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中学数学竞赛讲座及练习(第18讲)+生活中的数学 学生版

发布时间:2014-01-25 15:59:22  

中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第18讲)生活中的数学

第十八讲 生活中的数学

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题,几乎人人都会遇到,因此,我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识,以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力.

一.储蓄

银行对存款人付给利息,这叫储蓄.存入的钱叫本金.一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和.

利息=本金×利率×存期,

本利和=本金×(1+利率经×存期).

如果用p,r,n,i,s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和,那么有

i=prn,s=p(1+rn).

3年后得到利息多少元? 例1 设年利率为0.0171,某人存入银行2000元,

本利和为多少元?

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元).

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元).

答 某人得到利息102.6元,本利和为2102.6元.

以上计算利息的方法叫单利法,单利法的特点是无论存款多少年,利息都不加入本金.相对地,如果存款年限较长,约定在每年的某月把利息加入本金,这就是复利法,即利息再生利息.目前我国银行存款多数实行的是单利法.不过规定存款的年限越长利率也越高.例如,1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22.1所示.

用复利法计算本利和,如果设本金是p元,年利率是r,存期是n年,那么若第1年到第n年的本利和分别是s1,s2,…,sn,则

s1=p(1+r),

s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2,

s3=s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3,

……,

sn=p(1+r)n.

例2 小李有20000元,想存入银行储蓄5年,可有几种储蓄方案,哪种方案获利最多?

解 按表22.1的利率计算.

(1)连续存五个1年期,则5年期满的本利和为

20000(1+0.0522)5≈25794(元).

(2)先存一个2年期,再连续存三个1年期,则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元).

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(3)先连续存二个2年期,再存一个1年期,则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元).

(4)先存一个3年期,再转存一个2年期,则5年后的本利和为

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元).

(5)先存一个3年期,然后再连续存二个1年期,则5年后本利和为

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元).

(6)存一个5年期,则到期后本利和为

20000(1+0.0666×5)≈26660(元).

显然,第六种方案,获利最多,可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案,利率是合理的.

例3 小华是独生子女,他的父母为了给他支付将来上大学的学费,从小华5岁上小学前一年,就开始到银行存了一笔钱,设上大学学费每年为4000元,四年大学共需16000元,设银行在此期间存款利率不变,为了使小华到18岁时上大学本利和能有16000元,他们开始到银行存入了多少钱?(设1年、3年、5年整存整取,定期储蓄的年利率分别为5.22%,6.21%和6.66%)

解 从5岁到18岁共存13年,储蓄13年得到利息最多的方案是:连续存两个5年期后,再存一个3年期.

设开始时,存入银行x元,那么第一个5年到期时的本利和为

x+x·0.0666×5=x(1+0.0666×5).

利用上述本利和为本金,再存一个5年期,等到第二个5年期满时,则本利和为

x(1+0.0666×5)+x(1+0.0666×5)·0.0666×5

=x(1+0.0666×5)2.

利用这个本利和,存一个3年定期,到期时本利和为x(1+0.0666×5)2(1+0.0621×3).这个数应等于16000元,即

x(1+0.0666×5)2·(1+0.0621×3)=16000,

所以 1.777×1.186x=16000,

所以 x≈7594(元).

答 开始时存入7594元.

二.保险

保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业.例如,火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险,人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险,等等.下面举两个简单的实例.

例4 假设一个小城镇过去10年中,发生火灾情况如表22.2所示.

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试问:(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家?

(2)如果保户投保30万元的火灾保险,最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本?

解 (1)因为

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家),

365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4096(家).

11÷4096≈0.0026.

(2)300000×0.0026=780(元).

答(1)每年在1000家中,大约烧掉2.6家.

(2)投保30万元的保险费,至少需交780元的保险费.

例5 财产保险是常见的保险.假定A种财产保险是每投保1000元财产,要交3元保险费,保险期为1年,期满后不退保险费,续保需重新交费.B种财产保险是按储蓄方式,每1000元财产保险交储蓄金25元,保险一年.期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金,以利息作为保险费.今有兄弟二人,哥哥投保8万元A种保险一年,弟弟投保8万元B种保险一年.试问兄弟二人谁投的保险更合算些?(假定定期存款1年期利率为5.22%)

解 哥哥投保8万元A种财产保险,需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240(元).

弟弟投保8万元B种财产保险,按每1000元交25元保险储蓄金算,共交

80000÷1000×25=2000(元),

而2000元一年的利息为

2000×0.0522=104.4(元).

兄弟二人相比较,弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60(元).

因此,弟弟投的保险更合算些.

三.纳税

纳税是每个公民的义务,对于每个工作人员来说,除了工资部分按国家规定纳税外,个人劳务增收也应纳税.现行劳务报酬纳税办法有三种:

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元),预扣率为3%,全额计税.

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下,减除费用800元后的余额,依照20%的比例税率,计算应纳税额.

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的,减除20%的费用后,依照20%的比例税率,计算应纳税额.

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略).

由(1),(2),(3)的规定,我们如果设个人每次劳务报酬为x元,y为相应的纳税金额(元),那么,我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数:

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例6 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元,已知小王的报酬是小张的2倍多,两人共缴纳个人所得税1560元,问小王和小张各得劳务报酬多少元? 解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①),从已知条件分析可知小王的收入超过4000元,而小张的收入在1000~4000之间,如果设小王的收入为x元,小张的收入为y元,则有方程组:

由①得y=10000-x,将之代入②得 x(1-20%)20%+(10000-x-800)20%=1560, 化简、整理得 0.16x-0.2x+1840=1560, 所以 0.04x=280,x=7000(元). 则 y=10000-7000=3000(元). 所以

答 小王收入7000元,小张收入3000元.

例7 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额.

那么若小红的爸爸取得一笔稿费,缴纳个人所得税后,得到6216元,问这笔稿费是多少元?

解 设这笔稿费为x元,由于x>4000,所以,根据相应的纳税规定,有方程

x(1-20%)· 20%×(1-30%)=x-6216,

化简、整理得

0.112x=x-6216,

所以 0.888x=6216,

所以 x=7000(元).

答 这笔稿费是7000元.

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练习二十二

1.按下列三种方法,将100元存入银行,10年后的本利和各是多少?(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22%,6.21%,6.66%保持不变) (1)定期1年,每存满1年,将本利和自动转存下一年,共续存10年; (2)先连续存三个3年期,9年后将本利和转存1年期,合计共存10年;

(3)连续存二个5年期.

2.李光购买了25000元某公司5年期的债券,5年后得到本利和为40000元,问这种债券的年利率是多少?

3.王芳取得一笔稿费,缴纳个人所得税后,得到2580元,问这笔稿费是多少元?

4.把本金5000元存入银行,年利率为0.0522,几年后本利和为6566元(单利法)?

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四、地板砖展铺的图形

地板砖展铺的图形,一般都是用几种全等的平面图形展铺开来的,有时用由直线构成的多边形组成的图案,有时用由曲线组成的图案,千变万化.但是作为基础还是用平面多边形展铺平面.有时虽然有曲线,却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的.例如,一个由正方形展铺的平面图案(图1-77(a)),如果对正方形用圆弧做一些变化(图1-77(b)),那么把以上两个图形结合起来设计,就可由比较单调的正方形图案,变化曲线形成花纹图案了(图1-77(c)).

由于多边形是构成地板砖展铺复杂图形的基础,因此,下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析.

例1 怎样以三角形为基础展铺平面图案.

分析与解 三角形是多边形中最简单的图形,如果用三角形为基本图形来展

那么就要考虑三角形的特点.铺平面图案,由于三角形的三个内角和为180°,

所以要把三角形的三个角集中到一起,就组成了一个平角.如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角,那么必须使这些角的和为两个平角.因此,若把图1-78中的三角形的三个内角集中在一起,并进行轴对称变换或中心对称变换,就可以得到集中于一点的六个角,它们的和为360°,刚好覆盖上这一点周围的平面.变换的方法见图1-79.

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在中心对称的情况下,三角形不翻折,在轴对称的情况下,三角形要翻折.如果把三角形正、反两面涂上颜色,那么通过对称变换,正、反两面就会明显地反映出来了.

由上面的分析可知,用三角形为基本图形展铺平面图案,共有以下四种情况,如图1-80.

例2 怎样以四边形为基础展铺平面图案?

分析与解 由于四边形内角和为360°,所以,任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案.图1-81中的(a),(b),(C),(d)分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案.

例3 怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案?

分析与解 用正多边形为基本图形展铺平面图案,集中于一点的周围的正多边形的各个角的和应是360°.例如,

正五边形一个内角为

正十边形一个内角为

如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来,则其和为2×108°+144°=360°.但是它们并不能用来展铺平面.

如果用同种的正n边形来展铺平面图案,在一个顶点周围集中了m个正n边形的角.由于这些角的和应为360°,所以以下等式成立

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因为m,n都是正整数,并且m>2,n>2.所以m-2,n-2也都必定是正整数.所以当n-2=1,m-2=4时,则n=3,m=6;当n-2=2,m-2=2时,则n=4,m=4;当n-2=4,m-2=1时,则n=6,m=3.这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案,只存在三种情况:

(1)由6个正三角形拼展,我们用符号(3,3,3,3,3,3)来表示(见图1-82).

(2)由4个正方形拼展,我们用符号(4,4,4,4)来表示

(见图1-83).

(3)由3个正六边形来拼展,我们用符号(6,6,6)来表示(见图1-84).

如果用两种正多边形来拼展平面图案,那么就有以下五种情况:(3,3,3,4,4),(3,3,3,3,6),(3,3,6,6),(3,12,12)以及(4,8,8).这五种情况中,(3,3,3,4,4)又可有两种不同的拼展方法,参看下面六种拼展图形(图1-85).

用三种正多边形展拼平面图形就比较难设计了.下面举出两例供同学们思考(图1-86).

有兴趣的同学请自己构想出一两个例子.

练习二十三

1.试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案.

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2.试用形如图1-87的图形拼展平面图案.

3.试用边长为1的正三角形、边长为1的正方形和两腰为1、夹角为120°的等腰三角形拼展平面图案.

4.试用圆弧和多边形(多边形可以用圆弧割补)设计一种平面图案.

5.试用一个正方形,仿照图1-76(a),(b),(c)的变化方式,设计一种平面图案.

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