig. F 更改

.000

.982a .965

a. 预测变量: (常量), 横断面实际通行能力pcu/min, 事故持续时间/min, 路段上游车流量pcu/min.

b. 因变量: 车辆排队长度/m

从模型汇总表来看,R值和R方值分别为0.982,0.965,都很接近1,并且Sig. F 的值为0.000<0.005,说明该模型拟合的效果比较好。

表12是对方程进行F检验的方差分析表,且F的值为82.522,对应的P值为0.000,取显著性水平??0.05,则P值小于0.05,通过了F检验,表明自变量和应变量之间线性关系显著,可设计为线性模型。最后我们得到了如下的回归

13

系数表:

表13 回归系数表

系数a

非标准化系数

模型

B

标准 误差

标准系数 试用版 .183

1.930 2.188

.086 .056 t

Sig.

B 的 95.0% 置

信区间 下限

上限

零阶 .634

相关性

共线性统计

部分 容差 .137

VIF

偏 .589

(常量) 59.723 30.947 事故持续时间 路段上1 游车流

量 横断面实际通行能力

-1.856

.721

1.968

.688

1.171

.535

-10.284 129.730 -.040

2.382

.559 1.789

.444 2.860 .019 .411 3.525 .928 .690 .179 .162 6.188

-.454 -2.573 .030 -3.487 -.224 -.963 -.651 -.161 .125 7.977

a. 因变量: 车辆排队长度/m

通过这张表,我们可以得到该线性回归方程为:

y?59.723?1.171x1?1.968x2?1.856x3

从这个方程可以看出,令车辆排队长度y跟事故持续时间x1和路段上游车流量x2成正相关,而跟横断面实际通行能力x3成负相关。联系实际讨论,车辆排队长度之所以会变大,是因为车辆产生了拥挤现象,且这种现象是由于路段上有车辆不断的进来,而此时横断面的实际通行能力小,才导致了这种情况。总的来说,该模型较符合实际情况。

5.4 指数平滑预测模型的建立与求解 本题中,研究的是车辆排队长度何时到达上游的问题,是问题三中的一个案例,我们需要的是对其进行估算。

5.4.1 指数平滑法SE的引入

对于用指数平滑法估算在事故发生距离上游路口140m,上游路口流量为1500pcu/h时,经过多长时间,车辆排队长度达到上游路口的模型建立如下:

我们在分析时间序列时发现,历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的。所以,对各时刻观察值依时间顺序进行加权平均作为预测值,即指数平滑法。为了适应各种不同情况,我们使用三种平滑指数法建立时间序列[6]模型。

1.一次指数平滑法:

当时间序列没有明显的趋势变动时,使用t时刻的一次指数平滑就能直接观测?t?1?时刻的值F?t?1?,而一次指数平滑公式为:

14

St?1??aFt??1?a?S?t?1? ?1?

a为加权系数?0?a?1?。

其公式实质如下:

St?1??a??1?a?F?t?j???1?a?St t

j?0

tt?1j?1?由于?0?a?1?,当t??时,?1?a??0,于是上述公式变为:

St

?j?1??a??1?a?F?t?j?St j?0?j?1?

其中:a??1?a??1,最终预测模型即为:

j?0

F?t?1??St?1??aFt??1?a?Ft

即:以t时刻的车辆排队长度一次指数平滑值来预测?t?1?时刻的车辆排队长度。

2. 二次指数平滑法

当时间序列的变动出现直线趋势时,用一次指数平滑法来预测仍存在明显的滞后偏差,因此需要进行修正。修正方法是在一次指数平滑的基础上再做平滑。利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和趋势,然后建立直线趋势的预测模型。

二次指数平滑St

?2?的计算公式为: St(2)?aSt?1??(1?a)S(t?1)(2) 其变动具有直线趋势,可用如下模型来预测:

其中:

?at?2St?1??St?2??a??1??2? bt?St?St?1?a?F?t?T??at?btT,T?1,2... ??

3. 三次指数平滑法

当时间序列的变动呈现出二次曲线的变动,则需要用三次指数平滑法,其计算公式为:

St?3??aSt?2???1?a?S?t?1? ?3? 三次指数平滑法的预测模型为:

15

其中:

F?t?T??at?btT?CtT2,T?1,2...

???1??2??3?

at?3St?3St?St?

a??1??2??3?

??????6?aS?25?4aS?4?3aS ?bt?ttt2

21?a??a2?1??2??3?

Ct?St?2St?St?2

21?a?

综上,我们可以得到车辆排队长度的时间序列模型:

??

??

?F?t?1??St?1??aFt??1?a?Ft???0??

F?t?T??at?btT???1??

2?F???2??a?bT?CT?t?T?ttt?

根据以上模型即可对车辆排队长度进行预测。

5.4.2 数据填补分析

指数平滑预测模型建立以后,我们需要对该模型进行求解,先是统计事故发生到事故解除期间,车辆排队长度的变化趋势,然后结合实际的趋势用该模型进行预测。

事故持续时间/min 数据未处理 0.23 3.38 4.23 5.33 6.22 7.58 8.15 8.40 9.18 9.63 9.98 10.22 11.25

长度/m 数据未处理 120 68 80 80 90 45 120 80 120 80 160 120 160

事故持续时间/min 数据已处理 0.23 1.12 2.00 2.88 3.15 4.00 5.10 5.98 7.35 7.92 8.95 9.73 10.77

16

长度/m 数据已处理 120 107 94 81 68 80 80 90 45 120 120 120 160

11.98 13.28 15.37 17.20 120 120 120 160 11.50 12.80 13.68 14.57 14.88 15.45 120 120 120 133 146 160

?1?

当欲用指数平滑法时才开始收集数据,则不存在F0,无从产生S1,自然无法根据指数平滑公式求出S1,指数平滑法定义S1为初始值,即S1将它带入下式。

S2S2

(2)

(1)

?1??1??1?

?F1?120,

?aF2?(1?a)S1

?1?

(1)

?0.6?107?0.4?120?112.2?m? ?0.6?112.2?0.4?120?115.32?m?

?aS2?(1?a)S1

(2)

我们以事故发生时为起点,可以得到起点后的第一个时刻,即再过0.23分钟,车辆排队长度估算为114m。

从图7的波动性可以看到,它不能简单地用一次指数平滑法,同时它也并非直线趋势,有时候呈现二次函数状态,因此,我们在一、二次指数平滑的基础上引入三次指数平滑法来减小误差。

S2

?3?

?aS2

?2?

??1?a?S1

?3?

?0.6?115.32?0.4?120?117.192?m?

然后我们用指数平滑法预测模型:

?F?t?1??St?1??aFt??1?a?Ft???0??

F?t?T??at?btT???1??

2?F???2??a?bT?CT?t?T?ttt?

最终可以求出S3

S13

?3?

?3?

,S4

?3?

,S5

?3?

等等,S11

?3?

?111.76,S12

?3?

?116.7,

?142.68。由于我们的数据处理,使得时间序列几乎等间距0.88分钟,所

以可以得到,大致再过11—12分钟之间,车辆排队长度到达上游路口。

六、模型灵敏度分析

6.1 问题一的灵敏度分析 在前面几个模型中,事故所发生的时间在四五点钟,若时间在下班的高峰期时, 路段上游车流量F会发生呈现增长的趋势,下面从F增加20%,30%和50%来考虑横断面实际通行能力的变化。

6.1.1 横断面实际通行能力变化后的值

在模型三中,我们得到的13组相对应的L,T,F和Q值如下:

17

车辆排队长度L

/m

90 40 95 80 45 50 70 75 85 115 110 105 120

事故持续时间T

/min

1 2 3 4 5 6 7 8.53 9.53 10.53 11.53 12.53 13.53

路段上游车流量F

pcu/min

29 15 30 23 20 14 22 20 24 32 30 28 30

横断面实际通行能力Q pcu/min

14 30 15 20 28 25 18 20 16 13 10 12 11

现在让F值分别增长20%,30%和50%后,所得到的的结果如下:

表15 F值增长变化表

原路段上游车流量F pcu/min

29 15 30 23 20 14 22 20 24 32 30 28 30

F增长10%后的值 pcu/min

31.9 16.5 33 25.3 22 15.4 24.2 22 26.4 35.2 33 30.8 33

F增长20%后的值 pcu/min

34.8 18 36 27.6 24 16.8 26.4 24 28.8 38.4 36 33.6 36

F增长30%后的值 pcu/min

37.7 19.5 39 29.9 26 18.2 28.6 26 31.2 41.6 39 36.4 39

F增长50%后的值 pcu/min

43.5 22.5 45 34.5 30 21 33 30 36 48 45 42 45

6.1.2 横断面横断面实际通行能力的变异系数

为了得到随着路段上游车流量的变化,的变化情况,我们的计算步骤如下图所示:

20%,30%,50%

得到了变化后的路段上游车流量值后,再结合问题三中所得的多元线性回归方程:

18

y?59.723?1.171x1?1.968x2?1.856x3

我们就可以得到相应的横断面实际通行能力变化值如下:

表16 F值变化后对应Q值的改变量

原路段上游车流量 29 15 30 23 20 14 22 20 24 32 30 28 30

F增长10%后的

Q值

18.14 29.38 17.88 18.43 34.41 25.35 24.54 20.48 20.39 14.18 15.18 16.17 11.05

F增长20%后的

Q值

21.22 30.97 21.06 20.86 36.54 26.84 26.87 22.60 22.93 17.58 18.36 19.14 14.23

F增长30%后的

Q值

24.29 32.57 24.24 23.30 38.66 28.32 29.21 24.72 25.48 20.97 21.54 22.11 17.41

F增长50%后的

Q值

30.44 35.75 30.60 28.18 42.90 31.29 33.87 28.96 30.57 27.76 27.90 28.05 23.78

再通过对各组Q值得计算,可得到各组的变异系数,如下: Q值 C.V值

初始值 F增长10%后 F增长20%后 F增长30%后 F增长50%后 32%

13%

10%

8%

6%

从这张表来看,随着F的变化,Q值也相对应地变化,且数据的变异系数都有发生变化。最重要的是,随着原路段上游车流量的增加,横断面实际通行能力所对应的变异系数都是减少的趋势。联系实际考虑,当路段上游车流量的增加,会导致路面拥堵情况的加剧,从而使得横断面实际通行能力的稳定,变异系数的减少。

参考文献

[1]姜启源,谢金星,等.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2012.

[2]杜志敏,郭宜斌.抽样调查与SPSS应用[M].北京:电子工业出版社,2010. [3]任福田,等.道路通行能力手册——美国交通研究委员会[M].北京:建筑工业出版社.1985.

[4]王文森.变异系数——一个衡量离散程度简单而有用的统计指标[J].中国统计.2007(06).

[5]韩中庚.数学建模及其应用[M].北京:高等教育出版社,2005. [6]何书元.应用时间序列分析[M].北京:北京大学出版社,2003.

19

附录一

视频1源数据:

16:42:32- 16:43:32 16:43:32- 16:44:32 16:44:32- 16:45:33 16:45:32- 16:46:33 16:46:32- 16:47:33 16:47:32- 16:48:32 16:48:32- 16:49:32 16:50:04- 16:51:04 16:51:04- 16:52:04 16:52:04- 16:53:04 16:53:04- 16:54:04 16:54:04- 16:55:04 16:55:04- 16:56:04

事故发生横断面实际通

大型载客车 小型载客车(辆) 中型载客车(辆)(辆)

行能力(pcu/min)

18 20 19 20 20 22 22 18 22 16 15 18 24

1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1

3 2 0 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0

29 26 19 23 20 25 22 23 24 22 20 23 26

附录二

视频1残差分析程序:

Clear; clc;

Y=[29 26 19 23 20 27 22 26 24 22 20 23 26]'

20

x1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13]'; X=[ones(13,1),x1];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b,bint,stats rcoplot(r,rint)

附录三

视频1中折线图程序:

clc clear X=1:13;

Y=[29 26 19 23 20 27 22 26 plot(X,Y,'*-')

24 22 20 23 26];

附录四

视频2源数据:

17:34:17- 17:35:17 17:35:17- 17:36:17 17:36:17- 17:37:17 17:37:17- 17:38:17 17:38:17- 17:39:17 17:39:17- 17:40:17 17:40:17- 17:41:17 17:41:17- 17:42:17

小型载客车(辆)

18 23 23 19 27 18 21 20 25

中型载客车大型载客车事故发生横断面实际通行(辆) (辆) 能力(pcu/min)

1 0 0 1 0 0 0 0 0

2 2 1 2 1 3 2 1 2

26 29 26 27 30 27 27 23 31

17:42:17-

17:43:17(舍)

21

17:43:17- 17:44:17 17:44:17- 17:45:17(舍) 17:45:17- 17:46:17 17:46:17- 17:47:17 17:47:17- 17:48:17 17:48:17- 17:49:17 17:49:17- 17:50:17 17:50:17- 17:51:17 17:51:17- 17:52:17 17:52:17- 17:53:17 17:53:17- 17:54:17 17:54:17- 17:55:17 17:55:17- 17:56:17 17:56:17- 17:57:17 17:57:17- 17:58:17 17:58:17- 17:59:17 17:59:17- 18:00:17 18:00:17- 18:01:17 18:01:17- 18:02:17 18:02:17- 18:03:17

16 16 20 19 26 15 14 22 15 23 18 21 17 25 18 13 18 10 18 17

1 0 0 0 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0 0 1 2 0 1 0

1 1 0 2 4 1 1 0 1 1 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2

21 19 23 22 26 21 26 25 22 25 23 24 25 28 24 22 26 23 24 25

22

附录五

视频2残差程序:

Clear;

clc;

Y=[26 29 26 27 30 27 27 23 31 21 19 23 22 26 21 26 25 22 25 23 24 25 28 24 22 26 23 24 25]'

x1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29]';

X=[ones(29,1),x1];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)

b,bint,stats

rcoplot(r,rint)

附录六

视频2中折线图程序:

clc

clear

X=1:27;

Y=[26 29 26 27 30 27 27 23 21 23 22 26 21 26 25 22 25 23 24 25 28 24 22 26 23 24 25];

plot(X,Y,'*-')

附录七

事故发生到解除车辆排队长度:

clear;

clc;

x=[0.23 3.38 4.23 5.33 6.22 7.58 8.15 8.40 9.18 9.63 9.98 10.22 11.25 11.98 13.28 15.37 17.20 ];

y=[120 68 80 80 90 45 120 80 120 80 160 120 160 120 120 120 160]; plot(x,y,'*-')

23

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