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中学数学竞赛讲座及练习(第4讲)一元一次方程 学生版

发布时间:2014-01-25 10:59:18  

中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第4讲)一元一次方程

第四讲 一元一次方程

方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.

用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.

如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.

只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方

程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式).

解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解. 一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定:

ba?0x? (1)若,则方程有唯一解 a

(2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解;

(3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解.

?x? 例1 解方程:x??x??????x? 264?3??44??11?12?33

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中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第4讲)一元一次方程

例2 已知下面两个方程3(x+2)=5x,与4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解,试求a的值.

例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.

例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0.

说明 含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.

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例5 解方程:

0.2?6x1.4?5x6x?2. ??1.50.30.5

例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程, 求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值.

例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.

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例8 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数?

分析:当方程ax?b有唯一解x?时,此解的正负可由a,b的取值来确定:

(1)若b=0时,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立.

(2)若ab>0时,则方程的解是正数;反之,

若方程ax=b的解是正数,则ab>0成立.

(3)若ab<0时,则方程的解是负数;反之,

若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立.

例9 若abc=1,解方程

ba

说明 像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.

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例10 若a,b,c是正数,解方程

说明 注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.

例11 设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:

n2(n?1)2

x?2?x??3?x??4?x????n?x?? 2

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例12 已知关于x的方程x?a?x?142,且a为某些自然数时,

方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.

说明 本题实际上是求a?9?142的最小自然数解。 10x5285

练习四

1.解下列方程:*

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2.解下列关于x的方程:

(1)a2(x-2)-3a=x+1;

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4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:

(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.

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