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格点型面积(二)

发布时间:2014-01-24 09:03:50  

上一节中,我们主要学习了正方形格点面积,这一节,我们主要学习三角形格点面积。

三角形格点面积公式:

如果用S表示面积,N表示图形内包含的格点数,L表示图形周界上的格点数,那么有:S=2×N+L-2。

也就是说,格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与图形周界上格点数的和减去2。

例1 如下图(a),有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是正三角形。每个小正三角形的面积均为1(面积单位),计算△ABC的面积。

分析与解:

解法一:如图(b)所示,作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置,这样可以通过数小正三角形的方法,求出△ABC的面积为10.

解法二:如图(c)所示:作辅助线可知:平行四边形ARBE中有6个小正三角形,而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半,即S?ABC=3,平行四边形ADCH中有4个小正三角形,而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半,即S?ADC=2。平行四边形FBGC中有8个小正三角形,而△FBC的面积是平行四边形FBGC面积的一半,即S?FBC=

4。所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10(面积单位)。

解法三:因为N=4,L=4,所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10(面积单位)。

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例2 如下图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算△ABC的面积。

分析与解:因为N=5,L=3,所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11(面积单位)。

例3 如图,如果每一个小正三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?

分析与解:

解法一:正三角形格点阵中多边形面积=(2N+L-2)个单位正三角形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数。由图可知N=9,L=4,所以用粗线围成的图形(即四边形ABCD)的面积为:(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)。

解法二:如下图,我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个,而将不完整的小正三角形分成4部分计算,其中①部分对应的平行四边形面积为4,所以①部分的面积为2,②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2,8,6,所以②、③、④部分的面积分别为1,4,3。所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)。

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例4 把大正三角形每边均分为八等份,组成如下图所示的三角形网。如果大三角形的面积是128(面积单位),求图中粗线所围成的三角形的面积。

分析与解:图中有1+3+5+7+9+11+13+15=64(个)小三角形,那么一个小三角形的面积是128÷64=2,图中粗线所围成的三角形内格点数为12,图形周界上格点数为4,所以图中粗线所围成的三角形的面积为:(2×12+4-2)×2=52(面积单位)。

例5 计算下面的三角形格点阵中多边形的面积。

分析与解:解法一:这个多边形的周界上共有10个格点,其内部共有9个格点,运用三角形格点图形的面积公式得:9×2+10-2=26(面积单位)。

解法二:加辅助线将这个多边形分成如下图所示的三个三角形和一个平行四边形。左下角的三角形为一个面积为10的平行四边形面积的一半,是5,右上角的三角形的面积为3(请你自己找出它所对应的平行四边形),中间的等边三角形的面积为4×4=16,小平行四边形的面积为2,因此该多边形的面积为:5+3+16+2=26(面积单位)。

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(答题时间:35分钟)

1. 求下列格点型多边形的面积。(每相邻三个点“∵”或“∴”组成面积为1的等边三角形)

2. 下图中有21个点,其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积为1,试计算图中四边形的面积。

3. 下图中最小的△的面积为1,则图中阴影部分的面积为_____。

4. 正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。M是AB中点,N是CD中点,P是EF中点。问:三角形MNP的面积是多少平方厘米?

e

5. 如图,大正六边形的面积为1,求阴影部分的面积为_______。

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1. 解:①19

②19

③19

④21

2. 答案;12

3. 解:三角形格点阵中多边形面积的计算公式:多边形面积=(内点数+边界点数÷2-

1)×2,计算得阴影部分的面积为19。

4. 答案:2.25平方厘米

5. 解:可以分成几部分来计算,三角形格点阵中多边形面积的计算公式:多边形面积=(内点数+边界点数÷2-1)×2,计算得阴影部分的面积为30。也可用割补法计算。

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