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中学数学竞赛讲座及练习(第1讲)有理数的巧算 学生版

发布时间:2014-01-25 09:58:05  

中学数学竞赛讲座及练习(第1讲)有理数的巧算

第一讲 有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.

1.括号的使用

在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.

例1 计算: (1)?8?6??47?18.75?1??2?0,46 (2)????15?25???2??1??31998(?2)?(?1)??12?????????2?? ?4?1(?1)?????1?5?4

注意 在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算.

例2 计算下式的值:

211×555+445×789+555×789+211×445.

说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧. 例3 计算:S=1-2+3-4+?+(-1)n+1·n.

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例4 在数1,2,3,?,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?

说明 本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化.

2.用字母表示数

我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:

(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22.

这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我们得到了一个重要的计算公式

(a+b)(a-b)=a2-b2, ①

这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.

例5 计算 3001×2999的值.

例6 计算 103×97×10 009的值.

例7 计算:

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例8 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

例9 计算:??1??1??1??1??1?1??1?1???????? 22??32??92??102?

通过以上例题可以看到,用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子,也可使计算简化. 例10 计算: 111??111??111??111? ?????1??????1????????????????? 231999231998231999231998????????

3.观察算式找规律

例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分. 87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.

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例12 计算1+3+5+7+?+1997+1999的值.

说明 一般地,一列数,如果从第二项开始,后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=?=1999-1997,都等于2),那么,这列数的求和问题,都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.

例13 计算 1+5+52+53+?+599+5100的值.

说明 如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决. 例14 计算:11111?????? 1?22?33?44?51998?1999

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用.

练习一

1.计算下列各式的值:

(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999;

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(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100;

(3)1991×1999-1990×2000;

(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636;

(5)

(6)1+4+7+?+244;

第 5 页 共 6 页 11111?????? 1?33?55?77?92012?2013

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(7)1?1?111

332?33???32000

(8)11?791113

312?20?30?42?15

56

2.某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分. 81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,86,78,74,85.

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