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数竟赛19

发布时间:2014-01-21 10:50:15  

整数基本问题

一、整除问题

x2?111.试代数式y= 的值为整数的全体自然数和是 ( ) x?1

A 5 B 6 C 12 D 22

2.若20062006202006??????06?.....????15 被15整除,则N的最小值等于 ( )

N个2006

A 2 B 3 C 4 D 5

3.证明:形如abcabc的之倍数总能被7,11,13整除

4.试证明:当abc时37的倍数时,bca也是37的倍数

5.在不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为________

6.已知S=12-22+32-42…..+992-1002+1012.,则S被103除的余数是________

7.若N=2x78是一个能被17整除的四位数,求x的值

二.奇偶数问题

1.如果a.b.c是三个任意整数,那么a?bb?cc?a,, 至少有一个整数 222

2.若 X1 、X2、 X3 、X4、 X5 为互不相等的正奇数,满足(2005- X1)(2005- X2)(2005-

22222X3)(2005- X4)(2005- X5)=242,那么X1+ X2+ X3+ X4+ X5的末尾数字是 ( )

A 1 B 3 C 5 D 7

3.已知正整数a,b满足a2-b2=112,求 a,、b的值

4.已知x,y,z之中有两个奇数和一个偶数,求证(x+1)(y+2)(z+3)一定是偶数

5.设 a,b都是整数,求证a+b ,a-b有相同的奇偶性

6.甲、乙两人玩扑克,甲的13张牌全部是红桃牌,乙的13张全部是梅花牌,如果每次两人各出一张牌,然后把每对牌上数字相减,问这13个差数的积是奇数还是偶数。

三.质与合数的问题

1,有3个质数 P ,Q ,R ,如果P+Q=R,且 P<Q<R,则 P的值是 ( )

A 2 B 3 C 5 D 7

2 有3个数,一个是最小的奇质数,一个是小于50的最大质数,一个是大于60的最小质数,则 这3个数和是 ( )

A 101 B 110 C 111 D 113

3.设 a ,b,c均为质数,且a+b+c=68,ab+bc+ca=1121,求abc的值

4.如果a,b是质数,且 a-13a+m=0,b-13b+m=0,求2 2ba?的值 ab

四.完全平方数

1.证明四个连续自然数的积与1之和一定是完全平方数

2一个三位数是完全平方数,如果它的前2位数除以个位数所得的商也是完全平方数,求这个三位数。

3 已知平方数N是四位数,前两位数字相同,后两个数字也相同,试求N

24.已知 a是正整数,且a+2004 a是一个正整数的平方,求a的最大值

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