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数论综合(一)

发布时间:2014-01-24 09:03:46  

谈到数论,顾名思义是和数有关的理论,具体地说是和整数有关的理论,小学奥数中的数论问题包括:整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题,数论在各种考试中都会占很大的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。

对整数a和b(b不为0),如果存在一个整数q,使a=b×q,则a能被b整除,也可以说b整除a,否则就说a不能被b整除。例如:72=8×9,所以72能被8(或9)整除。

整除有许多性质,下面列出最常用的几个:

1. 如果b整除a,则b整除a的倍数;

2. 如果b整除a与c,则b整除(a?c);

3. 如果b整除a,a又整除c,则

b一定能整除c;

4. 如果a整除c,b也整除c,并且a与b互质,则ab整除c。

在整除问题中,能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25等数整除的数有如下特征:

1. 能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数必能被2整除;

2. 能被5整除的数的特征:个位是0或5;

3. 能被3(或9)整除的数的特征:各数位上的数字之和能被3(或9)整除;

4. 能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除;

5. 能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除;

6. 能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数;

7. 能被7(11或13)整除的数的特征:这个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除

例1. 一个五位数382□□,如果它是3和5的倍数,则□□里最大可以填几?

【分析与解】这个五位数382□□能被5整除,则它的个位数字是0或5;又因五位数382□□能被3整除,那么3+8+2+□+□的和能被3整除,即13+□+□的和能被3整除。

(1)当这个五位数为382□0时,各位数字之和13+□能被3整除,□里可填2、5、8;

(2)当这个五位数为382□5时,各位数字之和18+□能被3整除,□里可填0、3、6、9。

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所以□里最大可以填95。

例2. 从0、3、4、8、9中选出3个数字,组成能被2、3、5同时整除的最大三位数是多少?

【分析与解】要满足所求的三位数能同时被2、3、5整除,那么这个三位数的末位数字

商的乘积,不妨将27表示为两个互质的数的乘积:27=1×27,再将最大公因数9分别和1、27相乘,就得到所求的两个数,即1×9=9,27×9=243。

所以这两个数分别是9和243。

例5. 一个三位数能同时被2、5、7整除,这样的三位数按从小到大的顺序排成一列,中 第2页 版权所有 不得复制

间的那个数是几?

【分析与解】2、5、7的最小公倍数是2×5×7=70,因为70的倍数也是2、5、7的公倍数,所以本题就转化为将符合70的倍数的三位数按从小到大的顺序排成一列,求出中间的那个数。

70的倍数中,最小的三位数是70×2=140,最大的三位数是70×14=980,而在70的2倍到14倍中,中间的数是70的8倍,即这个数是70×8=560。

□内只能填4。

所以先后填入的3个数字的和是7+8+4=19。

(答题时间:30分钟)

一、3个连续的自然数,后面两个数的积与前面两个数的积之差是114,那么这3个数中最

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小的数是多少?

二、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品,箱子里共有多少个乒乓球?

三、4个不同质数的倒数和为x,则x等于多少? 2002

四、把33、51、65、77、85、91这6个数分为两组,每组3个数,使两组数的乘积相等。

五、两个数的最大公因数是21,最小公倍数是126,这两个数的和是多少?

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一、解:设中间数为x,则有(x+1)x-(x-1)x=114,解得x=57,所以最小的数为56。

二、解:1?25%?xy ,其中y应该是91的约数,经过验证y=7. ?520

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