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[高二]希望杯数学竞赛试题(第八届第2试)

发布时间:2014-01-25 15:59:28  

第八届“希望杯”全国数学邀请赛

高二 第2试

一、选择题

1.数列{an}的前n项和Sn=

n,若bn=2,则bn的前998项的和是

A.?

1

1?

11 B. C. D. 2222

2.不等式2lg(arcsinx)≤lg(arcsinx?2)的解集是

A.(0,1] B.[?sin1,sin2] C.(0,sin2] D.空集

3.三角形ABC的三条边的长a,b,c依次成等比数列,则sinB+cosB的取值范围是

A.

B.[,1+

1

2 C.

D.,1]

22

4.函数f(x)=sinx+的最小值是

A.3 ?

B.2?

D.22

5.正方体中ABCD?A1B1C1D1,M,N分别是棱C1D1,AB的中点;A1,M,C,N四点在同一个平面内;则CD和平面A1MCN所成的角的正弦值是 A.1 B. C. D. 2

2

3

4

226.直线y=x+1与椭圆mx+ny=1(m,n>0)相交于A,B两点,弦AB的中点的横坐标1y2x2

是?,则双曲线2?2=1的两条渐进线所夹的锐角等于 3mn

A.2arctan2 B.2arctan11 C.π?2arctan2 D.π?2arctan 22

x2y2

7.下列椭圆中和双曲线 +=1共焦点的是 ?pq

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.+=1 B.+=?1 C.+=1 D.+=?1 2q+pq2q+pq2p+qp2p+qp

8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S1=1,点(n,Sn)在曲线C上,C和直线x?y+1=0交于A、B

两点,|AB|=,那么这个数列的通项公式是

A.an=2n?1 B.an=3n?2 C.an=4n?3 D.an=5n?4

9.方程cosx=x+sinx的实根个数是

A.1 B.2 C.3 D.4

10.数列n∈N+}的前1000000项和的整数部分是 A.1997 B.1998 C.1999 D.2000

二、填空题

11.等差数列{an}中,a5=9,a10=19,则2

2n+1?3是这个数列中的第_____项. 212.如果函数f(x)=ax+bx+c,x∈[2a?3,a]是偶函数,则a=_____;b=_____.

13.一半球的体积是18π,则此半球的内接正方体的表面积是_____.

14.某工厂产值连续三年增长,已知年平均增长率为p,若这三年的增长率分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的最小值是_____.

15.已知函数f(x)=loga2(x?ax?a),如果该函数的定义域是R,那么实数a的取值范

围是_____;如果该函数的值域是R,那么实数a的取值范围是_____.

16.不等式21<log2(x?1)217.抛物线y=ax+bx+c的顶点在以该抛物线截x轴所得线段为直径的圆的内部,则

a,b,c之间的关系是_____. 18.函数y=1+cosx的值域是_____. sinx+cosx+2

19.将平面直角坐标系以x轴为棱折成直二面角,则该坐标系中的直线x?y=1折成的角的大小等于_____.

20.若f(x)是定义域为R

的函数,并且f(x+2)×[1?f(x)]=1+f(x),f(1)=2+,则f(1997)=_____.

三、解答题

21.某城市1996年底人口为92万人,人均住房面积5平方米.

(1)若该城市自1997年起人口年均增长率为2%,城市规划要求到2004年末人均住房面积不少于8平方米,那么,该城市自1997年起,每年新建住房面积至少是多少万平方米?(答案要求精确到万平方米,以下数据供选用1.02??1.06,1.02??1.13,1.02??1.17)

(2)若该城市自1997年起每年新建住房40万平方米,为了使得到2004年末时,人均住房面积不少于8平方米,那么人口年均增长率不得高于多少?(答案要求精确到0.001,当x很小时,可用近似公式(1+x)≈1+nx)

22.在三角形ABC

中,三条边的长分别为a=n368b=2,c=3,作此三角形的内切圆O1;再作与边AB、AC及圆O1都相切的圆O2;又作与AB、AC和圆O2都相切的圆O3;如此继续下去做这样相切的圆,求所有这种圆的面积之和.

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