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小学三年级奥数__第三章第二节_洛书.幻方

发布时间:2014-01-21 10:48:01  

宫健快乐奥数园

故事引入:

宫健快乐奥数园

公元前三千多年,有条洛河经常发大水,皇帝 夏禹带领百姓去治理洛河,这时,从水中浮起一 只大乌龟,背上有奇特的图案。
龟背上的图案是

什么意思呢?

龟背上的图案代表了几个不同的数,人们称它为“书”。

探究一
4 3 9 5

宫健快乐奥数园

龟背上的这些数填到表格中,你能发现什么?

2
7 6

8

1

每一行,每一列,每一条对角线上的三个 数的和,有什么特点?

1、幻方的定义(三阶幻方)
8+5+2=15 4 3 8 9 5 1 2 7 6
2 7 +6 15

宫健快乐奥数园

4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15 4+5+6=15

4 9 3 5 +8 +1 15 15

每行、每列、对角线上的三个数的和都相等的方格,叫 “幻方”。 这个相等的和叫三阶幻方的幻和。

练习1 它们是幻方么?你怎样来判别?
20 2 8 6 4 15 8 3 4 15

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7
3 5

15
15

1
5 9

6
7 2

15
15 15

9
19

1

15

11 15 11 不是

15 15 15


每行每列斜着的三个数的和是否都相等,来判断是不是幻方。

2、幻方的分类
? 按照纵横各有数字的个数,可以分为: 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同,可以分为: 奇阶幻方 偶阶幻方
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三、四阶幻方

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五阶幻方

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六阶幻方

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四、探究幻方的规律(1):
4
3

9
5

2
7

1、所有行、列、对角线上的 数 之和均为15; 2、偶数位于角上,奇数在中 间;

8

1

6

3、5位于中心点,相对的两个端 点数和为10。因为9个数之和是45, 所以中间的数是5。
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探究幻方的规律(2):
4 3 8 9 5 1 2 7 6

276+951+438= 1665 672+159+834= 1665 276+951+438= 1172421 2 2 2 672+159+834= 1172421
2 2 2

4)每列看成的三位数和 =它逆转之后的三位数。 5)每列看成的三位数的平方和 =它逆转之后的三位数平方和

行也成立

探究幻方的规律(3):
4 3 8

9
5 1

2 7

357+753= 1100 951+159= 1100 456+654= 1100 852+258= 11700

6

6)每列每行每一条对角线上看成的三位数 和它逆转之后的三位数之和相等。

(7)幻和=九个数之和÷3, (8)中间数=幻和÷3. (9)C=(A+B)÷2 (如右图)
4 3 8 9 5 1 2 7

6

五、如何改变幻方:
改变数的位置还有可能满足上述规律吗?
4 3 9 5 1 2 7 6 8 3

1
5 9

6
7 2

2
7 6

9 5 1

4 3

6 7 2

1 5 9

8 3 4

8

4

8

上下换

左右换

上下左右换

探究改变幻方的规律: 共有8种:
4 9 2 3 5 7 8 1 6
8
3 4

8 3 5 9 2
6
1 8

6 1 8 7 5 3 2 9 4
2

2 7 6 9 5 1 4 3 8
4
7 2

1 6 5 7 9 2

7 2 5 9 3 4

7 6

9 4 5 3 1 8

3 8 5 3 7 6

将幻方围绕中心,向右旋转90度一次、二次、三次 向右旋转90度一次、二次、三次后将幻方上下对换。

—— 在旋转中看

2 7 6

9

4

2

7

6 1 ② 8
8

5 1
7

3 ① 9 4 8
2 6

5 3
1

2 7

9 5

4 3

6

1 8
8 3 4 4 9

5
3 1 5 9 3 5 7

9 ③ 7 2 4
6 2 8 6 8 6 4 8

5
9 3 5 7 9 5 1

3 ④ 4
4 9 ⑥ 2 2 7 ⑧

7 ⑤ 1

6

1

8

1 ⑦ 3

旋转的研究方法

2

6

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休息一下吧!

六、如何编幻方(幻方的构成) 1)三阶幻方构成方法之一
四维挺出 九子斜排 上下对易 左右更替

巴 舍 法

把1,2,3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方

1 4 7 8 5 6 2 3

9
换位

三阶幻方有技巧, 3 5 7 3数斜着先排好, 上下左右要交换 , 8 6 然后各自归位了! 1 4 2 归位

9

六、如何填幻方(幻方的构成) 2)三阶幻方构成方法之二 画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
添 耳 朵 法

1

4 7
8 9

2

5
6

3

9

3
1

7

这种方法适用于所有的 奇阶幻方

1

6
11 24 7

2 20 3 4 5 10

16 4
21 22

12 25

8 16
9

17 5

13 21

10 18 1 23 6 24 25 19

14 22 2 20

15

六、如何填幻方(幻方的构成) 3)三阶幻方构成方法之三

定中间数 填四角数 算其余数

1 2 3 4 5 6 7 8 9

将1~9九个自然数填入下图的九个方格里, 使每行、每列、每条对角线上的三个数的 和都相等。
定中间数,填四角数,算其余数

把九个数最中间的一个填在方 格的正中央,第二、四、六、 八个数分别填在四个角上。 幻和=(1+2+3+…+8+9) ÷3=15

将2、4、6、8、10、12、14、16、18 九个数填入下图的九个方格里,使每行、 每列、每条对角线上的三个数的和都相 等。
幻和=(2+4+6+…+18)÷3 =30 4 18 8 6 14 10 12

2 16

5:如何填幻方(幻方的构成) 4)三阶幻方构成方法之四
1填首行正中央 依次斜上莫要忘。 上出框时往下填 右出框时往左填 若是重了填下方

罗 伯 法

1 2 3 4 5 6 7 8 9

将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数填入下
图的九个方格里,使每行、每列、每条对角线 上的三个数的和都相等。
1填首行正中央 依次斜上莫要忘。 上出框时往下填 右出框时往左填 若是重了填下方

罗 伯 法

10 11

12 13 14 15 16 17 18

将10、11、12、13、14、15、16、17、18九 个数填入下图的九个方格里,使每行、每列、 每条对角线上的三个数的和都相等。

耆那幻方:
1997年美国佬发射 了两个宇宙飞船, 在飞船上为了向外 星人展示人类的文 明,科学家就选择 了一张四阶幻图-耆那幻方。

是在印度耆那教寺庙门前一块石牌上刻的,是 12-13世纪的产物。它的任何2×2的方块内的4个 数字和也是34。

六、如何编幻方(幻方的构成)

四阶幻方构成方法

数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!

中 心 对 称 法

原理与步骤:
1
5 9 2 6

3
7

4
8

(1)先算幻和: 幻和=(1+2+…+16)÷4= 34

10 11 12
15 16

13 14

三阶幻方的幻和可以用9个数的

和除以3; 那么四阶幻方的幻和也可以用16个数的和除以4

原理与步骤: (1 )幻和=34
1 2 3

(2)分析列表

4 第一行和=10 少了24 8
第二行和=26

5
9
第 一 对角线和=34 列 和 =28

6

7

少了8

10 11 12 第三行和=42 多了8 15
第 三 列 和

13 14
第 二 列 和

16 第四行和=58 多了24
第 四 列 和
对角线和=34

少6 少2 多2 多6

=32

=36

=40

根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和,那么就让它们位置都不变。

1 5

2 6

3 4 7 8

4个数和= 34
4个数和= 34 我是魔师, 1.我先变个中心点 我可是有魔法的 4个数和 = 34 现在我们来指引 2.数字 2和3与谁关于 你们去把每行 4个数和 = 34 中心点相对 每列的数字和相等 3.数字5和9谁关于 中心点相对

9 10
13 14

11 12 15 16

4个 4个 4个 4个 请让它们分别交换吧 数的 数的 数的 数的 ! 和 和 和 和 = = = = 34 34 34 34

它就是对称交换法
对 数字依次先排好, 上下中间交叉换,左右中间交叉换 ,其他地方不要变 比 以前 现在 一 1 2 3 4 1 15 14 4 下 12 6 了 7 8 7 9 5 6 , 8 10 11 5 9 10 11 12 哪 13 3 2 16 些 13 14 15 16 数 1 2 3 4 位 置 5 6 7 8 有 9 10 11 12 变 化

13

14 15 16

练习:填四阶幻方:
把3,4,5,6,…..18这16个数字编成一个四阶幻方.

数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
42 42 42 42

42 42

所以 幻和=42

42 42

同学们

你们真的好棒哦!不要骄傲, 继续加油哦!

请你们把1,3,5,7,…..29,31这16个数字编成一个四阶幻方.

数字依次先排好, 上下中间两两换, 左右中间两两换, 其他地方不要变!

1 3 5 7 9 11 13 15

①1,3,5…29,31 64 中间的数你们 知道是多少吗? 64

17 19 21 23 64 25 27 29 31
64 64 64 64

全是单数

②这个四阶幻方 64 的幻和是多少? 64

七、巧填幻方:
例1:给出一个不完整的幻方,请你们认真补充完这个表格!
68 68 68 68

2 30

28

8

先求出幻和

24 12 14 18 16 20 22 4 10

26 6

32

68 ( 68 ) 68 68

★例2、

13 下面是一个四阶幻方,求a=__

35

5 17

接下来你们看看幻和 跟a有关的有哪些行 , 35+23+3=19+b+25 b=17 能求出来吗 哪些列或哪些对角线 ? ? 幻和=5+23+15+29=74
3

11 23

b 19 17
29

a
33
2

幻和不能求出来 …. a=74-(35+23+3)=13
但可以表示出来: 35+23+3+a 19+b+25+a
1 3

25 3

幻和
1

例3、 下图中,a~g 7个字母,各代表7个数字, 要使三阶幻方成立,“a”所代表的数字是多少?

a=(12+18)÷2

=30÷2
=15

例4、 在下图的每个方格里填上适当的数, 使每行、每列、每条对角线上的三个数的和 都相等。 (3+7)÷2=5 幻和=8×3=24 24-8-3=13 24-8-7=9 24-9-5=10 24-10-8=6 10 9

11

6
13 5

例5、 在下图的每个方格里填上不大于11且互 不相同的八个自然数,使每行、每列、每条对 角线上

的三个数的和都等于21。

中间数=21÷3=7 21-7=14 11+3 10+4 9+5

3

10

9
4

7
11

5
6

3
中间数=21÷3=7 9 4 7 11

10
5 6

3、4、5、 6、7、8、9、10、11
9 3 7 4 11

10

5

6

在下图的每个方格里填上不同的自然数,使 每行、每列、每条对角线上的三个数的和都 等于27。 中间数=27÷3=9

9

5、6、7、8、9、 10、 11、12、13

一.三阶幻方的编制和补充 三阶幻方有技巧, 3数斜着先排好, 上下左右要交换, 然后各自归位了!

二.四阶幻方的编制和补充

幻 和

数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!

练习:把1-36中,中间的16个数(11-26)填到四 阶幻方中:

11 15 19 23

12 16 20 24

13 17 21 25

14 18 22 26

11 22 18 23

25 16 20 13

24 17 21 12

14 19 15 26

26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11

补充1:左右对开并交换, 也是一个四阶幻方

上下对开并交换 仍是一个四阶幻方

纵向切开,交换后再接起来

横切一刀,交换后再接起来

数阵
把一些数按一定的规律组成各式各样 的图形

例:在下面三角形数阵图中O内填上适当的 数使同一条线上的三个O的三个数的和是12.
5 1 6 2 3 4

例:在下面数阵图中的O内填上适当的数使同 一条线上的三个O的三个数的和是13.
1 8 4 7 2 6 3

例:把10,20,30,40,50分别填 入O内,使每条 直线上的三个数的和相等.
8 10 20 30 40 50

8

8

8

(10+20+30+40+50-10)/2=70 20+50=70 30+40=70 (10+20+30+40+50-20)/2=65

8

X

(10+20+30+40+50-30)/2=60 10+50=60 20+40=60

例:把1、2、3、4、5、6、7这七个数字填入 下面的O内,使每条线上的和相等。
1+2+3+4+5+6+7=28
28-中间的数=剩下两个数 的和×3 28-1=27 27÷3=9 (1)当中间填1时,剩 下两数的和是9 4 5 2 7 1 6 3

试一试

2
7 1 5 4 6 3 6 2

1 7

6 1 7 3 5 4 3 5 2

4

4

11

6

1、在正方形数阵图中的O内填上适当 的数使每条直线上的和等于21.

9 8

7

5

3 10 11 2、用10到20这11个数字分别填在 10 20 19 O内使每条线上三个数字的和等于 15 18 12 45. 16 17 3、把3到7这五个数分别填入下面 14 的图中使横竖两行的数之和相等. 13 5 7 6 4 7 3 3 7 5 4 6 6 4

3

2 4、把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入O内使 每条线上三个数字的和相等. 5、把11,13,15,17,19,21,23,七个 数分别 填入下图O内使每条线上三 个数字的和相等. 11 23 17 21 19 7 6

9

4

5
1

3
8

13

15


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