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1992年希望杯第3届七年级第2试及答案

发布时间:2014-01-25 17:02:21  

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希望杯第三届(1992年)初中一年级第二试题

一、选择题(每题1分,共10分)

1.若8.0473=521.077119823,则0.80473等于 [ ]

A.0.521077119823.B.52.1077119823.C.571077.119823.D.0.00521077119823.

2.若一个数的立方小于这个数的相反数,那么这个数是 [ ]

A.正数. B.负数.C.奇数. D.偶数.

3.若a>0,b<0且a<|b|,则下列关系式中正确的是 [ ]

A.-b>a>-a>b. B.b>a>-b>-a.C.-b>a>b>-a. D.a>b>-a>-b.

4.在1992个自然数:1,2,3,?,1991,1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号,则其代数和一定是 [ ]

A.奇数. B.偶数.C.负整数. D.非负整数.

5.某同学求出1991个有理数的平均数后,粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起,成为1992个有理数,而忘掉哪个是平均数了.如果这1992个有理数的平均数恰为1992.则原来的1991个有理数的平均数是

A.1991.5. B.1991.C.1992. D.1992.5.

6.四个互不相等的正数a,b,c,d中,a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是[ ]

A.a+d<b+c. B.a+d>b+c.C.a+d=b+c. D.不确定的. [ ]

?x?1992y?p7.已知p为偶数,q为奇数,方程组?的解是整数,那么[ ] 1993x?3y?q?

A.x是奇数,y是偶数.B.x是偶数,y是奇数.

C.x是偶数,y是偶数.D.x是奇数,y是奇数.

8.若x-y=2,x+y=4,则x

A.4. 2221992+y1992的值是 [ ] 1992B.1992.C.21992. D.4.

9.如果x,y只能取0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的数,并且3x-2y=1,那么代数式10x+y可以取到[ ]不同的值.

A.1个. B.2个.C.3个. D.多于3个的.

10.某中学科技楼窗户设计如图15所示.如果每个符号(窗户形状)代表一个阿拉伯数码,每横行三个符号自左至右看成一个三位数.这四层组成四个三位数,它们是837,

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571,206,439.则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的

[ ]

二、填空题(每题1分,共10分)

1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且a1b1c1d1e1f?,?,?,?,?,则=_____. b2c3d4e5f6a

2.若三个连续偶数的和等于1992.则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______.

3.若x+y=1000,且xy-xy=-496,则(x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)=______.

4.三个互不相等的有理数,既可表示为1,a+b,a的形式,又可表示为0,

则a19923322332223b,b, 的形式,a+b1993=________.

5.海滩上有一堆核桃.第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的

第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的

____个. 2,又扔掉4个到大海中去,55,那么这堆核桃至少剩下8

6.已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1,2,3.那么a的取值范围是______.

7.a,b,c是三个不同的自然数,两两互质.已知它们任意两个之和都能被第三个整除.则a+b+c=______.

8.若a=1990,b=1991,c=1992,则a2+b2+c2-ab-bc-ca=______.

9.将2,3,4,5,6,7,8,9,10,11这个10个自然数填到图17中10个格子里,每个格子中只填一个数,使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p.则p的最大值是______.

333

10.购买五种教学用具A1,A2,A3,A4,A5的件数和用钱总数列成下表:

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那么,购买每种教具各一件共需______元.

三、解答题(每题5分,共10分)

1.将分别写有数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的九张正方形卡片排成一排,发现恰是一个能被11整除的最大的九位数.请你写出这九张卡片的排列顺序,并简述推理过程.

2.一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.

(1)请你举例说明:“希望数”一定存在.

(2)请你证明:如果a,b都是“希望数”,则ab一定是729的倍数.

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答案与提示

一、选择题

提示:

所以将8.047=512.077119823的小数点向前移三位得0.512077119823,即为0.8047的值,选A.

2.设该数为a,由题意-a为a的相反数,且有a<-a,

∴a+a<0,a(a+1)<0,

因为a2+1>0,所以a<0,即该数一定是负数,选B.

3.已知a>0,b<0,a<|b|.在数轴上直观表示出来,b到原点的距离大于a到原点的距离,如图18所示.所以-b>a>-a>b,选A.

4.由于两个整数a,b前面任意添加“+”号或“-”号,其代数和的奇偶性不变.这个性质对n个整数也是正确的.因此,

1,2,3?,1991,1992,的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号,其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-?-1991+1992=996的奇偶性相同,是偶数,所以选B.

5.原来1991个数的平均数为m,则这个1991个数总和为m×1991.当m混入以后,那1992个数之和为m×1991+m,其平均数是1992,

∴m=1992,选C.

6.在四个互不相等的正数a,b,c,d中,a最大,d最小,因此有a>b,a>c,a>d,b>d,c>d.

32333

所以a+b>b+c,成立,选B.

7.由方程组

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以及p为偶数,q为奇数,其解x,y又是整数.

由①可知x为偶数,由②可知y是奇数,选B.

8.由x-y=2 ①

平方得x2-2xy+y2=4

又已知x2+y2=4 ③

所以x,y中至少有一个为0,但x2+y2=4.因此,x,y中只能有一个为0,另一个为2或-2.无论哪种情况,都有

x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992,选C.

9.设10x+y=a,又3x-2y=1,代入前式得

由于x,y取0—9的整数,10x+y=a的a值取非负整数.由(*)式知,要a为非负整数,23x必为奇数,从而x必取奇数1,3,5,7,9.

三个奇数值,y相应地取1,4,7这三个值.这时,a=10x+y可以取到三个不同的值11,34和57,选C.

二、填空题

提示:

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与666,所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于

666-662=(666+662)(666-662)=1328×4=5312.

3.由于x+y=1000,且xy-xy=-496,因此要把(x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)分组、凑项表示为含x+y及xy-xy的形式,以便代入求值,为此有

(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=1992.

4.由于三个互不相等的有理数,既可表示为1

3322332233222322

下,只能是b=1.于是a=-1.

所以,a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2.

5.设这堆核桃共x个.依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目(正整数),即

目标是求m的最小正整数值.

可知,必须20|x即x=20,40,60,80,??

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m为正整数,可见这堆核桃至少剩下6个.

由于x取整数解1、2、3,表明x不小于3,

即9≤a<12.

可被第三个整除,应有b|a+c.

∴b≥2,但b|2,只能是b=2.

于是c=1,a=3.因此a+b+c=3+2+1=27+8+1=36.

8.因为a=1990,b=1991,c=1992,所以

a+b+c-ab-bc-ca 222

333333

9.将2,3,4,5,6,7,8,9,10,11填入这10个格子中,按田字格4个数之和均等于p,其总和为3p,其中居中2个格子所填之数设为x与y,则x、y均被加了两次,所以这3个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y

于是得3p=65+x+y.

要p最大,必须x,y最大,由于x+y≤10+11=21.

所以3p=65+x+y≤65+21=86.

所以p取最大整数值应为28.

事实上,如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立.

所以p的最大值是28.

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10.设A1,A2,A3,A4,A5的单价分别为x1,x2,x3,x4,x5元.

则依题意列得关系式如下:

③×2-④式得

x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000.

所以购买每种教具各一件共需1000元.

三、解答题

1.解①(逻辑推理解)

我们知道,用1,2,3,4,5,6,7,8,9排成的最大九位数是987654321.但这个数不是11倍的数,所以应适当调整,寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数. 设奇位数字之和为x,偶位数字之和为y.

则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

由被11整除的判别法知

x-y=0,11,22,33或44.

但x+y与x-y奇偶性相同,而x+y=45是奇数,所以x-y也只能取奇数值11或33. 于是有

但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10>6.所以(Ⅱ)的解不合题意,应该排除,由此只能取x=28,y=17.

987654321的奇位数字和为25,偶位数字和为20,所以必须调整数字,使奇位和增3,偶位和减3才行。为此调整最后四位数码,排成987652413即为所求.

解②(观察计算法)

987654321被11除余5.因此,987654316是被11整除而最接近987654321的九位数.但

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987654316并不是由1,2,3,4,5,6,7,8,9排成的,其中少数字2,多数字6.于是我们由987654316开始,每次减去11,直到遇到恰由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的九位数为止.其过程是

987654316→987654305→987654294→987654283

→987654272→987654261→987654250→987654239

→987654228→987654217→987654206→987654195

→987654184→??→987652435→987652424

→987652413.

这其间要减去173次11,最后得出一个恰由九个数码组成的九位数987652413,为所求,其最大性是显见的,这个方法虽然操作173次,但算量不繁,尚属解决本题的一种可行途径,有一位参赛学生用到了此法,所以我们整理出来供大家参考.

2.(1)答:由于428571=3×142857,所以428571是一个“希望数”.

说明:一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解定义的能力,并能举例说明被定义的对象存在.在一位数、二位数、三位数中找不到“希望数”.而在四位数中很容易找到实例.

如:3105=3×1035,所以3105是个“希望数”;

或:7425=3×2475,所以7425是个“希望数”;

或:857142=3×285714,所以857142是个“希望数”;

以下我们再列举几个同学们举的例子供参考,如:

37124568=3×12374856

43721586=3×14573862

692307=3×230769

461538=3×153846

705213=3×235071

8579142=3×2859714

594712368=3×198237456

37421568=3×12473856

341172=3×113724.

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可见37124568,43721586,592307,461538,705213,8579142,594712368,37421568,341172都是希望数,事实上用3105是希望数,可知31053105也是“希望数”,只要这样排下去,可以排出无穷多个“希望数”.因此,“希望数”有无穷多个.

(2)由a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和.

由a=3p和a为3的倍数.

因此a被9整除.

于是a是27的倍数.

这样就证明了,“希望数”一定能被27整除.

现已知a,b都是“希望数”,所以a,b都是27的倍数.

即a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数).

所以ab=(27n1)(27n2)

=(27×27)(n1×n2)

=729n1n2.

所以ab一定是729的倍数.

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