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[高二]希望杯数学竞赛试题(第九届第2试)

发布时间:2014-01-25 17:03:31  

第九届“希望杯”全国数学竞赛

高二 第2试

一、选择题

1.曲线f(x,y)=0关于定点M(α,β)对称的曲线的方程是

A.f(α?x,β?y)=0 B.f(α+x,β+y)=0

C.f(2α?x,2β?y)=0 D.f(2α?x,2β?y)=0 2.函数f(x)=(cosαxcosβxπ)+(),0<α,β<,若x>0时 f(x)<2,则 sinβsinα2

B.0<α+β<A.0<α+β<π

4π2 C.π

4<α+β<π

2 D.α+β>π

2

3.函数y=arccos(ax?1)在[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是

A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(0,1] D.(0,2]

4.设S为半径等于1的圆内接三角形的面积,则函数4S+9的最小值是

S

A. B.

C.

4

4

225.已知复数z的模为1,则函数|z+iz+1|的值域是

A.[1?

6.若,1+

B.?+

1] C.?1,

1] D.[22

22(x,y)在平面直角坐标系内的轨迹是

A.一段圆弧 B.椭圆的一部分 C.双曲线一支的一部分 D.抛物线的一部分

7.设a,b是方程x+(cotθ)x?cosθ=0的两个不等实根,那么过点A(a,a)和B(b,b)的直线与圆的位置关系是

A.相离 B.相切 C.相交 D.随θ的值而变化

8.P是抛物线y=x上的任意一点,则当P和直线x+y+2=0上的点的距离最小时,P与该抛物线的准线的距离是 A.222211 B. C.1 D.2 92

9.二元函数(x?y)+(x+21+1)2的最小值是 y

A.13 C.2 D. 2

2

10.过球心的10个平面,其中任何三个平面都不交于同一条直线,它们将球面分成

A.92部分 B.1024部分 C.516部分 D.100部分

二、填空题

11.若x,y∈[?ππ,a∈R,且分别满足方程x3+sinx?2a=0和44

4y3+sinycosy+a=0,则cos(x+2y)=_____.

12.四面体A?BCD中AD=BC=1;E,F分别是AB,CD上的点;且BE:EA=CF:FD=1:2,EF=a;则AD和BC所成的角θ=_____.

13.不等式arcsin|x|>arccos|x|的解集是_____.

14.函数y=sinx+2asinx?a?2,(a∈R)的最大值为u,u是a的函数,其解析式为_____.

15.不等边三角形的三个内角A,B,C成等差数列;它们的公差为2θ;又csc2A,csc2B,csc2C也成等差数列;则cosθ=_____.

16.若α,β分别是方程log2x+x+2=0和2+x+2=0的根,则α+β=_____.

17.抛物线y=2x和圆x+(y?a)=1有两个不同的公共点,则a∈_____.

18.若函数f(x)满足:f(x)?4f()=x,则|f(x)|的最小值是_____.

19.数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn=nan,则通项公式an=_____,数列{an}的和为_____. 2222x1x

x2y2

20.椭圆2+2=1的内接三角形的最大面积是_____. ab

三、解答题

21.若f(x)=ax+bx+c,(a,b,c∈R)在区间[0,1]上恒有f(x)≤1

(1)对所有这样的f(x),求|a|+|b|+|c|的最大值;

(2)试给出一个这样的f(x),使|a|+|b|+|c|确实取到上述最大值. 2

22.右图是一个向右和向下方可以无限延伸的棋盘,横排为行,竖排为列,将正整数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.

(1)求位于第3行、第8列的方格内的数字;

(2)数字321在哪一个方格内?

(3)写出位于从左上角向右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列的通项公式;

(4)求(3)中数列的前n项和. 1 3 6 10 2 5 9 4 8 7 12 13 18 14 19 25

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