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中学数学竞赛讲座及练习(第10讲)+整式的乘法与除法 学生版

发布时间:2014-01-25 15:59:20  

中学数学竞赛讲座及练习(第10讲)整式的乘法与除法

第十讲 整式的乘法与除法

中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的,因而保留着许多数的特征,研究的内容与方法也很类似.例如,整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比;也像数的运算在算术中占有重要的地位一样,整式的运算也是代数中最基础的部分,它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用.通过整式的运算,同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上,进一步提高自己的运算能力.为此,本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法.

整式是多项式和单项式的总称.整式的乘除主要是多项式的乘除.下面先复习一下整式计算的常用公式,然后进行例题分析.

正整数指数幂的运算法则:

(1)aM· an=aM+n; (2)(ab)n=anbn; (3)(aM)n=aMn;

an?a?MnM-n (4)a÷a=a(a≠0,m>n); (5)???nb?b?

常用的乘法公式:

(1)(a+b)(a+b)=a2-b2;

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2;

(3)(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3; n(b?0)

(4)(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3;

(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后,x2项的系数 .

说明 应用乘法公式的关键,是要理解公式中字母的广泛含义,对公式中的项数、次数、符号、系数,不要混淆,要达到正确、熟练、灵活运用的程度,这样会给解题带来极大便利.

例2 先化简,再求当x?9时, (x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2.的值 13

例3 化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1],其中n为大于1的整数.

说明 本例可推广为一个一般的形式:(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn.

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中学数学竞赛讲座及练习(第10讲)整式的乘法与除法

例4 计算

(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b); (2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4).

例5 设x,y,z为实数,且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2,

求(yz?1)(zx?1)(xy?1)的值。 222(x?1)(y?1)(z?1)

说明 本例中多次使用完全平方公式,但使用技巧上有所区别,请仔细琢磨,灵活运用公式,会给解题带来益处.

我们把形如

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,常用f(x),g(x),…表示一元多项式.

多项式的除法比较复杂,为简单起见,我们只研究一元多项式的除法.像整数除法一样,一元多项式的除法,也有整除、商式、余式的概念.一般地,一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时,总存在一个商式q(x)与一个余式r(x),使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立,其中r(x)的次数小于g(x)的次数.特别地,当r(x)=0时,称f(x)能被g(x)整除.

例6 设g(x)=3x2-2x+1,f(x)=x3-3x2-x-1,求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x).

例7 试确定a和b,使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除.

练习十

1.计算:

(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2; (2)(x+y)4(x-y)4; (3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc).

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2.化简:

(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z); (2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)

(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z).

3.已知z2=x2+y2,化简 (x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z).

4.设f(x)=2x3+3x2-x+2,求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式.

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