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1991年第二届希望杯初一2试及答案

发布时间:2014-01-25 17:02:26  

希望杯第二届(1991年)初中一年级第2试试题

一、 选择题(每题1分,共10分)

1.设a,b为正整数(a>b).p是a,b的最大公约数,q是a,b的最小公倍数.则p,q,a,b的大小关系是 ( )

D.p≥a>b≥q. A.p≥q≥a>b. B.q≥a>b≥p. C.q≥p≥a>b.

2.一个分数的分子与分母都是正整数,且分子比分母小1,若分子和分母都减去1,则所得分数为小于6的正数,则满足上述条件的分数共有( ) 7

B.6个. C.7个. D.8个. A.5个.

3.下列四个等式:

A.3个. a222=0,ab=0,a=0,a+b=0中,可以断定a必等于0的式子共有 ( ) bC.1个. D.0个. B.2个.

4.a为有理数.下列说法中正确的是( )

A.(a+1) 2的值是正数.B.a2+1的值是正数.C.-(a+1)2的值是负数.D.-a2+1的值小于1.

5.如果1<x<2,则代数式x?2x?x??的值是( ) x?2x?1x

A.-1. B.1. C.2. D.3.

6.a,b,c均为有理数.在下列

甲:若a>b,则ac>bc.乙:若ac>bc,则a>b.两个结论中, ( )

A.甲、乙都真. B.甲真,乙不真.C.甲不真,乙真. D.甲、乙都不真.

7.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为

( )

A.2a+3b-c. B.3b-c.C.b+c. D.c-b. 2222

8.①若a=0,b≠0,方程ax=b无解.②若a=0,b≠0,不等式ax>b无解.③若a≠0,则方程ax=b有唯一解x=bb;④若a≠0,则不等式ax>b的解为x>.则( ) aa

A.①、②、③、④都正确.B.①、③正确,②、④不正确.

C.①、③不正确,②、④正确.D.①、②、③、④都不正确.

9.若abc=1,则abc??的值是( ) ab?a?1bc?b?1ca?c?1

A.1. B.0. C.-1. D.-2.

10.有一份选择题试卷共六道小题.其得分标准是:一道小题答对得8分,答错得0分,不答得2分.某同学共得了20分,则他( )

A.至多答对一道小题.B.至少答对三道小题.

C.至少有三道小题没答.D.答错两道小题.

二、填空题(每题1分,共10分)

1. 绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______.

mm?900?2132112. 单项式xyz与3xy2z7?17是同类项,则m=________. 4

3. 化简:190091=_________. 199019912?19901989?19901991

11,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的,则哥哥现在254. 现在弟弟的年龄是哥哥年龄的

的年趟龄是_____.

5. 某同学上学时步行,放学回家乘车往返全程共用了1.5小时,若他上学、下学都乘车.则只需0.5小时.若他上学、下学都步行,则往返全程要用______小时.

6. 四个连续正整数的倒数之和是19,则这四个正整数两两乘积之和等于______. 20

7.1.23452+0.76552+2.469×0.7655=______.

8.在计算一个正整数乘以3.57的运算时,某同学误将3.57错写为3.57,结果与正确答案相差14,则正确的乘积是_______.

9.某班学生人数不超过50人.元旦上午全班学生的..21去参加歌咏比赛, 全班学生的94去玩乒乓球,而其余学生都去看电影,则看电影的学生有________人.

10.游泳者在河中逆流而上.于桥A下面将水壶遗失被水冲走.继续前游20分钟后他发现水壶遗失,于是立即返回追寻水壶.在桥A下游距桥A 2公里的桥B下面追到了水壶.那么该河水流的速度是每小时______公里.

三、解答题(每题5分,共10分,要求:写出完整的推理、计算过程,语言力求简明,字迹与绘图力求清晰、工整)

1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数,问从这100名运动员中至少要选出多少人,才能使在被选出的人中必有两人,他们运动服的号码数相差9?请说明你的理由.

2.少年科技组制成一台单项功能计算器,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算过程是:输入第一个整数x1,只显示不运算,接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果,此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算,现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入,全部输入完毕之后显示的最后结果设为p.试求出p的最大值,并说明理由.

答案与提示

一、选择题

1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D

提示:

1.两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者.两个自然数的最大公约数一定不大于两数中较小者.所以q≥a>b≥p.选B.

,也有a必为0.所以a必为0的式子共有3个.

选A.

4.a=-1时(a+1)2=0,A不真;a=-1时-(a+1)2=0,C也不真;a=0时-a2+1=1,D不真;只有对任意有理数a,a+1>0成立.选B.

5.当1<x<2时,x>0,x-1>0,x-2<0.

∴|x|=x,|x-1|=x-1,|x-2|=2-x.

2

=-1-(-1)+1=1.选B.

6.若c=0,甲不正确.对于乙,若ac>bc,可推出c≠0,∴c>0,进而推出a>b,乙正确.选C.

c-b>0,|b-c|=c-b.∴|a|+|b|+|a+b|+|b-c|=-a+b+a+b+c-b=b+c.选C.

8.若a=0,b=-1,0x>-1,可见②无解不

9.abc=1,则a,b,c均不为0. 222

选A.

10.设选对x题,不选的有z题,选错的有y题.依题意有x+y+z=6,8x+2z=20(x≥0,y≥0,z≥0,且都为整数).解之得x=2,y=2,z=2,选D.

二、填空题

提示:

1.绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15,-14,14,15,其乘积为

(-14)(-15)(14)(15)=44100.

3.令n=19901990,n-1=19901989,19901991=n+1.

则分母199019912-19901989×19901991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1).

5.设步行速度为x,乘车速度为y,学校到家路程为s,则

6.设所求的四个连续整数分别为a,a+1,

∴a=2不合题设条件.

和为3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119.

7.令x=1.2345,y=0.7655,则2xy=2.469×0.7655,1.2345+0.7655+2.469×

0.7655=(x+y)=(1.2345+0.7655)=2=4 222

22

9.显然全班人数被9整除,也被4整除,所以被4和9的最小公倍36整除,但全班人数小于50,可见全班总计36人,看电影的同学为36-8-9=19.

10.设该河水速每小时x公里.游泳者每小时

解得x=3.即该河水速每小时3公里.

三、解答题

1.若选出54个人,他们的号码是1,2,?,8,9,19,20,?,26,27,37,38?,44,45,55,56,?,62,63,73,74,?,80,81,91,92?,98,99.的时候,任两个人号码数之差均不等于9.

可见,所选的人数必≥55才有可能.

我们证明,至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9.

被选出的55人有55个不同号码数,由于55=6×9+1,所以其中必有7个号码数被9除余数是相同的.但由1—100这一百个自然数中,被9除余数相同的数最多为12个数.因此7个数中一定有两个是“大小相邻”的,它们的差等于9.

所以至少要选出55名小运动员,才能使其中必有两人运动服的号码数相差9.

2.由于输入的数都是非负数.当x1≥0,x2≥0时,|x1-x2|不超过x1,x2中最大的数.对x1≥0,x2≥0,x3≥0,则||x1-x2|-x3|不超过x1,x2,x3中最大的数.小明输入这1991个数设次序是x1,x2,?,x1991,相当于计算:||?||x1-x2|-x3|??-x1990|-x1991|=P.因此P的值≤1991.

另外从运算奇偶性分析,x1,x2为整数.

|x1-x2|与x1+x2奇偶性相同.因此P与x1+x2+?+x1991的奇偶性相同.

但x1+x2+?+x1991=1+2+?1991=偶数.于是断定P≤1990.我们证明P可以取到1990. 对1,2,3,4,按如下次序|||1-3|-4|-2|=0.

|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0,对k=0,1,2,?均成立.因此,1-1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0.而后||1989-1990|-1991|=1990.

所以P的最大值为1990.

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