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抽屉原理(二)

发布时间:2014-01-21 17:55:58  

这一讲我们学习抽屉原理的另一种情况。先看一个例子:如果将13只鸽子放进6只鸽笼里,那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单,如果每只鸽笼里只放2只鸽子,6只鸽笼共放12只鸽子,剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里,总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想,就是下面的抽屉原理2。

抽屉原理2:将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到(m+1)件,即每个抽屉里的物品都不多于m件,这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件,这与多于m×n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立,所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于(m+1)件。

“抽屉原理1”和“抽屉原理2”的区别是:“抽屉原理1”物体多,抽屉少,数量比较接近;“抽屉原理2”虽然也是物体多,抽屉少,但是数量相差较大,物体个数比抽屉个数的几倍还多几。

不是每一个类似问题的“抽屉”都很明显,有时候“抽屉”需要我们来构造,这个“抽屉”可以是日期、扑克牌、考试分数、年龄、书架等变化的量。

例1 有40名小朋友,现有各种玩具122件,把这些玩具全部分给小朋友,是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具?

分析与解:将40名小朋友看成40个抽屉。有玩具122件,而122=3×40+2,应用抽屉原理2,取n=40,m=3,立即知道至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具,也就是说,至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例2 布袋里有4种不同颜色的球,每种都有10个。最少取出多少个球,才能保证其中一定有3个球的颜色一样?

分析与解:把4种不同颜色看做4个抽屉,把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理2, 第1页 版权所有 不得复制

要使其中一个抽屉里有3个颜色一样的球,那么放入的球的个数最少应比抽屉个数的2倍多1,即最少取出(3-1)×4+1=9(个)球。

例3 有47名学生参加一次数学竞赛,成绩都是整数,满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下,其余学生的成绩均在75~95分之间。问:至少有几名学生的成绩相同? 分析与解:关键是构造合适的“抽屉”。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”,说明应以成绩为抽屉,学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外,其余学生的成绩均在75~95分之间,而75~95分中共有21个不同的分数,将这21个分数作为21个抽屉,把47-3=44(个)学生作为物品。则有44÷21=2??2,根据抽屉原理2,至少有1个抽屉中至少有3件物品,即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。

例4 学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(也可以不参加)。问:至少有多少名学生,才能保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全相同?

分析与解:首先要弄清参加学习班有多少种不同的情况:不参加学习班有1种情况,只参加一个学习班有3种情况,参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1+3+3=7(种)情况。将这7种情况作为7个“抽屉”,根据抽屉原理2,要保证有不少于5名学生参加学习班的情况完全相同,那么至少有学生7×(5-1)+1=29(名)。

例5 夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同?

分析与解:本题的抽屉不是那么明显,因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”,所以应该把活动项目当成抽屉,营员当成物品。营员数已经有了,现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。

因为“每人必须参加一项或两项活动”,共有3项活动,所以只参加一项活动的情况有3种,参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况,所以共有3+3=6(个)抽屉。则有2000÷6=333??2,根据抽屉原理2,至少有一个抽屉中有333+1=334(件)物品,即至少有334名营员参加的活动项目是完全相同的。

(答题时间:30分钟)

1. 五名同学在一起练习投篮,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了几个球?

2. 有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种。问:至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?

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3. 篮子里有苹果、梨、桃和橘子,现有81个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的?

4. 放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球,有66名同学来仓库拿球,要求每人至少拿1个球,至多拿2个球。问:至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的?

5. ①求证:任意25个人中,至少有3个人的属相相同。

②要想保证至少有5个人的属相相同,但不能保证有6个人的属相相同,那么人的总数应在什么范围内?

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1. 解:将5个同学投进的球数作为抽屉,将41个球放入抽屉中,41=5×8+1,所以至少有一个抽屉中放了9个球,即至少有一个人投进了9个球。

2. 解:首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

订一种杂志有:订甲、订乙、订丙3种情况;

订两种杂志有:订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况;

订三种杂志有:订甲乙丙1种情况。

总共有3+3+1=7(种)订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”,把100名学生看作100件物品。因为100=14×7+2。根据抽屉原理2,至少有14+1=15(名)学生所订阅的杂志种类是相同的。

3. 解:首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种,两个水果不同的有6种:苹果和梨、苹果和桃、苹果和橘子、梨和桃、梨和橘子、桃和橘子,所以不同的水果搭配共有4+6=10(种)。将这10种搭配作为10个“抽屉”,因为81=8×10+1,根据抽屉原理2,至少有8+1=9(个)小朋友拿的水果是相同的。

4. 解:拿球的配组方式有以下9种:{足},{排},{篮},{足,足},{排,排},{篮,篮},{足,排},{足,篮},{排,篮}。

把这9种配组方式看作9个抽屉,因为66=7×9+3,所以至少有7+1=8(名)同学所拿的球的种类是完全一样的。

5. 解:①把12种属相看作12个抽屉,因为25=2×12+1,所以根据抽屉原理2,至少有3个人的属相相同。

②要保证有5个人的属相相同,总人数最少为4×12+1=49(人)。

不能保证有6个人的属相相同的最多人数为5×12=60(人)。

所以总人数应在49人到60人的范围内。

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