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中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解(二)

发布时间:2014-01-25 15:59:19  

中学数学竞赛讲座及练习(第20讲)因式分解(二)

第二十讲 因式分解(二)

1.双十字相乘法

分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.

例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

可以看作是关于x的二次三项式.

对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]

=(x+2y-3)(2x-11y+1).

上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:

它表示的是下面三个关系式: (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2; (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3; (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3. 这就是所谓的双十字相乘法. 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是: (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);

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(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.

例1 分解因式:

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;

(2)x2-y2+5x+3y+4;

(3)xy+y2+x-y-2;

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.

(1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1).

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4).

(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.

原式=(y+1)(x+y-2).

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.

2.求根法

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如

f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,

当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0;

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f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.

若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.

根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.

定理2若既约分数是整系数多项式f(x)?a0xn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an 的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.

我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.

例2 分解因式:x3-4x2+6x-4.

分析 这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有

f(2)=23-4×22+6×2-4=0,

即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x-2.

解法1 用分组分解法,使每组都有因式(x-2).

原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2).

解法2 用多项式除法,将原式除以(x-2),

qp

所以

原式=(x-2)(x2-2x+2).

说明 在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.

例3 分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2.

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分析 因为9的约数有±1,±3,±9;-2的约数有±1,±2,所以原式的

121212有理根只可能是±1,±2,±3,±3,±9 ,±9 ,经检验,只有=-3和 312是原式的根,所以原式有因式x+3和x-3 ,又因为:

所以,原式有因式9x2-3x-2.

解 9x4-3x3+7x2-3x-2

=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x2-3x-2)(x2+1)

=(3x+1)(3x-2)(x2+1)

说明 若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式

可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.

总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.

3.待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.

在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的

方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.

例4 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),

若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.

解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

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比较两边对应项的系数,则有

解之得m=3,n=1.所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1).

说明 本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.

例5 分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7.

分析 本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为

(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.

解 设

原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,

所以有

由bd=7,先考虑b=1,d=7有

所以

原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).

说明 由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止.

本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.

练习二

1.用双十字相乘法分解因式:

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;

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(2)x2-xy+2x+y-3; (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2. 2.用求根法分解因式: (1)x3+x2-10x-6; (2)x4+3x3-3x2-12x-4; (3)4x4+4x3-9x2-x+2. 3.用待定系数法分解因式: (1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20; (2)x4+5x3+15x-9.

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