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初中联赛数论题集

发布时间:2014-01-20 13:56:42  

16.(本题满分16分)

有7个人进行某项目的循环比赛,每两个人恰好比赛一场,且没有平局.如果其中有3个人X、Y、Z,比赛结果为X胜Y,Y胜Z,Z胜X,那么我们称X、Y、Z构成一个“圈”.求这7个人的比赛中,“圈”的数目的最大值.

一、(本题满分20分)

已知三个不同的实数a,b,c满足a?b?c?3,方程x?ax?1?0和x?bx?c?0有一个相同的实根,方程x2?x?a?0和x?cx?b?0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.

222

三、(本题满分20分) 某次数学竞赛共有15个题。下表是对于做对 n ( n = 0,

1,2,??,15 ) 个题的人数的一个统计。

N: 0 1 2 3 ?? 12 13 14 15, 做对n个题的人数:

7 8 10 21 ?? 15 6 3 1 。

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题,做对10

个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题。问这个表至少统计了多少

人?

1. 在12,22,32?,952 这95个数中,十位数字为奇数的数共有 ____ 个。

三、 试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之

和。

3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且:

1.已知互不相等的实数a,b,c满足a?

111?b??c??t,则t? bca

4.若正整数x,y满足方程x+y=1997,则x+y等于______.

已知a,b为整数,且a>b,方程3x2+3(a+b)x+4ab=0的两个根α,β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1),试求所有的整数点对(a,b).

三、(本题满分25分)

已知定理:“若三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.

22

1. 求所有正整数a,使得方程x2-ax+4a = 0 仅有整数根.

3. 试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.

4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数

为 。

3、(本题满分25分)试确定一切有理数r,使得关于x的

方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

三、(本题满分25分) 已知且小于0,求和为整数,方程的两根都大于-1的值。

22一. 已知方程x-6x-4n-32n=0的根都是整数,求整数n的值。

3、a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。

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