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第七届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛试题(B)卷及答案

发布时间:2014-01-20 11:49:14  

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛

高一年级初赛(B卷)试题

一、选择题(每小题6分,共24分)

1.“孤立”一词在《现代汉语词典》中解释为:同其他事物不相联系.你听说过“孤立元素”吗?如对于整数集A,当x?A时,若有x?1?A,且x?1?A,则称x为A的一个“孤立元素”.已知集合S??01,,2,3,4?,A是S的一个子集,那么所含元素全是“孤立元素”的S的子集A有( )

A.0个 B.5个 C.12个 D.25个

2.在一次科普讲座中,如果到会的只有有限个人,若每人进入会场时交给主讲人1元钱,讲座结束后,每人离开会场时拿走1元钱,结果主讲人一分钱也没有得到;如果到会的有无限个人,仍然是每人进入会场时交给主讲人1元钱,主讲人从收到的钱中拿出1万元,讲座结束后,每人离开会场时拿走1元钱,这样可以无限进行下去,最终主讲人赚到了1万元.上述情景我们可以用集合语言表述一下:设集合A是这无限个人的集合,用{1,2,3,?}表示,集合B是从这无限个1元钱中,拿出1万个1元钱后,剩余1元钱的集合,用{10001,10002,10003,?}表示,则( )

A.集合A的元素个数比集合B的多

B.集合A与B的元素个数无法比较

C.集合A与B的元素个数相等,因为可以建立一种对应:

D.集合A的元素个数比集合B的多10000个

3.美是一种感觉,本应没有什么客观的标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考,在数学上,这个比例称为黄金分割.在人体躯干(由脚底至肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,也就是说,若此比值越接近0.618,就越给别人一种美的感觉.如果某女士身高为1.60m,躯干与身高的比为0.60,为了追求美,她想利用高跟鞋达到这一效果,那么她选的高跟鞋的高度约为( ) A.2.5cm B.5.1cm C.7.5cm D.8.2cm

4.煤气公司要在A,B,C,D,E五个村庄间铺设连通各村的煤气管道,如果它们两两之间铺设的管道长度如表Ⅰ所示(单位:km),

表Ⅰ

则连结管道的最短总长度为( )

A.5km B.5.5km C.6km

二、填空题(每小题6分,共36分)

5.表Ⅱ是某供应商提供给销售商的产品报价单,

表Ⅱ D.7.5km

某销售商有现金2900元,则最多可购买这种产品 件.

6.由于电子技术的飞速发展,手机的成本不断降低,若每隔两年手机的价格降低1,3则现在价格为8100元的某品牌的智能手机,六年后的价格降了 .

7.若固定一枚一元硬币于桌上,让另一枚同样的一元硬币沿着其边缘滚动一周,那么滚动的硬币自转了 周.

8.2007年世界旅游小姐大赛在河南举行,在某场比赛中,最后有六名选手(编号分为1,2,3,4,5,6)争夺一个特别奖.观众A,B,C,D猜测如下:

A说:获特别奖的不是1号就是2号;

B说:3号不可能获得特别奖;

C说:4号、5号、6号都不可能获特别奖;

D说:获特别奖的是4号、5号、6号中的一个.

比赛结果表明:四人中只有一人猜对,则猜对的观众是 ,获特别奖的 是 号选手.

9.某加工厂的一个车间有n台老化待修的机器,为了方便修理将其进行编号,编号分别为1,2,3,?,n,为了尽快开工,该车间从外面聘请了n名技术人员(编号分别为1,2,3,?,n)进行修理.我们定义:如果编号为i的技术人员修理了第j号机器,记为aij,此时规定aij?1,否则aij?0.若第8号机器由1名技术人员进行维修,则a18?a28?a38?a48???an8?,若a31?a32?a33?a34???a3n?2,说明 .

10.一款智力闯关的电脑游戏中的第一关叫“蛛丝马迹”,它给出图1所示的按一定规律排列的数阵,你认为“?”表示的数为,其中数字排列的规律为.

三、解答题(每小题20分,共60分)

11.“数学专页”在五月份岗位练兵活动之余组织了一次象棋比赛,其中,资源部的两名选手与编辑部的选手进行比赛,规则如下:

每个选手都同其他选手比赛一次,胜得1分,和得0.5分,负得0分.资源部的两名选手共得8分,编辑部的每个选手得分相同,问编辑部有几名选手参加比赛?他们每人得几分?

12.相传在古时候有个凶恶的怪兽叫夕,每到岁末便出来害人,后来,人们发现夕最怕红色和声响,于是年三十晚上,家家户户贴红春联,放鞭炮,来驱除夕兽,以求来年安宁,因此年三十晚上便称为除夕.这不,除夕夜,小张、小李、小王三家点燃了礼花炮,已知第一响和最后一响都是同时响的,在这个过程中,共听到37响,假设小张家的礼花炮每5秒响一下,小李家的礼花炮每4秒响一下,小王家的礼花炮每3秒响一下,问小张、小李、小王家的礼花炮各多少响?

13.CCTV——联想奥运火炬手选拔活动“你就是火炬手”东北赛区比赛于8月25、26日在沈阳举行,参赛选手全二平是内蒙古自治区巴彦淖尔市乌拉特前旗偏远山区小佘太镇的邮递员,负责分散在120平方公里范围内40个自然村80多个投递点12000多名农牧民的信件投递工作,每次投递都至少要走70多公里的沙石路.他所跑的投递路线,也被巴彦淖尔市邮政局定为“爱心邮路”.下面让我们用数据来体验一下他所走过的艰辛“爱心邮路”吧!

为简化计算,我们假设全二平需要投递围绕大山的10个自然村(分别用A1,A2,?,

,村落分布如图2所示,每次他从驻地AA10表示)1出发按照箭头方向顺次投递信件绕行一圈,最后经A10返回A1,请计算他一共可能的投递路线有多少条?

四、开放题(本题30分)

14.“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是《高中数学课程标准》的基本理念之一,数学探究、研究性学习等学习活动也正逐步融进我们的课堂.图3是一个非常优美的图形,它有一个不太被人注意的性质“五个点具有两种距离”:A,B,C,D,E五个点中,每两点之间的距离不是等于正五边形的边长,就是等于正五边形的对角线长,即这五个点之间只有两种长度的距离.依此性质,请你探究平面上四个点具有两种距离的情况,并写出探究过程.

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛

高一年级初赛(B)卷试参考答案

一、1.C 2.C 3.C 4.B

提示:1.含有1个元素的有5个,含有2个元素的有6个,含有3个元素的有1个,故选

(C).

2.由于集合A与B中元素可以按照对应规律:

建立一对一关系,所以两集合中的元素个数一样多,这是对“无穷大”这一概念的解读.

.60,l?1.60,3.设该女士的躯干长为xm,身高为lm,高跟鞋的高度为dm,由x:l?0

(x?d):(l?d)?0.618,得d?0.075m?7.5cm.

4.连结如下A

??C?D,最短总长度为5.5km.

E

二、5.107 6.5700元

9.1,编号为3的技术人员修理了两台机器 7.2 8.C,3

x y10.26,每四个数字满足x?y?z?m z m

提示:5.买300件以上最低为301?25?7525(元),买101件?300件最低为101?27?2727(元),而2727?2900?7525,只能每件按27元计算,得107件.

??1?3?6.8100??1??1????5700(元). 3??????

7.滚动硬币的圆心的移动距离为2π(2r)?4πr,故N?4πr?2. 2πr

8.由题意知,观众C,D的猜测互相矛盾,故四人中猜对的一人必在C,D中,且A,B两人的猜测均错,故3号歌手获得特别奖,观众C的猜测是对的.

9.根据新符号aij的定义:如果编号为i的技术人员修理了第j号机器,此时规定aij?1,

,2,3,?,n中,只存在一个i值否则aij?0.因为第8号机器有且仅有一人修理,所以在1

使ai8?1,其它均为0,故a1?a2?8a?3?a?88n48因为?1a.?a3?a3?2a?3?a?133n4,所以在?2a?a31,a32,a33,a34,?,a3n中有且仅有两个

值为1,其余为0,即说明编号为3的技术人员修理了两台机器.

10.观察探寻可发现数表中相邻四个数组成的四边形x y

z m满足x?y?z?m,计算得“?”

?26.

三、11.解:设编辑部的选手有n人,每人得k分,于是所有选手得分的总和为8?nk,另一方面,一共比赛了

为(n?2)(n?1)2场,每场选手得分的总和为1分,所有选手得分的总和2(n?2)(n?1)(n?2)(n?1),所以即n2?(2k?3)n?14?0,14?n(n?2k?3),?8?nk,22

因此14应被n整除,于是n?1,2,7或14.但n?1,2时,k?0,不可能;n?7时,k?4,n?14时,k?8均可实现.故编辑部参赛的选手有7人,每人得4分或有14人,每人得8分.

12.解:设在这个过程中,礼花炮持续响的时间为60x秒,小张、小李、小王家的礼花炮

60x?1?12x?1响,5

60x60x?1?15x?1响,小王家的礼花炮有?1?3x?1响,又小李家的礼花炮有420

60x?1?4x?1,cardA(?B为小张、)card(A?C)为小张、小李家礼花炮同响的次数且为15

60x?1?4x?1,card(B?C)为小李、小王家礼花炮共小王家礼花炮共同响的次数且为15

60x?1?5x?1,card(A?B?C)为小张、小李、小王三家礼花炮共同响同响的次数且为12

60x?1?x?1,结合容斥原理得37?(12x?1)?(15x?1)?(20x?1)?(3x?1) 的次数且为60响数分别用card(A),card(B),card(C)表示,则小张家的礼花炮有

?(4x?1)?(5x?1)?(x?1)?36x?1,解得x?1,故小张家的礼花炮有13响,小李家的礼花炮有16响,小王家的礼花炮有21响.

13.解:由于路线必须按照箭头方向,因此,我们要计算从A1到A10,再返回A1的路线条数,可以分步计算.

画出下面的路线示意图如下图所示,

下面解释一下箭头上方和村落旁边数字的含义:以A5为例,到A5可能是从A3过来的,也可能是从A4过来的,而到A3有2条路线(A1?A3或A1?A2?A3),到A4有3

条路线

(A1?A2?A4或A1?A3?A4或A,所以,到达A5共有5条路线. 1?A2?A3?A4)

21条路线,从A1到A9共有34条路线,所以,从A1到A10共有由上图分析知从A1到A8共有

21?34条路线,故从A10到A1共有55条路线可供选择,即他可能的投递路线共有55条. 四、14.参考答案:

如下图所示,平面上四个点具有两种距离(分别为a,b,且a?b)的情况共有五种.

探究过程(供参考):

1.平面上四点的情况

(1)其中存在三点共线(这种情况不存在两种距离,至少存在三种距离).

(2)任意三点不共线.

2.探究“三点不共线”时可能构成的图形

(1)三角形模型——三个顶点与三角形内一点.

易知有:①等边三角形及其中心,如图1所示;

②等腰三角形及其内一点,如图2所示.

(2)四边形模型——三角形三个顶点及其外部一点.

①正方形情况,如图3所示;

②等腰梯形情况,如图4所示;

③其他情况,如图5所示.

3.分析验证.(略)

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