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第七届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(B)卷及答案

发布时间:2014-01-20 09:55:48  

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛

高二年级初赛(B)卷试题

一、选择题(每小题6分,共24分)

1.宏志班的生活委员给班里的同学(男女人数不等)发放澡票,他发现发给每位男生的票数恰好等于班里女生的人数,而发给每位女生的票数恰好等于班里男生的人数.倘若生活委员将发给男女同学的票数发反了,则澡票的分配结果是( )

A.刚好分完

B.不够分

C.分后有剩余

D.上述三种情况均有可能

2.A postman delivers mail round a housing estate.He does not want to visit the same street more than once,but can pass over the same street corners.On which housing estate is this possible?( )

3.某厂生产的油壶在其商标上标注:该批次油壶的合格率为99.9%,王彩买了该批次的两个油壶,结果发现都漏油,对于这件事你认为( )

A.因为油壶并非全部合格,这件事完全正常

B.王彩完全有理由认为厂家说法不真实

C.厂家说法是否有假与这批油壶的数量有关,如果数量很多,则不合格品也多,买到两个不合格品是正常的

D.合格率与某一件油壶是否合格无必然关系,故无法判断

4.在股票交易过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y?f(x),另一种是平均价格曲线y?g(x),如f(2)?3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元,g(2)?3表示2小时内的平均价格为3元,下面给出了四个图象,实线表示y?f(x),虚线表示y?g(x),其中可能正确的是( )

二、填空题(每小题6分,共36分)

5.标准田径场是由两条直段跑道(共长171.92米)和两个半圆形弯道(内侧共长228.08米)所组成,每条跑道宽约一米.由于在弯道上比赛,愈外圈的跑道(一般设有九条)愈长.

此想看运动员向同一终点线冲线的精彩、激动的场面,不同的跑道常需

要采用不同的起跑线.请计算,赛程为400米时,第一条跑道与第六条

跑道的起跑线的差距为 米.

6.如图1所示,半径为R的圆A和半径为r的圆B内切于点C组成一

个月牙儿,在这月牙儿里,画一组圆,使它们与圆A和圆B都相切,

并且它们自己每两个相邻的圆也相切,可组成一个装饰图案.月牙儿里

面的这些圆的圆心P的轨迹是 .

7.滚珠轴承的内、外圆的半径分别为R和R?d,如图2,则这个滚珠

轴承里最多可放 粒滚珠.

8.一位给《数学专页》写稿的数学老师以他刚投出的稿件为背景,给学

生出了这样一道题“我的稿件不少于6页,但也不超过100页,且稿件由

两部分组成,并按顺序都打上页码.很凑巧:第一部分与第二部分页码

的和恰好相等.那么我的稿件共有 页.”

9.如图3,地平面上有两个相距1km的美丽山峰A,B,它们在直线形公路l

的同一侧,到公路的距离分别为km

.现2

需要在l上选择一个拍摄点P,拍摄一张含有两个山峰的照片,则

点P最理想的位置应选在 .

10.小王是某高校图书管理员,在登记图书时,发现一本书的国际

标准书号(ISBN)的某一位被污损,如下:

ISBN 7?03?01463●?

2 请你利用数学知识帮他算一算这个污损的数字是 .

(注:国际标准书号由十位数字组成,被三条短横线分为四段,每一段都有不同的含义.第一个号码段是地区号,大体上兼顾文种、国别和地区,把全世界自愿申请参加国际标准书号体系的国家和地区,划分成若干地区,各有固定的编码,如,0,1代表英语,使用这两个代码的国家有澳大利亚、加拿大、英国、美国等等,7是中国出版使用的代码;第二段号码是出版社代码,由其隶属的国家或地区ISBN中心分配;第三段是书序号,由出版社自己给出;第四段固定一位,即第十位,是电子计算机的校验码,起止号为0?10,10由X代替.标准书号的核对方法是加权法,即用10到2这9个数分别去乘标准书号的前9位数,其乘积之和加上校验码再除以常数11,若能整除,说明书号正确,若不能整除,说明书号错误)

三、解答题(每小题20分,共60分)

11.2007年第六届环青海湖公路自行车赛于2007年7月14日至7月22日在青海湖区举行.本次比赛共有国内外21支车队的147名队员参加.比赛的前四个赛段为:第一赛段(西宁~青海湖宾馆)、第二赛段(青海湖宾馆~鸟岛)、第三赛段(鸟岛~西海镇,途经刚察)、第四赛段(西海镇~贵德).其中,青海湖宾馆、鸟岛、刚察、西海镇(不妨记它们为A1,A2,A3,A4)这四个地方恰好绕青海湖一周,且按照顺时针环形排列.比赛组织者原来在四地依次准备了15,8,5,12辆备用自行车(注:自行车比赛要求各车队自备比赛用车,备用车辆由组委会保障车随比赛统一运送,组委会还要在各个赛段上准备一定数量的备用车,以防止意外情况的发生),为使上面四个地点的备用自行车数量相同,允许其他地点向相邻地点调出备用自行车,问怎样调配才能使调出的备用自行车总辆数最少?并求调出备用自行车的最少辆数.

12.在制造万吨级远洋货轮时,工人师傅经常需要在钢板上画出半径长达几百米的大圆弧.通常画一般圆弧时,只需用一根没有伸缩性的绳子,固定其一端,再拉紧绳子移动其另一端,即可画出圆弧.但是要画出半径长达几百米的大圆弧就不宜采用上述方法,因为这样画起来极不方便,在实际操作中工人师傅常采用描点法画图,为了计算方便,设所需画出大圆弧

x2

的半径为R,则用抛物线y?上的曲线弧近似地代替大圆弧,试证明这种画图方法的合2R

理性.

13.某高校数学系2007级某班有m(0?m≤60)名男生,学校宿管科安排了学生公寓楼的n个房间供他们住宿.安排方案是:在A1房间安排1名同学和余下同学数的

同学中,安排2名同学和余下同学数的

k名同学和余下同学数的1;在余下的71住在A2房间;依此类推,在余下的同学中,安排71住在Ak房间;这样,正好在最后的An房间安排完An?1房间余下7

的n名同学.试确定m,n及各房间所住人数.(注:可用算法解答)

四、开放题(本题30分)

14.一加工企业切割车间用的原料是一种矩形PVC板材,长为53cm,宽为32cm,要将其加工成两类标件(加工时不能同在一块板材上切割两类图形):

第一类:长为7cm,宽为5cm的小矩形板;

第二类:半径为4cm的圆板.

为响应政府提出的建设节约型社会、创建节约型企业的号召,请你帮助该车间设计切割方案,使得原材料的利用率最高.

(答题要求:①把所想到的各种切法都写出来,要画出示意图,并说明思路;②找出最好的下料方案,并简要归纳自己的探索过程)

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛

高二年级初赛(B)卷试参考答案

一、1.B 2.D 3.B 4.C

提示:1.若设女同学有a名,男同学有b名,则票数为ab+ab=2ab个,当生活委员发反时需要的票数为a2+b2,由不等式的性质可知a2+b2>2ab.因为a≠b,所以选(B). 二、5. 31.4

6.一个椭圆,其焦点是A,B,长轴等于R?r(但不包括切点C).

7.π

darcsin2R?d的整数部分

8.20

9.以连线AB为基准,在点A正上方的公路l上,且|PA|?1km

10.5

提示:5.第一条跑道的两个半圆形弯道长l1?2πr1,第二条跑道的两个半圆形弯道长l2?2πr2?2π(r1?1),?,l6?2π(r1?5)?10π?2πr1,

故第一条跑道与第六条跑道的起跑线的差距为31.4米.

7.轴承的滚珠和内、外圆均相切,所以可将问题抽象为研究

三角形OAB,如图1,其中圆A、圆B为两个滚珠,OA=OB

=R+dd,滚珠半径为,每两个滚珠与圆心O都可以组成这22

样的等腰三角形OAB,放多少个滚珠只要通过计算顶角AOB

即可求得.设∠AOB=??,则si?2dR?d

2?dd,??2arcsin,2R?d2R?d

??π

darcsin2R?d.但滚珠数应为整数,所以滚珠数目是πdarcsin2R?d的整数部分.

8.n表示全部稿件的最后一页页码,p表示稿件第一部分的最后一页页码.全部稿件页码的和为:1?2?3???n?1n(n?1). 2

1p(p?1). 2第一部分页码的和为:1?2?3???p?

因为第一部分页码的和等于第二部分页码的和,上式也等于第二部分页码的和,即第二部分?1122页码的和为p(p?

1).于是,2p?2p?n?n?0,p?. 22

因为p和n均为整数,所以2n?2n?1?n?(n?1)是一个完全平方数,由题目知,n大于6而小于100,故仅有20?21?29,即n必等于20.这时p=14.因此,这位老师的稿件有20页,第一部分有14页,第二部分有6页.

9.P点最理想的位置就是当点P对A,B的视角(也称为张角)为最大,由平面几何的有关结论知,应以AB为弦作圆与直线l相切,切点即为所求点P.

如图2所示,以山峰A为原点,连结A,B的直线为x

轴建立直角坐标系,则点A,B的坐标分别为(0,0),

(1,0).

设直线l的方程为y?kx?b(k>0,b>0),即 222222

kx?y?b?0,则由点到直线的距离公式,得

??2.解得k?b?1,所以直线l的方程为y?x?1. ??2?a2?b?2r,??2222(?)a2?b?2r,设以AB为弦且与l相切的圆的方程为(x?a)?(y?b)?r(r?0)??,

则?1

??r,解得a?b?117,

r?或a?,b??,r?. 22222

22221??1?1?1??7?25?所以所求圆的方程为?x????y???或?x????y???. 222222????????

1)P2(?2,?1). 于是,容易求得这两个圆与直线l的切点分别为P1(0,,

??AP2B,所以点P应选择在(0,1)处. 由图可以看到,显然?APB1

故以连线AB为基准,应将拍摄点P设置在山峰A正上方的公路l上,且|PA|?1km. 三、11.解:设A1调给A2点t1台备用车(若t1是负数,则表示A2调给A1点|t1|台,下同),A2调给A3点t2台,A3调给A4点t3台,A4调给A1点t4台,共有40台车,平均每地10台,?15?t1?t4?10,?t2?t1?2,?8?t?t?10,??21则?整理为?t3?t1?7, 5?t?t?10,32?t?t?5,??41?12?t?t?10,43?

问题转化为求f4(t)?|t1|?|t2|?|t3|?|t4|的最小值,即f4(t1)?|t1|?|t1?2|?|t1?7| ?|t1?5|的最小值.

从绝对值的几何意义知,数轴上的点t1到0,2,5,7四个点的距离之和为最小时,必须使2≤t1≤5(t1为正整数),此时f4(t1)min?10,可见调运方案有四种,分别令t1?2,t1?3,t1?4,t1?5可以得到各种调运方案.

方案一:t1?2时,从A1调给A2点2台,调给A4点3台,再从A4调给A3点5台; 方案二:t1?3时,从A1调给A2点3台,调给A4点2台,再从A4调给A3点4台,A2调给

A3点1台;

方案三:t1?4时,从A1调给A2点4台,调给A4点1台,再从A4调给A3点3台,A2调给A3点2台;

方案四:t1?5时,从A1调给A2点5台,再从A4调给A3点2台,A2调给A3点3台.

12.解:设所需画出的大圆弧为AB弧,其半径为R,以经过AB弧的中点O的切线为x轴,连结AB弧所在圆的圆心C与中点O的直线为y轴建立如图3所示的直角坐标系,则圆C的方程为x?(y?R)?R. ①

因为此时AB弧在下半个圆周上,所以由①知,

AB

弧上的点的坐标应满足方程y?R222

由于直接从②求AB弧上若干个点的坐标显然比较麻烦,

所以将②右端变形,得

?y?R?1??R??????R?1?R?1?????

?

??R?1. ③ ??根据题意可知,半径R要比x的绝对值大得多,所以|x|x?1,即的绝对值很小,因而③RR

4???x2??x21?x?中的??应该更小,故从③可进一步得到y≈R?1?R?1??1?2???. ?4?R?

2R2R?????

x2

2显然,方程y?,即x?2Ry所表示的曲线就是一条抛物线,因而可以用它来近似地2R

代替大圆弧.

13.解法一:设安排完第k号房间Ak后还剩余ak名同学,k=0,1,2,?,n.k?0对应a0表示未安排房间时的人数m.则a0?m,an?1?n,且Ak房间安排k?

以ak?1?ak?k?ak?1?k名同学.所7ak?1?k6,即ak?(ak?1?k).① 77

从最后的An房间考虑,这n名同学是An?1安排后剩余的人数,故an?1?n;另一方面

66an?1?[an?2?(n?1)],可得n?[an?2?(n?1)],所以n是6的倍数. 77

a6?0,a5?6,a4?12,a3?18,a2?24,a1?30,a0?m?36.

结合①分类讨论:当n?6时,从

而A1,A2,?,A6房间各安排6名同学. 7a10?10不是整数;同理6

都不符合题意.所n?18,n?24,n?30,n?36,n?42,n?48,n?54,n?60时,

以,m?36,n?6,各房间均安排6名同学住宿. 当n?12,a12?0,a11?12,a10?25,a9?

解法二:设安排完第k号房间Ak后还剩余ak名同学,则a0?m,an?1?n,且Ak房间安排

ak?1?k名同学.从An房间考虑,这n名同学是An?1安排后剩余的人数,故an?1?n;7

6另一方面n?[an?2?(n?1)],所以n是6的倍数. 7k?

设计算法如下:

输出结果为n?6,m?36.易知各房间均安排了6名同学住宿. 四、14.解:(1)①把所有的小矩形按照同一方向排列,如图4把5厘米的一边放在大矩形的长边上,7厘米的一边放在大矩形的短边上,则在长边上可排列10个,在短边上可排列4个,总共排列了10×4=40个,还留下一条宽为3厘米和另一条宽为4厘米的残料. ②如果我们把小矩形都换一个方向排列,如图5,那么,长边上可排列7个小矩形,短边上可排6个,总共可排7×6=42个小矩形,还留下一条宽为4厘米和另一条宽为2厘米的两条残料.

③因为53=5×5+7×4,如果沿原材料的53厘米的一边上竖向放5列,横向放4列,那么,原材料的短边上就没有残料留下来了,如图6,这样,总共可以切出44个小矩形.

④因为32=5×5+7×1,因此,可以沿原材料的短边上横向放5行,竖向放1行,于是,原材料的长边上就没有残料留下来,如图7,这样,总共可安排45个小矩形.

⑤可以把上面两种安排方法巧妙地结合起来,得到图8、图9的安排方法,使小矩形分别增

加到46个和47个.这样,图9的安排方法最好,它比第一种方法多安排了7个小矩形,即增加了17.5%.

(2)①在同样大小的矩形上切下半径为4厘米的圆形,如果把这些圆形整齐地一个一个排下去,一共可排4行,6列,总共可以切取24个圆形,如图10.

②我们很容易发现,图10这种排列法使得中间留下的空隙太大,我们改用一种交错的排列法,使列与列之间挨得更紧,如图11,就可以由原来的6列增加到7列,但其中有3列比原来减少了1个.总的来说,可以排25个,比原来增加了1个.

③按照图11的排法,一方面有三列各少排了1个,另一方面右边还有一条空位置,因此,可以把最后一列向右拉,而在前一列里再挤一个进去,如图12就可以排26个.

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