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“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

发布时间:2014-01-25 17:03:23  

2010年“北约”自主招生数学试题及解答

1.(仅文科做)0???,求证:sin????tan?.

【解析】 不妨设f(x)?x?sinx,则f(0)?0,且当0?x?

f?(x)?1?cosx?0.于是f(x)在0?x?

?

2

?

时,2

?

上单调增.∴f(x)?f(0)?0.即2

有x?sinx.

同理可证g(x)?tanx?x?0.

g(0)?0,当0?x?

?1?

时,g?(x)?2?1?0.于是g(x)在0?x?上单调增。

cosx22

∴在0?x?

?

上有g(x)?g(0)?0。即tanx?x。 2

注记:也可用三角函数线的方法求解.

2.AB为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB

【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点,此边所

在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

⑴当A,B中有一点位于P点时,知另一点位于R1或者R2时有最大值为PR1;当有一点位于O点时,

ABmax?OP?PR1;

.(25分)

⑵当A,B均不在y轴上时,知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值(否则取A点关于y轴的对称点A?,有AB?A?B). 不妨设A位于线段OR2上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使AB最大的B点必位于线段PQ上.

且当B从P向Q移动时,AB先减小后增大,于是

ABmax?AP或AQ;

对于线段PQ上任意一点B,都有BR2≥BA.于是ABmax?R2P?R2Q 由⑴,⑵知ABmax?R2P.不妨设为x. 下面研究正五边形对角线的长.

如右图.做?EFG的角平分线FH交EG于H. ?

易知?EFH??HFG??GFI??IGF??FGH?.

5

E1HG

1

1I1

F

于是四边形HGIF为平行四边形.∴HG?1.

EFFG

EHx1.解得x? ??

1x?

1HG由角平分线定理知

?

3.AB为y?1?x2上在y轴两侧的点,求过AB的切线与x轴围成面积的最小值.(25分) 【解析】 不妨设过A点的切线交x轴于点C,过B点的切线交x轴于点D,直线AC与直线

BD相交于点E.如图.设B(x1,y1),A(x2,y2), 且有y2?1?x22,y1?1?x12,x1?0?x2. 由于y???2x,

于是AC的方程为2x2x?2?y2?y;①

BD的方程为2x1x?2?y1?y. ②

y?y2

联立AC,BD的方程,解得E(1,1?x1x2).

2(x2?x1)2?y2

对于①,令y?0,得C(,0);

2x2

2?y1

对于②,令y?0,得D(,0).

2x1

2?y12?y21?x121?x22

于是CD?. ???

2x12x22x12x2

1

S?ECD?CD(1?x1x2).不妨设x1?a?0,?x2?b?0,则

2

11?a21?b2111

S?ECD?(?)(1?ab)?(2a?2b???a2b?

ab2)

4ab4ab1111

?(a?b)(2?ab?)≥?(2?ab?) ③

4ab4ab?s?0,则有

1111111

S?ECD?(s3?2s?)?(s3?s?..?s??...?)

2s23??39s???9s?????

6个 9个

1241161916116133≥?16??s??s)???]?8?

()?8??)2? ④

239s33又由当x1?a时,③,④处的等号均可取到.

x2??b?s?∴(S?ECD)min 11注记:不妨设g(s)?(s3?2s?),事实上,其最小值也可用导函数的方法求解. 2s

1111由g?(s)?(3s2?2?2)知当0?s2?时g?(s)?0;当?s2时g?(s)?0. 2s33

则g(s

)在(0,g(s)取得最小值. 上单调减,在??

)上单调增.于是当s

4.向量OA与OBOA?1OB?2,OP?(1?t)OA,OQ?tOB,0≤t≤1PQ

1在t0时取得最小值,问当0?t0?时,夹角的取值范围.(25分) 5

【解析】 不妨设OA,OB夹角为?,则OP?1?t,OQ?2t,令

g(t)?PQ?(1?t)2?4t2?2?(1?t)?2tcos??(5?4cos?)t2?(?2?4cos?)t?1. 2

1?2cos?1?2x51?2cos?1.而f(x)?在(?,??)上单调增,故?1≤ ≤.5?4cos?5?4x45?4cos?3

1?2cos?11?2cos?1?2?当0≤. ≤时,t0??(0,),解得???5?4cos?35?4cos?523其对称轴为t?

当?1≤1?2cos??0时,g(t)在[0,1]上单调增,于是t0?0.不合题意. 5?4cos?

?2?于是夹角的范围为[,]. 23

?,使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列.(25分) 2

(cosx?sinx)(cosx?sinx)【解析】 不存在;否则有cosx?sinx?cotx?tanx?, sinxcosx

cosx?sinx则cosx?sinx?0或者1?. sinxcosx

?若cosx?sinx?0,有x?

.而此时1,1不成等差数列; 224

cosx?sinx若1?,有(sinxcosx)2?1?

2sinxcosx.解得有sinxcosx?1. sinxcosx

11而sinxcosx?sin2x?(0,],矛盾! 22

5.(仅理科做)存不存在0?x?

2011年“北约”自主招生数学试题及解答

2012年“北约”自主招生数学试题及解答

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