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中学数学竞赛讲座及练习(第2讲)绝对值 学生版

发布时间:2014-01-25 09:58:06  

中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第2讲)绝对值

第二讲 绝对值

绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.

下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析.

一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即

?a?a

??0

??a?当a?0时当a=0时 当a?0时

绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.

结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数.

例1、 a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?

(1)|a+b|=|a|+|b|;

(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;

(4)若|a|=b,则a=b;

(5)若|a|<|b|,则a<b;

(6)若a>b,则|a|>|b|.

例2、 设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,

化简|b-a|+|a+c|+|c-b|.

例3 已知x<-3,化简:3?2?x.

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中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第2讲)绝对值

例4 若abc?0,则abc??的所有可能值是什么? abc

说明 本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用.

例5 若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.

例6 若a,b,c为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,

试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.

例7 若x?y?3与x?y?1999互为相反数,求x?2y的值。 x?y

例8 化简:|3x+1|+|2x-1|.

说明 解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”.

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例9 已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值.

例10 设a<b<c<d,求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值.

例11 若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值.

练习二

1.x是什么实数时,下列等式成立:

(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|; (2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5).

2.化简下列各式:

(1)

第 3 页 共 4 页 x?xx (2)|x+5|+|x-7|+|x+10|.

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3.若a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|.

4.已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.

5.设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,

对于满足p≤x≤15的x来说,T的最小值是多少?

6.已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.

7.不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,

如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点应为( ).

(1)在A,C点的右边;

(2)在A,C点的左边;

(3)在A,C点之间;

(4)以上三种情况都有可能.

第 4 页 共 4 页 C,

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