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初中数论-题集

发布时间:2014-01-21 17:51:10  

1.1.自然数

拓展题:

(14)正整数 m﹥n, 若 3m 与 3n 个位数相同, 求 m + n 的最小值。

若 3m 与 3n 末两位数字相同,求 m - n 的最小值。

(15)质数 a、b、c 均 ﹥3,c=2a+5b。若 a+b+c 是 n 的倍数,求 n 最大值。

(17)求最小的正整数 n,满足:n 恰有 144 个不同的正约数;

n 的正约数中有 10 个连续整数。

(18)整数:2836、4582、5164、6522 除以同一个正整数余数相同,求这个余数。拓展题:

(6)一个两位数,它乘以 9 以后,各位上的数字之和不变,

求所有这样的两位数。

(7)已知 N 是质数,且分数(N-4)/(N+17)不约分或经过约分后是一个最简分

数的平方,求 N 的值。

(9)设: N =20102011 + 20112012

20102010 + 20112011 求 N 的第一位小数。

练习三、质数、因数、质因数

(1)某个质数,当它加上 6、8、12、14 后还是质数。证明:这个质数是 5。

(2)已知质数 p,且 q = 4p + p4 + 4 也是质数。求 q 。

(3)用 2836,4582,5164,6522 除以同一个正奇数,所得余数相同,求该余数。

(5)证明:一定存在一个形如 111?1 的数,它是2011的倍数。

(6)若 510510 的所有质因数按从小到大的顺序排列为a1, a2, a3, ??, ak, (k是最

大的质因数的序号),求:(a1-a2)(a2-a3)(a3-a4)??(a k-1-a k)的值。

(7)N4 - 16N2 + 100 是质数,则 N = 。

拓展题:

(4)设 a、b、c、d 为正整数,且 a7=b6, c3=d2, c-a=17,求 d-b 的值。

(8)对自然数 n, 求:n3 + 3/2 n2 + 1/2 n - 1 除以 3 的余数。

(5)三个不同的正整数 abc = 16,求:ab - bc + ca 可能的最大值。

(6)求证:对任意自然数 n,都存在自然数 m,使得 mn + 1 是合数。

(7)已知自然数 N、K 满足不等式 7

13

自然数 N 的最大值和最小值。﹤NN + K﹤611。如果对于某一给定的自然数 N,只有唯一的一个自然数 K 使不等式成立,求所有符合要求的

拓展题:

(14)b5 + b + 1

(15)(x+1)(x+2)(x+3) - 6 * 7 * 8

练习二、因式分解的应用

拓展题:

(13)实数 a+b+c=0, 求:a2+a2c-b2c-abc+b3-2 的值。

(14)正数 a、b、c 满足: ab+a+b = bc+b+c = ca+c+a = 3,

求:(a+1)(b+1)(c+1) 的值。

(15)正数 a、b、c、d 满足:a4+b4+c4+d4=4abcd,求证:a = b = c = d

(17)n2 + 3n - 10

n + 6n - 162 是个既约分数,求这个分数的值。

(18)已知:m2=m+1,n2=n+1,且 m≠n。求:m5+n5 的值。

2.2. 整式(含绝对值整式)的运算

练习一、整式代数式的运算

(3)求: y =︱2x + 6︱+︱x - 1︱- 4︱x + 1︱的最大值。

(4)a﹤b﹤c﹤d, 求:︱x-a︱+︱x-b︱+︱x-c︱+︱x-d︱的值。

(5)已知 m = 1+√2,n = 1-√2,且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7) = 8,求 a。

(6)若:14(a2+b2+c2) = (a+2b+3c)2,求:(a:b:c)

(7)已知:a﹤0, ab﹤0, 化简:︱b-2a+1︱-︱a-2b-5︱。

(8)对自然数 n, 求:n3 + 3/2 n2 + 1/2 n - 1 除以 3 的余数。

(9)化简:1+x+x2+x3+ ?? + x2012

练习二、乘方数和开方数的式子化运算

(2)已知:a = 3√4 + 3√2 + 3√1, 求 3a-1 + 3a-2 + a-3 的值。

(3)求证:22225555 + 55552222 被 7 整除。

(4)化简(23-1)(33-1)(43-1) ? (1003-1)

(23+1)(33+1)(43+1) ? (1003+1)

的值最接近于: 。 A、 1/2, B、1/3, C、2/3, D、5/8。

(5)三个不同的正整数 abc = 16,求:ab - bc + ca 可能的最大值。

2.3. 代数式求值

求代数式:a3 - 1

a + a - a - a5432 的值。

(5)已知:X=(1+√1994)/2,求:(4X3-1997X-1994)2001的值。

(6)已知: x2 - 3x + 1 = 0, 求代数式 x8 + x4 + 1 的值。

(7)已知: a5 + b5 +3ab = 1, 求 (a + b) 的值。

(15)已知: (b-c)2 = 4(a-b)(c-a), a≠0, 求 (b + c) / a 的值。

点评:拆项法如此运用将时时带给你方便。

2.4.整式的整除及系数问题

(6)求证:对任意自然数 n,都存在自然数 m,使得 mn + 1 是合数。练习二、整式的系数问题

(1)代数式:ax4 + bx3 + cx2 + dx + e,

当 x=1 时,值为√7-√3,求 a+b+c+d+e 的值。

当 x=-1 时,值为√7+√3,求 a + c + e 的值。

(4)若:(2x-1)5 = a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0,

求:︱a5︱+︱a4︱+︱a3︱+︱a2︱+︱a1︱+︱a0︱的值。

做这一题就需要动动脑筋了。

(5)Y = x3 + ax2 + bx + c,当 x=1 时,Y=1, 当 x=2 时,Y=2;当 x=8 及

x=-5 时,值为 M 和 N。求 M - N 的值。

练习三、X + 1/X 形代数式求值问题。

(7)若:x2 + x + 1 = ax4 = a2x + x + 1x2

练习四、一般分式化简和求值

(15)已知:a(y-z) + b(z-x) + c(x-y) = 0, 求证:

(x-y)(x-z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(y-z)(y-x)(x+y-2z)(-2x+y+z)x-ya-b(17)化简++=y-zb-c(z-x)(z-y)=z-xc-a

(-2x+y+z)(x-2y+z)

练习四、二次根式拓展题

(3)已知:1899x2 = 1999y2,且 1/x + 1/y = 1,x﹥0,y﹥0, 求证:

√1899x + 1999y = √1899 + √1999

(4)已知:2010x3 = 2011y3 = 2012z3,xyz﹥0,

3+2011Y+2012Z = 3√2010+33(6)求:√ 7 +

练习三、根式方程

解分式方程是高中解析几何中时常要碰到的繁重的演算工作。一般笨办法是,移项分置根号,两边平方。如果你有用技巧的习惯,好多这样的演算就要找妙法简化了。

(1)解方程:√ x + 2x - 3 + √ x - 3x + 2 = x - 1

(2)解方程:√√(3) + (4)(5)解方程: x2-6x-6 + x-2x-2 = 0

(6)解方程:3√3(7)解方程组:(切记:两边平方最笨)(相信你不会去两边平方)(再试一题){(xz + 2x) / (x+z+2) = 3

(y+1)(z+2)/ (y+z+3) = 4(xy + x ) / (x+y+1) = 2

第 6 章 不等式(组)及最大最小值

(7)已知自然数 N、K 满足不等式 7

13

自然数 N 的最大值和最小值。

6.3. 绝对值不等式及根式不等式

(1)对实数 x,不等式︱x - 1︱+︱x - 2︱+︱x - 3︱+︱x - 4︱+︱x - 5︱≥ a

恒成立,求实数 m 的取值范围。

(2)当 X≥1时,不等式︱X + 1︱+√ X - 1 ≥ M -︱X - 2︱恒成立,

求实数 M 的取值范围。

(3)-4ac) = b-2ac, 求:b2-4ac 的最小值。﹤NN + K﹤611。如果对于某一给定的自然数 N,只有唯一的一个自然数 K 使不等式成立,求所有符合要求的

6.4. 完全平方式引导的不等式

(1)由(a-b)2≥0 得 a2 + b2≥2ab, 当且仅当 a=b 时等号成立。

同理:对于正数 x、y,有 x + y≥ 2√xy, 当且仅当 x=y 时等号成立。同理:(2)对于正数 x,求证:x + 1/x ≥ 2,当 x = 1/x 时等号成立。

2≥0 得到:x + 1/x -2 ≥0,∴ x + 1/x ≥ 2

(3)对于正数a、b,有:a?1?b?1?1?0,ba证明:1﹤(a + b) ≦ 4/3

(4)已知x1,x2,x3,?x19都是正整数,且x1+x2+ ? +x19=59,x12+x22+x32+ ?

+x19的最大值为A,最小值为B,求: A+B 的值。

(5)对实数 a、b,求代数式 a2 + ab + b2 - a - 2b 的最小值。

(6)实数 a、b、c 满足 a2 + b2 +c2 = 9 。

求:(a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 的最大值

(7)对于 x﹥1, 求当 x 取何值时,x + 1/(x-1) 取得最小值,并求该最小值。

(8)已知: x3 + y3 = 2, 求证:x + y ≦ 2。

一般思路: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)

就是要证明:(x2 - xy + y2) ≧ 1,或 ≧ (x + y) 的某个式子。

若要证明前者难度不小,所以证明后者。

因为需要 ≧,我们容易想到:(x-y)2 ≧0, 同时我们需要的式子是 (x+y),能否同时得到这两个式子呢?这是本题的演算想要介绍给大家的“分项方法”:(该方法系笔者自己从实践中总结的方法,姑且就这么叫 “分项方法” 吧):设:(x2-xy+y2) = a(x+y)2 + b(x-y)2,容易得到 a=1/4, b=3/4;于是:

2222224x + 4y - 4xy(x+2xy+y) + (3x-6xy+3y)=(x2 - xy + y2)=44

=(x+y)2

4+ 3(x-y)2

4≧(x+y)24 解决!2

用习惯以后你直接就可以观察出来这样的分项结果。

(9)实数a、b,满足 a2 + b2 = 1,求:a4 + ab + b4 最大、最小值。

思路:最小值好求。求最大值与上题方法类似,略难一点。

看看通过上题的演练,你会把方法搬到这一题来用没?

6.5. 边界不等式及其最大最小值。

(1){x - y + 2z = 3

{2a + b - 3c = 1

{x - 2y - z = -5x + 2y - 5z = 33a + 2b + c = 5x + 2y - z = 6 求 x2 + y2 + z2 的最小值。(2)a、b、c 为非负数, S = 3a+b-7c;求:S 的最大值、最小值。(3)求 x2 + y2 + z2 的最小值。

第 7 章 三元轮回对称式

7.1. 三元轮回对称式 (其要领是:三元轮回一次得到圆满的对称式子)

(1)甲、乙、丙三人,甲和乙平均体重59千克,乙和丙平均体重51千克,丙和甲平均体

重56千克。问:他们的体重各多少?(2)对实数a、b、c,已知:

aba+b

=1/3

bcb+c

=1/4

cac+a

=1/5求:

abcab+bc+ca

的值。

(3)(A+B)/C = (B+C)/A = (C+A)/B 证明:A = B = C

(4)已知 A + B + C = 1,1/A + 1/B + 1/C = 0,求 A2 + B2 + C2 的值(5)实数a≠b≠c,且:a + b-1 = b + c-1 = c + a-1 = t, 求 t 的值。求 t 的值。

11111111(6)已知:1求值:2?3?4??????

xyzxy?z2zx?y4yz?x3

只要你按照三元轮回的原则去做,再难的题都没有弯路需要走。把问题改为解这三个方程组成的方程组,解法有什么不同?

(7)已知 a、b、c 不为零且 a + b + c = 0,求证:a3 + b3 + c3 = 3abc

注意:这是一个常用的结论。有关因式一章已出现过该题目。(8)已知:k = a/(b+c-a) = b/(c+a-b) = c/(a+b-c), 求 k 值。

此类题目有个共同问题,就是不要忽略一个根(比如忽略 a+b+c=0 的情况)(9)已知 a、b、c 不为零且 a + b + c = 0,

求证:a3 + b3 + c3 = 3abc (注意:这是一个常用的结论。)(10)已知 a、b、c 不为零且 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c),求证:a-2013 + b-2013 + c-2013 = 1/(a-2013 + b-2013 + c-2013)(11)已知 a+b+c=2,a2+b2+c2=2,

求:〔a(1-a)2+b(1-b)2+c(1-c)2〕/abc 的值 (探讨结论)(12)已知 a+b+c=0,a2+b2+c2=4,求:a4+b4+c4 的值。

(b-c)(d-a)(a-c)(b-d)

(13)已知 = 3, 求: 的值。

(a-b)(c-d)(a-b)(c-d)(14)实数满足:x + 1/y = 4, y + 1/z = 1, z + 1/x = 7/3,求 xyz 的值。

三个未知数有三个方程,很容易想到解出三个未知数。一般书上也用了这个办法。但对于一个习惯运用解题技巧的学生,应该考虑用更灵活的方法去做。(15)非负数 a、b、c:

本质区别?

P =Q =

aa+bca+b1xy+2z

++

bb+cab+c1yz+2x

++

cc+abc+a1zx+2y

求证:1﹤P﹤2

(16)已知:xyz = 1, x+y+z = 2, x2 + y2 + z2 = 16, 求值:

+

+

(17)已知:abc = 1, 求证:

(A)11

1ab + a + 1+

bc + b + 1

+ca + c + 1

= 1(B)

a+

cab + a + 1

+

bbc + b + 1

ca + c + 1

= 1

(18)计算:

(A)11(a-b)(b-c)

+(b-c)(c-a)+1(c-a)(a-b)(B)

b + xc + x(a-b)(b-c)

+(b-c)(c-a)+a + x(c-a)(a-b)b2

(C)

+c2

a2

(a-b)(b-c)

(b-c)(c-a)

+(c-a)(a-b)

(19)已知

a(bc-a2

)+b(ca-b2

)+c(ab-c2

) = 0求证a(bc-a2)

2+

b(ca-b2)2+

c(ab-c2)2 = 0

(20)已知:

求证:acab-c

+

bc-a+a-b = 0(b-c)2

+

b(c-a)

2

+

c(a-b)

2

(21)已知 abc ≠0,a+

bcb+c

c+a

+

a+b

= K 求 K 的值。

(22)已知:a﹥b﹥c, x﹥y﹥z,

M = ax﹢by﹢cz, P = ay﹢bz﹢cx,N = az﹢by﹢cx, Q = az﹢bx﹢cy,

求证:M﹥P﹥N, 且 M﹥Q﹥N

注意:本题有不符合三元轮回对称式的排列方式之处,从而引出了一个值得熟悉的不等式定理。

7.2. 四元轮回对称式(并探讨与三元式的联系)

(1)已知 a、b、c、d 皆不为零且 a + b + c + d = 0,求证:a3 + b3 + c3 +d3 = 3(abc+bcd+cda+dab)(2)设:a + b + c + d = 1 , 求证:

abc

abc+ab+a+1+bcd+bc+d+1+

cda+cd+c+a+

ccda+cd+c+a

= 1

(3)

已知

a+b+cd

b+c+da

c+d+ab

d+a+bc

=k求 k 的值。

(特别注意:漏解的疏忽)

(4)互不相等的实数 a、b、c、d 满足:a + 1/b = b + 1/c = c + 1/d

= d + 1/a = x, 求 x 的值。

= 0

第 8 章 数列

8.1. 给一列数(或式子)找规律

练习一、找规律

(1)有一列数,1/2、1/2、5/12、7/20、3/10、11/42,问:第100个数是多少?

(2)观察:1x2x3x4 +1 = 52, 2x3x4x5 +1 = 112, 3x4x5x6 +1 = 192,

A)、写出一个普遍的结论

B)、求 2009 x 2010 x 2011 x 2012 的值。

(3)求(1+2+3+4)+(2+3+4+5)+(3+4+5+6)+ ? + (2009+2010+2011+2012)

8.2. 给一列数(或式子)求和

练习一、拆项法

(1)

(2)求S =求S =11x21

1x2x3++12x31

2x3x4++????++1n ( n + 1 )1

n( n+1 )( n+2 )

(3)求S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ? + n(n+1)

第 1 题是基本的拆项法的典型题型,拓展到第 2 题也不难。

将拆项法的运用拓展到第 3 题就要点功夫了。点破了才发现也没什么特殊。

(4)求 S = 12 + 22 + 32 + ? + n2

练习二、错项法求和

(1)求 S = 1/3 + 1/32 + 1/33 + ? + 1/3n

这个题目的方法和上面的方法难道就没有联系了吗?

(2)求 S = 1 + 5 + 52 + 53 + ? + 5n

(3)求 S = 1 + x-1 + x-2 + x-3 + ? + x-n

练习三、数列求和拓展题

12

(1)求S =1x3+22

3x5+??+10062

2011x2013

(2)求和 S = 1/2 + 1/22 + 1/23 + ? + 1/2n + ? (无限加下去)

(从一满桶水里取出水,第一次取出一半,以后每次取出剩下的一半)

根据以上结果分析,可以确定当无限加下去时,S = 1.

如果:S1 = 1/2 + 1/23 + ? + 1/2(n+1) + ? (无限加下去)

求:S2 = 1/22 + 1/24 + ? + 1/22n + ? (无限加下去)S1、S2

第 9 章 应用题

练习、

(1)两个盒子里装有数量相同的玻璃球。玻璃球有红、白两种颜色。第一个盒子中红、

白两球的数量比为 1:7,第二个盒子中的红、白两球的数量比为 1:9。若一共有90颗红球,问第一个盒子中有多少颗白球?

(题目不难,但方法不同,解题的简易程度就大不同了)

(2)A、B、C 三辆车沿同一方向行使,A 车在前,B 车在中间,C 车在后。AB间距与BC

间距相同。经过10分钟 C 车赶上 B 车,又经过5分钟,C 车赶上 A 车。

问:再经过多少时间 B 车可以赶上 A 车?

(3)某校初一、初二年级的学生人数相同,初三年级的学生人数是初二年级学生人数的

4/5。已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同,初三年级男生人数占三个年级男生人数的1/4,那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的( )。

(4)一台天平臂长出现误差,所以称出的质量有误差。一个物体放在天平的左边称得

M1,在右边称得M2。求其实际质量。

(5)在一条街 AB 上,甲由 A 向 B 步行,乙由 B 向 A 骑车,速度是甲的 3 倍。公

共汽车每隔 X 分钟由 A 向 B 开出。甲发现每隔10分钟就有一辆公共汽车赶上他,而乙每隔 5 分钟就碰到一辆公共汽车。

问:公共汽车发车间隔时间 X 是多少?

(6)某工程甲单独做需12小时完成,乙单独做需18小时完成。甲、乙合做一小时后,然

后甲做一小时,再由乙做一小时,?两人交替工作,完成工作还需几小时?

(7)甲、乙两人分别从 A、B两地相向而行。他们在距离 A 地 30 KM 处相遇。随后他们

继续前行。甲到达 B 地后马上掉头返回,乙到达 A 地后也立即掉头返回。然后他们 在距离 B 地 80 KM 处相遇。求 AB 之间距离。

(8)甲、乙、丙、丁四个班的同学参加数学竞赛。已知甲、乙两班有14名同学参加,

乙、丙两班有18名同学参加,丙、丁两班有32名同学参加。各班参加的人数为:甲班少于乙班少于丙班少于丁班。求各班参赛人数。

第 10 章 乘法原理与加法原理(排列组合)

练习一、枚举法(加法原理) (枚举法的关键是分类方法,做到无遗漏无重复)

(1)从 10 个人中挑选出 2 人参加围棋比赛,有多少种选法?

(2)有 6 人参加乒乓球比赛,每两人间赛一场,共赛几场?

(3)在谋次宴会上,每个男宾与除他妻子外的所有人都握过手。女宾之间不握手。若

有 15 对夫妇参加,则这30人之间共握手多少次?

(4)期中考试时甲、乙、丙、丁四人分别获得第 1、2、3、4 名。期终考试他们又全

进入前四名。如果只有一人与期中排名相同,则排名情况有几种可能性?如果四人排名都与期中不同,则排名情况有几种可能性?

(5)3960 有多少个因数?(按什么次序枚举是关键)

(6)已知:x1、x2、?、x10 都是 +1 或 -1,记 S = x1x2 + x2x3 + ? + x9x10 +

x10x1,则 S 可以取到的值有多少个?

如何做到无遗漏无重复还是需要方法的。

(7)三元方程x+y+z=1999的非负整数解有 组。

(8)口袋里有 5 个红球、6 个黑球、7 个白球。从中摸出 15 个球,其中红球数目刚好

是 3 个的概率是多少?

(9)每颗 子上有 1 ~ 6 点。一个 子抛两次,在两次的点数之和上押赌。那么押多

少点赢的可能性最大?赢的概率有多少?

(10)两个口袋里分别装有 10 红球 和 10 个白球。各袋中的球分别标上自然数 1 到

10。从各袋中任意取出一个球。求:白球上的数比黑球上的数大的概率。

练习二、乘法原理

(1)从 10 个人中挑选出 4 人参加扑克比赛,有多少种选法?

(2)有 6 人参加乒乓球比赛,每两人间赛一场,共赛几场?

(3)从 10 个人中挑选出 6 人参加游泳比赛,有多少种选法?

(4)由 5 人排队参加升旗仪式,有多少种排法?

(5)由 5 人围坐一圈,有多少种坐法?

(6)由 8 人围坐一圈,有多少种坐法?

(7)3960 有多少个因数?

(8)将编号为1,2,3,4,5的五个小球放入编号为1,2,3,4,5

的五个盒子中,每个盒子只放入一个,

① 一共有几种不同的放法?

② 若编号为1的球恰好放在了1号盒子中,共有几种不同的放法?

③ 若至少有一个球放入了同号的盒子(即对号放入),共有几种不同的放法?

(9)公司仓库大门安装了若干把锁,每把锁配备了若干把钥匙分配给 4 名库管员。只

有当所有锁被打开时大门才能打开。公司经理要求 4 名库管员任何 2 人到场都不能打开库门,任何三人到场都能打开库门。问:仓库至少要安装几把锁?

(10)x1 + x2 + x3 + ? + 2x6 = 3 有多少组非负整数解?

第 11 章 集合

集合这个名词好像属于高中数学的范畴,但小学奥数就不少见,初中应该掌握如下内容:练习一、简单问题

(1)在 1、2、3、? 2012 中 3 的倍数和 5 的倍数总共有多少个?

(2)某寺院有甲、乙、丙三口钟,它们分别每隔 4 秒、5 秒和 6 秒敲一次。新年

到来时三钟一起敲响且同时停敲。人们共听到 365 声钟响,问:三口钟总共

敲了有多少次?

(3)数学有18人得优秀,英语有26人得优秀,语文有28人得优秀。其中数、语两门都优

秀的共有 8人,语、英两门都优秀的共有14人,英、数两门都优秀的共有 9人。三门都优秀的是 6人。问:至少有一门优秀的学生总共有几人?

(4)数 1336,1471,1008 有个共同特点,首位皆为 1,都是四位数,且每个数中都恰

有两个数码相同。这样的四位数共有多少个?

练习二、分类的技巧

(1)720 总共有多少个约数(包括 1 和 720 本身)?

(2)从 1 到 100 有 100 个整数,从中任意取出任意个数组成一个集合。取出零个元

素组成的集合也算一个集合,叫空集。100 个元素全取也是一种情况。根据这个规定,请问:总共可以组成多少个不同的集合?

练习三、拓展题

(1)把 8 个围棋手任意分配到 4 个相同的赛室进行比赛,有多少种分配方式?

(2)S 是由 1、2、? 50 中的若干个数组成的集合。S 中的任意两个数的和都不是 7

的倍数,求:S 中最多含有几个数?

难题:

求:集合 S 的不同组成方式有多少种?

(3)一个集合含有 10 个互不相等的两位数。

求证:一定能把这 10 个两位数分成两批,使得每批的各数之和相等。

(4)集合 A 是由1、2、? 2n+1 这个 2n+1 数组成,从集合 A 中取出若干个数组成集

合 B, 且 B 中的任意三个不同元素 x,y,z, 都有 x+y≠z,求集合 B 中最多有几个元素?

第 12 章 函数及其最大最小值

练习一、函数初步

(1)若f(x)=1

x+1

x - 1-1

x - 2

已知 f(a)= 0,则 a = (2)已知:X1 = 2,X2 = 1 - 1/X1,? Xn+1 = 1 - 1/Xn, 求 X2012 的值。

(3)已知:F(x)=1

1-X,(X≠1)A)、求:F(2)、F(-1)

B)、求:F(F(-2))

C)、求:F(F(F(F(F(X)))))

(4)F(x,y)=x2+3xy+y2-3x+2y+5, 求F(1,2)的值

(5)F =2x2-xy-y2-x+5y-6, 当 x+y=2 时,求:F 的值

练习二、 函数之最大最小值

(1)求:Y = X2 - 2X + 3 的最小值。

(2)(3)对实数 x,y, 求:y = 5x2 + 4y2 - 8xy + 2x + 4 的最小值。

(4)x-1 = 2(y+1) = 3(z+2),求 x2+y2+z2 的最小值。

(5)求:y = x2 - x + 1/x 的最小值。

(6)若:a2 + ab + b2 = 1,t = ab - a2 - b2,求 t 的取值范围。练习三、 函数拓展题

(1)已知:函数 F(x+y) = F(x) * F(y),且 F(1) = 1/2,

A)、求证:F(x+1) = F(x)/2

B)、求:F(1) + F(2) + ? + F(2012)

√x + 1(2)设 x﹥0, f(x) = 求证: f(x) ﹤ x2 - 2x + 1 + √2(3)对于x﹥2, 当 x 取何值时,f(x)=(3x2-8x+4)/(x-2) 取得最小值,并求此值。

(4)已知:函数 g(x) = f(90-x), 求证:f(x) = g(90-x)

若 f2

(x) + g2

(x) = 1, 求:f(45).

二次函数和抛物线将在几何篇中阐述

第 13 章 逻辑推理

(1)从 1、2、3 ? 91 中任意取出 K 个数,使得其中必有两个数,其比值在不小于

2/3 且不大于 3/2。求自然数 K 的最小值。

(2)有 6名围棋手参加小组循环赛,以选出 4名选手参加下一阶段的比赛。每赛一场,

胜者得一分,负者不得分,且没有平局。结果有 3人并列第一,有一人得第四名。请说明各人的得分情况,并说明理由。

(3)将四十个自然数1,2??,40任意排成一排,总可以找到连续排列的八个

数,它们的和不小于A,则A的最大值等于 _____。

(4)从 1 到 9 中取出六个不同的数码,用这六个数码可以组成很多六位数,

其中有六个这样的六位数,它们的值的比是 1:2:3:4:5:6,求这六个

六位数。

(5)若存在整数 x、y,使得 n=3x2+32y2,则称 n 为好数。

求证:若 n 是好数,则 97n 也是好数。

(6)求证:任意三个连续正整数的平方和不是一个完全平方数。

(7)一个国家在所有的大城市之间设立航班。其规定如下:

任一大城市都与不多于三个大城市之间设立直航航班;

任一大城市到另外一个大城市去,最多只换乘一次飞机;

结果这个规定实行得很好。问:这个国家最多有多少个大城市?

(8)把本题列在这一节,是为了强调它的重要性:

{ xy = z - 7z + 142x + y = z - 1

求:当 z 为何值时,x2 + y2 取得最大、最小值?求出这个最大、最小值。

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