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中学数学竞赛讲座及练习(第19讲)因式分解(一) 学生版

发布时间:2014-01-25 15:59:13  

中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第19讲)因式分解(一)

第十九讲 因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.

1.运用公式法

在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:

(1)a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再补充几个常用的公式:

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;

(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;

(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.

运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

例1 分解因式:

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;

(2)x3-8y3-z3-6xyz;

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;

(4)a7-a5b2+a2b5-b7.

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例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc.

说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为

a3+b3+c3-3abc

显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,

则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,

而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.

如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有

等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.

例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1.

说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.

2.拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

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例4 分解因式:x3-9x+8.

分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.

说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.

例5 分解因式:

(1)x9+x6+x3-3;

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;

(4)a3b-ab3+a2+b2+1.

说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.

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3.换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.

例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.

说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试.

例7 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.

说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.

例8 分解因式:(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.

说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.

例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6.

解法1 解法2

说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体.

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例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).

分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.

练习一

1.分解因式:

(2)x10+x5-2;

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5.

2.分解因式:

(1)x3+3x2-4; (2)x4-11x2y2+y2; (3)x3+9x2+26x+24; (4)x4-12x+323.

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3.分解因式:

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1; (2)x4+7x3+14x2+7x+1;

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1;

(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20.

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