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中学数学竞赛讲座及练习(第6讲)一次不等式(不等式组)的解法. 学生版

发布时间:2014-01-25 10:59:22  

中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第6讲)一次不等式(不等式组)的解法

第六讲 一次不等式(不等式组)的解法

不等式和方程一样,也是代数里的一种重要模型.在概念方面,它与方程很类似,尤其重要的是不等式具有一系列基本性质,而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”.本讲是系统学习不等式的基础. 下面先介绍有关一次不等式的基本知识,然后进行例题分析.

1.不等式的基本性质

这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时,一定要注意它与等式的类似性质上的差异,即当所乘(或除)的数或式子大于零时,不等号方向不变(性质(5));当所乘(或除)的数或式子小于零时,不等号方向要改变(性质(6)).

2.区间概念

在许多情况下,可以用不等式表示数集和点集.如果设a,b为实数,且a<b,那么

(1)满足不等式a<x<b的数x的全体叫作一个开区间,记作(a,b).如图1-4(a).

(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间,记作[a,b].如图1-4(b).

(3)满足不等式a<x≤b(或a≤x<b)的x的全体叫作一个半开半闭区间,记作(a,b](或[a,b)). 如图1-4(c),(d).

3.一次不等式的一般解法

一元一次不等式像方程一样,经过移项、合并同类项、整理后,总可以写成下面的标准型:ax>b,或ax<b.为确定起见,下面仅讨论前一种形式.

一元一次不等式ax>b.

?若b?0,无解 (3)当a=0时,? 若b?0,解为任意实数,用区间表示为(??,??)?

例1 解不等式

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中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第6讲)一次不等式(不等式组)的解法 例2 求不等式:

例3 解不等式

例4 解不等式

例5 已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x),且y<x+9,试比较

例6 解关于x的不等式:

说明 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.

第 2 页 共 6 页 的正整数解.

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4b为实数, 例7 已知a,若不等式(2a-b)x+3a-4b<0的解为9,试求不等式(a-4b)x+2a-3b>0的解。

下面举例说明不等式组的解法.

不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分.

若不等式组由两个不等式组成,分别解出每一个不等式,其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α<β):

解分别为:x>β;x<α;α<x<β;无解.如图1-5(a),(b),(c),(d)所示.

若不等式组由两个以上不等式组成,其解可由下面两种方法求得:

(1)转化为求两两不等式解的公共部分.如求解

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(2)不等式组的解一般是个区间,求解的关键是确定区间的上界与下界,如求解

确定上界:由x<4,x<8,x<5,x<2,从4,8,5,2这四个数中选最小的数作为上界,即x<2.

确定下界:由x>-4,x>-6,x>0,x>-3.从-4,-6,0,-3中选最大的数作为下界,即x>0.

确定好上、下界后,则原不等式组的解为:0<x<2.不等式组中不等式的个数越多,(2)越有优越性.

例8 解不等式组

例9 解关于x的不等式组

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练习六

1.解下列不等式或不等式组:

2.解下列关于x的不等式或不等式组:

3.求同时满足不等式6x?2?3x?4和

第 5 页 共 6 页 2x?11?x??1的整数解. 32

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4. 如果关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解为x?

10,那么关于x的不等式ax>b的解是什么? 7

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