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[高二]希望杯数学竞赛试题(第十三届第1试)

发布时间:2014-01-25 17:02:23  

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛

高二 第一试

一、选择题

221、已知关于x的方程x-4x+a=0和x-4x+b=0 (a,b∈R,a≠b)的四个根组成首项为–1的等

差数列,则a+b的值等于 ( )

A.2 B.-2 C. 4 D. – 4

2、函数y=g(x)的图象与y=f(x)=arccos(x-1)图象关于原点对称,则y=g(x)解析式是( )

A.arccos(x+1)-π B.arccos(x+1)+π C.π-arccos(x+1) D.-arccos(x+1)

3.在以下关于向量的命题中,不正确的命题是( ) GGKKA.若向量a=(x,y),向量b=(?y,x),则a⊥b

B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=

且=

C.若点G是△ABC的重心,则++=0

D. △ABC中,和的夹角等于180°-A

4.某个命题与自然数n有关.如果当n=k(k∈N)时,该命题成立,m则可推出n=k+1时该命题也成立。现已知当n=10时该命题不成立,那么可推得( ) A. 当n=11时,该命题不成立. B.当n=11时,该命题成立 1C. 当n=9时,该命题不成立 D.当n=9时, 该命题成立

5.如图1,设ABC-A1B1C1是直三棱柱,AB=AC,∠BAC=90°,M,Q分别

是CC1、BC的中点,P点在A1B1上且A1P:PB1=1:2. 如果AA1=AB,

则AM与PQ所成的角等于( ) 1 C. 60° D. 30° 3

126.Let functions f(x)=x+px+q and g(x)=2x? attain the equal minimum at the xA.90° B.arccos

same point of the interval [1,2],Then minimum of p2-6q is ( )

A. -9 B. -8 C. not existing D. undetermined.

sinx的值域是 ( ) sin2x+sinx+2

?11??11??11??11? A.??,? B. ??,? C. ??,? D. ??,? ?44??24??22??42?

8.等差数列{an}中,已知3a5=7a10,且a1<0,则前几项和S n(n∈N)中最小的是 ( ) 7.函数y=

A. S 7或S 8 B. S 12 C. S 13 D. S 15

9.在直角坐标平面内,A点在(4,0),B点在圆(x-2)2+y2=1上,以AB为边作正三角形ABC(A、

B、C按顺时针排列),则顶点C的轨迹是 ( )

A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线的一支

10.过椭圆的一个焦点F作与椭圆长轴的夹角为arccos

若AF:BF=1:3,那么椭圆的离心率等于 ( ) A.3的直线,交椭圆于A、B两点。4122 B. C. D. 3333

二、A组填空题

11.当0<θ<π

4时,p=sinθ+cscθ和q=tanθ+cotθ的大小关系是

12.凸四边形ABCD中,DC∥AB,AD=BC=CD=1,AB=2。以它的一边为轴旋转,所得旋转体的体积最大可达到

13.记号[x]表示不超过x的最大整数,则方程log3([x]?1)=[x]?6的解是

3

14.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和S n,T n的比Sn3n+1。用n表示,则=Tn2n+7

a2n+1= b2n+1

15.使+i为纯虚数的正整数n的最小值等于216.为使函数f(x)=x+2x+cos2θ?3sinθ+2的值恒为正,则参数θ在区间(0,π)

32)2上的取值范围是 17.已知函数f(x)=ax+bx+cx+d满足f(-1)>0,且方程f(x)=0有三个根0、1、2,那

么c的取值范围是

18.抛物线y=x?4x?a+4a(0<a≤2)和x轴交于A、B两点,动圆M过点A、B且和y轴切于点C,O是原点,则OC的取值范围是 22

1bx2y2

19.从点P(2a,0)看椭圆2+2=1(a>b>0)上两点,最大的视角为2arctan,则的2aab

值等于

20.There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A) Flying westward (向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia, then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (120°east longitude, 40°north latitude), New York(70°east longitude, 40°north latitude), Friemander(120°east longitude, 30°north latitude), Santiago(70°east longitude, 30°north latitude), Suppose that the air lines go along the spherical distance, then the projest of the shorter distance is

三、B组填空题

21.若方程x?4x+3?x=a有三个不相等的实数根,则a=

22.已知点A(3,1),点M,N分别在直线y=x和y=0上,当△AMN的周长最小时,点M的坐标是 ,点N的坐标是

23.数列{an}满足递推关系an=2+21an?1(n>1),且首项a1=5,则通项公式an 5

limann→∞

x2?1≥a的解是 24.若a≤-1,则不等式x

25.某工厂安排甲、乙两种产品的生产。已知每生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D

的数量分别是1吨、2吨、2吨、7吨;每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别是1吨、4吨、1吨。由于原材料的限制,每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原料分别为80吨、80吨、60吨、70吨。若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元。要想获得最大的利润,应该在每个生产周期安排生产甲产品吨,期望的最大利润是 百万元。

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